Назначение экономико-математических моделей (ЭММ)

Назначение экономико-математических моделей (ЭММ)

Эконометрика – прикладная математическая дисциплина, в которой изучаются количественные взаимосвязи экономических объектов и процессов.

Задача эконометрики состоит в определении приближенных значений искомых величин эк.задачи по известным количественным характеристикам данной задачи.

Метод решения задач эконометрики заключается в предварительном построении упрощенной схемы решаемой задачи, составленной математическим языком и называемой эконометрической моделью, а затем в расчете по этой модели искомых величин.

Экономико-математическая модель (ЭММ, эконометрическая модель) объекта – это некоторое математическое выражение (график или таблица, уравнение или система уравнений, дополненная, возможно, неравенствами, условие экстремума), связывающее воедино исходные данные и искомые неизвестные задачи.

 

Два принципа спецификации эконометрической модели

1. Эконометрическая модель возникает в итоге записи математическим языком взаимосвязей исходных данных и искомых неизвестных. В процессе такой записи стараются привлекать линейные алгебраические функции.

2.Количество уравнений модели обязано совпадать с числом искомых неизвестных. Этот принцип необходим для трансформации модели к приведенной форме (где каждая эндогенная переменная представляется в виде явной функции только экзогенных переменных).

 

Типы уравнений в ЭММ: поведенческие уравнения и тождества.

Рассмотрим макромодель Кейнса, экономическим объектом в которой является закрытая экономика. Экзогенная переменная: – объем инвестиций в экономику страны. Эндогенные переменные: – уровень потребления в стране, – валовой внутренний продукт (ВВП).

Применим первый метод спецификации:

1) доход состоит из потребительских расходов и инвестиционных затрат

уравнение представляет собой основное тождество системы национальных счетов

для закрытой экономики

2) уровень потребительских затрат объясняется дохом

c позиции математики переменная – функция переменной , а именно –

линейная алгебраическая функция; такое уравнение принято называть поведенческим

3) с ростом дохода увеличивается потребление, каждая доп.единица дохода потребляется не полностью, какая-то часть идет на инвестиции, поэтому

Итак,

тождество представляет собой равенство, выполняющееся в любом случае;

поведенческое уравнение включает параметры (), значения которых являются неизвестными и подлежат оцениваю.

 

 

2. Типы переменных в экономических моделях. Структурная и приведённая форма модели (на примере макро­модели). Компактная запись.

Типы переменных в эконометрических моделях

Экзогенные переменные – исходные данные (экономические переменные, значения которых определяются вне модели и заранее известны)

Эндогенные переменные – искомые неизвестные (экономические переменные, значения которых нужно определить внутри модели)

 

Датированные переменные - переменные, возникающие в результате их привязывания ко времени (текущие и лаговые)

Лаговые переменные - экзогенные и эндогенные переменные экономических моделей, датированные предыдущими моментами времени

 

Объясняемые переменные – текущие эндогенные переменные

Предопределенные переменные – текущие и лаговые экзогенные переменные, а также лаговые эндогенные переменные, если они стоят в уравнении с текущими эндогенными

 

Компактная запись

Обозначив векторы эндогенных переменных и экзогенных переменных , мы можем записать макромодель Кейнса в компактном виде:

Составив матрицы и получим компактную запись:

 

3. Спецификация и преобразование к приведённой форме динамических моделей. Лаговые и предопределённые переменные динамической модели. Модель Линтнера корректировки размера дивидендов. Компактная запись.

 

Спецификация и преобразование к приведенной форме динамических моделей

Для отражения в спецификации модели фактора времени её переменные датируются (привязываются ко времени). Модель с датированными переменными именуется динамической. Стоит отметить, что датирование переменных является третьим принципом спецификации эконометрической модели.

Датированные переменные бывают текущие (датированные текущим моментом времени) и лаговые (датированные предыдущими моментами времени).

В свою очередь, все переменные динамической модели делятся на:

1) объясняемые – текущие эндогенные переменные

2) предопределенные (объясняющие), включающие:

¾ лаговые эндогенные

¾ текущие экзогенные

¾ лаговые экзогенные

 

Компактная запись

Обозначив векторы эндогенных переменных и экзогенных переменных , мы можем записать модель Линтнера в компактном виде:

Составив матрицы и получим компактную запись:

 

 

 

4. Спецификация и преобразование к приведённой форме эконометрических моделей. Эконометрическая модель Самуэльсона–Хикса делового цикла экономики. Компактная запись.

 

Спецификация и преобразование к приведённой форме эконометрических моделей

Принципы спецификации эконометрической модели:

1. Эконометрическая модель возникает в итоге записи математическим языком взаимосвязей исходных данных и искомых неизвестных. В процессе такой записи стараются привлекать линейные алгебраические функции.

2.Количество уравнений модели обязано совпадать с числом искомых неизвестных. Этот принцип необходим для трансформации модели к приведенной форме (где каждая эндогенная переменная представляется в виде явной функции только экзогенных переменных).

3. Переменные модели датируются, что позволяет нам получить динамическую модель, в которой текущие эндогенные переменные объясняются значениями предопределенных.

4. Поведенческие уравнения модели включают в себя случайные возмущения, таким образом, мы отражаем в спецификации влияние на текущие эндогенные переменные неучтенных факторов (повышая тем самым адекватность модели).

 

На основании всех четырех принципов спецификации в самом общем случае структурная форма эконометрической модели имеет вид:

а приведенная форма:

Компактная запись

Обозначив векторы текущих эндогенных переменных и предопределенных переменных , мы можем записать модель Самуэльсона-Хикса в компактном виде:

Составив матрицы и получим компактную запись:

 

 

5. Схема построения эконометрических моделей (на примере эконометрической модели Оукена).

Для начала отметим основные 4-е этапа построения эконометрических моделей:

1)построение спецификации эконометрической модели;

2)сбор и проверка статистической информации об объекте-оригинале в виде конкретных значений экзогенных и эндогенных переменных, включённых в спецификацию модели;

3)оценивание неизвестных параметров модели (настройка или идентификация модели);

4)проверка адекватности оценённой модели (проверка соответствия настроенной модели объекту- оригиналу; верификация).

1. Рассмотрим эконометрическую модель Оукена. Будем считать, что Темп прироста реального ВВП зависит от изменения уровня безработицы. Тогда модель можно представить в виде:

, где Yt- Темп прироста реального ВВП,

xt - изменения уровня безработицы, -константа.

Yt-эндогенная переменная.

Xt- экзогенная.

a0,a1 – параметры модели, подлежащие оценке.

Параметр имеет смысл среднего квадратического разброса вокруг нуля возможных значений случайного возмущения , отражающего влияние на уровень текущего темпа прироста реального ВВП не определенных в модели факторов.

2.Таблица с данными. Сбор статической информации в виде конкретных значений экзогенных и эндогенных переменных, входящих в спецификацию модели.

Собранная статическая информация требуется для оценивания неизвестных параметров модели (настройка модели). Собранная информация разделяется на 2 части:

· Обучающая выборка (предназначена для определения параметров модели)

· Контролирующая выборка (для проверки адекватности информации)

3.На 3 этапе по обучающей выборке методами математической статистики отыскиваются оценки (приближенный значения) неизвестных параметров.

4.На 4 этапе оцененная модель исследуется на адекватность.

Модель признается адекватной, если ошибки прогнозов значений эндогенной переменной из контролирующей выборки не превышают критических уровней.

Прогнозы вычисляются по приведенной форме:

6. Порядок оценивания линейной эконометрической модели из изолированного уравнения в Excel. Смысл выходной статистической информации функции ЛИНЕЙН.

У нас построена линейная эконометрическая модель с изолированными переменными:

 

Рассмотрим спецификацию данного вида.

В этой модели экзогенных переменных х1 и х2 и одна эндогенная переменная уt. Случайное возмущение u предполагается гомоскедастичным. Спецификация содержит 4 параметра: а0, а1, а2, .

Модели данного типа называются линейными эконометрическими моделями в виде изолированных уравнений с несколькими объясняющими переменными или линейной множественной регрессии.

Порядок оценивания модели состоит в следующем:

Ввести исходные данные или открыть из существующего файла, содержащего анализируемые данные;

В данном случае выделяем область пустых ячеек 5*3 (5 строк, 3 столбца) для вывода результатов регрессионной статистики (функция линейн).

В общем случае: подготавливаем область, состоящую всегда из 5 строк, а столбцов столько, сколько коэффициентов требуется оценить, но минимум 2(а0, а1).

Активизировать Мастер функций любым из способов:

В главном меню выбрать Вставка/Функция

На панели инструментов Стандартная щелкнуть на кнопке Вставка функции;

В окне Категория выбрать Статистические, в окне Функция – ЛИНЕЙН, щелкнуть ОК;

Заполнить аргументы функции:

Известные значения y – диапазон, содержащий данные результативного признака;

Известные значения x – диапазон, содержащий данные факторов независимого признака;

Константа – логическое значение, которое указывает на наличие или на отсутствие свободного члена в уравнении. Если Константа =1, то свободный член рассчитывается обычным образом, если Константа=0, то свободный член равен 0;

Статистика – логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию или нет. Если статистика =1, то дополнительная информация выводится, если Статистика =0, то выводятся только оценки параметров уравнения.

Нажать комбинацию клавиш <CTRL>+<SHIFT>+<ENTER>.

Щелкнуть ОК.

 

Дополнительная регрессионная статистика будет выводиться в порядке, указанном в следующей схеме:

a2~	a1~	a0~ оценка коэффициента
S(a2~)	S(a1~)	S(a0~) стандартные ошибки
R^2 доля дисперсии эндогенной переменной, объясн. уравнением регрессии	оценка среднего квадратичного отклонения остатка (оценка случайного возмущения)	Н/Д
F статистика Фишера, предназначенная для проверки статической значимости коэф. детерминации	υ2 стемени свободы	Н/Д
регрессионная сумма квадратов	остаточная сумма квадратов	Н/Д

 

7. Случайная переменная и закон её распределения. Нормальный закон распределения и его параметры.

Переменная величина x c областью изменения X называется случайной, если свои возможные значения q из множества X она принимает в результате некоторого опыта со случайными элементарными исходами вида .

x- дискретная случайная переменная, если множество Х состоит из конечного или счетного количества констант .

З-н распределения дискретной случайной переменной- функция скалярного аргумента q с областью определения , характеризующая возможность появления в опыте значений q случайной переменной x.

З-н распределения дискретной случайной переменной называется вероятностной функцией, значение которой равны вероятностям появления в опыте возможного значения сл. переменной:

Нормальный закон распределения случайной величины имеет вид (НормРаспр, НормОбр):

параметры: математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение - сигма.

Нормальный закон возникает тогда, когда случайная переменная х формируется под воздействием большого числа независимых факторов.

 

8. Случайная переменная и закон её распределения. Распределение хи-квадрат.

Переменная величина называется случайной, если свои возможные значения она принимает в рез-те некоторого опыта, и до его завершения не возможно предсказать какое точно значение она примет.

З-н распределения дискретной случайной переменной- функция скалярного аргумента q с областью определения , характеризующая возможность появления в опыте значений q случайной переменной x.

З-н распределения дискретной случайной переменной называется вероятностной функцией, значение которой равны вероятностям появления в опыте возможного значения сл. переменной:

Закон распределения хи-квадрат случайной величины имеет вид(ХИ2РАСП,ХИ2ОБР):

,

, где n-натуральное число(параметр закона).

 

9. Случайная переменная и закон её распределения. Распределение Стьюдента, Квантиль, t крит уровня и её расчёт в Excel.

Опр1. Случайной называют переменную которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые невозможно заранее учесть.

Опр2. Переменная x с областью изменения X называется случайной, если свои возможные значения q из множества X переменная x принимает в результате некоторого опыта со случайными элементарными исходами вида .

Закон распределения – функция скалярного аргумента q, определенная на всей числовой прямой, характеризующую объективную возможность появления в опыте значений q случайной переменной x.

Полной характеристикой СП служит её дифференциальный закон распределения (ЗР). Так называется функция скалярного аргумента q, определённая на всей числовой прямой, характеризующая объективную возможность появления в опыте значений СП x. Если x – ДСП, то

Для дискретной величины

Для непрерывной величины

Закон распределения Стьюдента случайной величины имеет вид(СтьюдРАСП-значение з-на распределения):

,

Г- гамма функция Эйлера, m- число степеней своб.

 

Пусть имеется выборка наблюденных в n+1 независимых испытаниях значений стандартной нормально распределенной случайной переменной x (т.е. x N(0;1)): (x₁, х₂,…,х_n, х_n+1)

Для расчёта t_крит используем ф-цию – дробь Стьюдента с n степенями свободы.

Этот закон позволяет нам при любом фиксированном числе 1-α из интервала (0, 1) вычислить величину t_1-α – двустороннюю (1-α)-квантиль распределения Стьюдента с числом свободы n (к-т Стьюдента t_крит). Величину t_1-α можно рассчитать в Excel по аргументам α, n при помощи функции СТЬЮДРАСПОБР.

 

10. Ковариация Cov(x, y), и коэффициент корреляции, Cor(x, y) пары случайных переменных (x, y). Частная ковариация и частный коэффициент корреляции.

Экономические переменные объекта (случайные или детерминированные), как правило, являются зависимыми величинами. Ковариации и коэффициент корреляции служат мерилами такой зависимости. Так, если (x, y) – пара случайных переменных (СП), то их ковариацией называется константа C_xy :

C_xy = Cov(x, y) = E(x · y) – E(x) · E(y). (1)

Из формулы (1) видно, что для вычисления C_xy нужно знать закон распределения P_xy (q, r) пары (x, y). Если он неизвестен, что и бывает на практике, то ковариацию можно оценить по выборке из генеральной совокупности X_x,y:

{(x₁, y₁), (x₂, y₂),... (x_n, y_n)}, (2)

Оценкой ковариации служит величина

(3)

именуемая выборочной ковариацией. Каждая пара в выборке (2) имеет один и тот же закон распределения, P_xy (q, r); компонеты двух различных пар, например, (x₁, y₁) и (x₂, y₂) являются независимыми случайными переменными. Добавим, что случайные переменные (x_i, x_j) из выборки (2) обладают одинаковыми количественными характеристиками; аналогично, случайные переменных (y_i,y_j) имеют одинаковые количественные характеристики.

Оценка (3) совершеннее оценки (4) в том смысле, что она обладает свойством несмещённости,

(4)

отсутствующим у оценки, которая, в силу данного обстоятельства, является смещённой оценкой ковариации.

Наконец, отметим, что физическая размерность C_xy равна произведению физических размерностей СП x и y. Но часто удобно использовать безразмерную (нормированную) ковариацию r_xy ,

,

которая именуется коэффициентом корреляции. Замечательно, что всегда

–1 £ r_xy £ +1,

причём если |r_xy | = 1, то y = a₀ + a₁ · x. Так что при |r_xy | = 1 между переменными (x, y) существует функциональная (жесткая) линейная зависимость. Если же = 0, то связь между переменными x и y либо вообще отсутствует, либо же имеет место функциональная (жесткая), но нелинейная зависимость.

Свойства

1. Операции ковариации и корреляции симметричны относительно своих аргументов;

2. Ковариация и корреляция между независимыми переменными равны 0;

3.

4. ;

5. ;

6.

7.

 

 

 

11. Случайная переменная и закон её распределения. Закон распределения Фишера. Квантиль, F крит уровня и её расчёт в Excel.

Опр1. Случайной называют переменную которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые невозможно заранее учесть.

Опр2. Переменная x с областью изменения X называется случайной, если свои возможные значения q из множества X переменная x принимает в результате некоторого опыта со случайными элементарными исходами вида .

Закон распределения – функция скалярного аргумента q, определенная на всей числовой прямой, характеризующую объективную возможность появления в опыте значений q случайной переменной x.

Полной характеристикой СП служит её дифференциальный закон распределения (ЗР). Так называется функция скалярного аргумента q, определённая на всей числовой прямой, характеризующая объективную возможность появления в опыте значений СП x. Если x – ДСП, то

Для дискретной величины

Случайная переменная (СП) x именуется дискретной (ДСП), если множество X состоит из конечного или счётного количества констант qi, то есть

X = {q1, q2,..., qn }.

Для непрерывной величины

Если X есть некоторый интервал числовой прямой, конечный или бесконечный, то есть

X = (a, b), то СП x называется непрерывной (НСП).

Закон распределения Фишера

 

Пусть - две независимые случайные переменные, имеющие распределение с числом степеней свободы n и m.

Случайная переменная называется дробью Фишера. Это позволяет при любом альфа вычислить , удовлетворяющее уравнению

 

, также называется F_крит уровня , это (1-α)-квантиль распределения Фишера с числом степеней свободы n,m. Эту величины также можно вычислить в Excel, используя функцию FРАСПОБР по аргументам .

 

12. Случайный вектор и его основные количественные характеристики (на примере вектора левых частей схемы Гаусса – Маркова при гомоскедастичном неавтокоррелированном остатке).

Рассмотрим набор случайных переменных . Этот упорядоченный набор называется случайным вектором и обозначается :

(1)

Его основными характеристиками служат:

1) Вектор ожидаемых значений компонент:

так называют вектор констант, компоненты которого – мат. ожидания компонент вектора .

2) Ковариационная матрица:

(2)

По главной диагонали располагаются дисперсии компонент случайного вектора. Недиагональные элементы это ковариации компонентов. Например, - это дисперсия компоненты вектора (1). Элемент - это ковариация компонент и вектора (1) Матрица является симметричной.

 

ЛММР

Объясняющие переменные в общем случае не зависят от случайного остатка . Данная модель является базовой моделью эконометрики, потому что к такому виду может быть трансформирована практически любая эконометрическая модель в виде изолированного уравнения.

19.Схема Гаусса–Маркова (на примере модели Оукена).

Модель Оукена:

t=1,2,...

где w_t - темп прироста безработицы в году t,

y_t - темп роста ВВП

 

Пусть в рамках исследуемой модели величины связаны следующим образом:

, причём

Она называется системой уравнений наблюдения объекта в рамках исследуемой линейной модели, или иначе – схемой Гаусса-Маркова (). Вот компактная запись этой схемы

где - вектор известных значений эндогенной переменной y_t модели;

- вектор неизвестных значений случайных возмущений u_t;

- матрица известных значений предопределенной переменной w_t модели, расширенная столбцом единиц;

– вектор неизвестных коэффициентов уравнения модели.

Оценку вектора обозначим . Тот факт, что эта оценка вычисляется по выборочным данным при помощи некоторой статистической процедуры, отразим:

где f (·, ·) – символ процедуры.

Данная процедура именуется линейной относительно вектора значений эндогенной переменной y_t, если: .

, где матрица коэффициентов, зависящих только от выборочных значений W предопределенной переменной w_t

Понятие статистической процедуры оценивания параметров эконометрической модели. Линейные статистические процедуры. Требования к наилучшей статистической процедуре.

Пусть имеется выборка

значений переменных x и y модели

Данная выборка получена на этапе наблюдения и предназначена для оценивания параметров модели

В рамках данной модели величины (*) связаны следующей СЛОУ:

Она называется системой уравнений наблюдения объекта в рамках исследуемой линейной модели, или иначе – схемой Гаусса-Маркова. Вот компактная запись этой схемы .

где - вектор известных значений эндогенной переменной y_t модели;

 

- вектор неизвестных значений случайных возмущений u_t;

- матрица известных значений предопределенной переменной x исходной модели, расширенная столбцом единиц (при наличии a₀);

Наконец, – вектор неизвестных коэффициентов уравнения модели.

Оценку вектора обозначим . Тот факт, что эта оценка вычисляется по выборочным данным при помощи некоторой статистической процедуры, отразим:

где f (·, ·) – символ процедуры.

Данная процедура именуется линейной относительно вектора значений эндогенной переменной y_t, если: .

, где матрица коэффициентов, зависящих только от выборочных значений X предопределенной переменной х_t.

Класс таких всевозможных линейных процедур оценивания по исходной выборке вектора обозначим символом F.

Наилучшая процедура f* (·, ·) из выбранного класса процедур F должна генерировать оценку , которая обладает одновременно двумя свойствами: ожидаемая оценка параметра совпадает с истинным значением

, i=0,1 (эффективности).

21. Теорема Гаусса-Маркова: выражение вектора оценок коэффициентов и доказательство их несмещённости.

Если справедливы все предпосылки теорему Гаусса-Маркова, тогда имеет место утверждение А: – оптимальная линейная процедура оценивания коэффициентов функции регрессии. Докажем, что имеет место свойство несмещенности оценок коэффициентов, то есть .

Доказательство: Шаг 1. .

Шаг 2. , ч.т.д.

 

22. Теорема Гаусса-Маркова: выражение Cov( , ) и его обоснование.

Одним из утверждений Гаусса-Маркова является утверждение D:

, где – диагональный элемент матрицы . В матричном виде можно представить так (так показано в учебнике) .

Обоснование. Пусть выполнены все предпосылки теоремы Гаусса-Маркова. Тогда ковариационная матрица вектора случайных остатков в уравнениях наблюдений является диагональной и конкретно скалярной: где I – единичная матрица. Теперь обратимся к утверждению А теоремы Гаусса-Маркова: .

Видим, что оценки коэффициентов модели являются линейным преобразованием вектора . . Это значит, что мы можем воспользоваться теоремой Фишера при расчете ковариационной матрицы: , где .

Из вида вектора следует, что его ковариационная матрица совпадает с ковариационной матрицей вектора . С учетом вида матрица А и выполненных действий, мы пришли к исходному виду ковариационной матрицы вектора .

 

23. Теорема Гаусса-Маркова: предпосылки и свойство наименьших квадратов -> min.

Рассмотрим уравнения наблюдений вида .

Предпосылки теоремы Гаусса-Маркова для данных уравнений:
0. Столбцы Х линейно независимы, т. е. матрица Х является невырожденной.

1. Ожидаемые значения случайных возмущений равны нулю: E(u1)=…=E(un)=0.

2. Дисперсии случайных остатков одинаковые и не зависят от объясняющих переменных: Var(u1)=…=Var(un)= .

3. Случайные остатки в уравнениях наблюдений попарно некоррелированы:
Cov(ui,uj)=0.

4. Значения объясняющих переменных не коррелированы со значениями случайных возмущений: Cov(xij,ui)=0.

Тогда выполняются необходимые утверждения (не все, только те, которые требуются в вопросе):

А: – оптимальная линейная процедура оценивания коэффициентов функции регрессии.

С. Оценки, вычисленные в А, обладают замечательным свойством наименьших квадратов, то есть . Именно это свойство является причиной общепринятого названия процедуры А – МНК.

 

24. Теорема Гаусса-Маркова: выражение .

Представим ситуацию, когда предпосылка 2 теоремы Гаусса-Маркова о гомоскедастичности случайного остатка не выполнена, то есть дисперсия зависит от объясняющих переменных, а остаток гетероскедастичен. В таком случае оценки параметров модели утрачивают свое свойство оптимальности (свойство минимальных дисперсий). Для построения оптимальной процедуры оценивания модели с гетероскедастичным остатком потребуется модель гетероскедастичности остатка, вот простейший вид такой модели: .

В этой модели присутствуют две константы – положительная константа и показатель степени λ. Параметр λ подбирается в итоге проведения теста Голдфилда-Квандта из множества значений ±0,5, ±1, ±2 так, чтобы тест Голдфилда-Квандта просигнализировал о гомоскедастичности остатка в преобразованной ЛММР. (Заметим, что если остаток λ=0, то остаток в модели гомоскедастичен и константа будет иметь смысл дисперсии случайного остатка). Весом случайной переменной u