Модель Линтнера корректировки размера дивидендов

· исходные данные – - чистая прибыль на акцию

· искомые величины - - объем дивидендов на акцию

· утверждения, на которых построена модель:

o фирма имеет долговременную долю в чистой прибыли на акцию, которую она хотела бы выплачивать в виде дивидендов своим акционерам в текущем периоде

o уровень дивидендов в текущем периоде объясняется желаемым уровнем дивидендов в этом периоде и уровнем реальных дивидендов в предшествующем периоде

· спецификация модели:

¾ объясняемые переменные - и – желаемый и реальный уровень дивидендов в текущем периоде

¾ предопределенные переменные - , - реальный уровень дивидендов в предшествующем периоде и чистая прибыль на акцию в текущем периоде

 

Компактная запись

Обозначив векторы эндогенных переменных и экзогенных переменных , мы можем записать модель Линтнера в компактном виде:

Составив матрицы и получим компактную запись:

 

 

 

4. Спецификация и преобразование к приведённой форме эконометрических моделей. Эконометрическая модель Самуэльсона–Хикса делового цикла экономики. Компактная запись.

 

Спецификация и преобразование к приведённой форме эконометрических моделей

Принципы спецификации эконометрической модели:

1. Эконометрическая модель возникает в итоге записи математическим языком взаимосвязей исходных данных и искомых неизвестных. В процессе такой записи стараются привлекать линейные алгебраические функции.

2.Количество уравнений модели обязано совпадать с числом искомых неизвестных. Этот принцип необходим для трансформации модели к приведенной форме (где каждая эндогенная переменная представляется в виде явной функции только экзогенных переменных).

3. Переменные модели датируются, что позволяет нам получить динамическую модель, в которой текущие эндогенные переменные объясняются значениями предопределенных.

4. Поведенческие уравнения модели включают в себя случайные возмущения, таким образом, мы отражаем в спецификации влияние на текущие эндогенные переменные неучтенных факторов (повышая тем самым адекватность модели).

 

На основании всех четырех принципов спецификации в самом общем случае структурная форма эконометрической модели имеет вид:

а приведенная форма:

Эконометрическая модель Самуэльсона–Хикса делового цикла экономики

Спецификация модели (структурная форма):

текущие эндогенные переменные (объясняемые):

¾ - уровень потребления в текущем периоде

¾ - объем инвестиций в текущем периоде

¾ - государственные расходы в текущем периоде

¾ - объем ВВП в текущем периоде

предопределенные переменные (объясняющие):

¾ – объем ВВП в предшествующем периоде

¾ – объем ВВП в предпредшествующем периоде

¾ – государственные расходы в предшествующем периоде

Приведенная форма модели:

Компактная запись

Обозначив векторы текущих эндогенных переменных и предопределенных переменных , мы можем записать модель Самуэльсона-Хикса в компактном виде:

Составив матрицы и получим компактную запись:

 

 

5. Схема построения эконометрических моделей (на примере эконометрической модели Оукена).

Для начала отметим основные 4-е этапа построения эконометрических моделей:

1)построение спецификации эконометрической модели;

2)сбор и проверка статистической информации об объекте-оригинале в виде конкретных значений экзогенных и эндогенных переменных, включённых в спецификацию модели;

3)оценивание неизвестных параметров модели (настройка или идентификация модели);

4)проверка адекватности оценённой модели (проверка соответствия настроенной модели объекту- оригиналу; верификация).

1. Рассмотрим эконометрическую модель Оукена. Будем считать, что Темп прироста реального ВВП зависит от изменения уровня безработицы. Тогда модель можно представить в виде:

, где Yt- Темп прироста реального ВВП,

xt - изменения уровня безработицы, -константа.

Yt-эндогенная переменная.

Xt- экзогенная.

a0,a1 – параметры модели, подлежащие оценке.

Параметр имеет смысл среднего квадратического разброса вокруг нуля возможных значений случайного возмущения , отражающего влияние на уровень текущего темпа прироста реального ВВП не определенных в модели факторов.

2.Таблица с данными. Сбор статической информации в виде конкретных значений экзогенных и эндогенных переменных, входящих в спецификацию модели.

Собранная статическая информация требуется для оценивания неизвестных параметров модели (настройка модели). Собранная информация разделяется на 2 части:

· Обучающая выборка (предназначена для определения параметров модели)

· Контролирующая выборка (для проверки адекватности информации)

3.На 3 этапе по обучающей выборке методами математической статистики отыскиваются оценки (приближенный значения) неизвестных параметров.

4.На 4 этапе оцененная модель исследуется на адекватность.

Модель признается адекватной, если ошибки прогнозов значений эндогенной переменной из контролирующей выборки не превышают критических уровней.

Прогнозы вычисляются по приведенной форме:

6. Порядок оценивания линейной эконометрической модели из изолированного уравнения в Excel. Смысл выходной статистической информации функции ЛИНЕЙН.

У нас построена линейная эконометрическая модель с изолированными переменными:

 

Рассмотрим спецификацию данного вида.

В этой модели экзогенных переменных х1 и х2 и одна эндогенная переменная уt. Случайное возмущение u предполагается гомоскедастичным. Спецификация содержит 4 параметра: а0, а1, а2, .

Модели данного типа называются линейными эконометрическими моделями в виде изолированных уравнений с несколькими объясняющими переменными или линейной множественной регрессии.

Порядок оценивания модели состоит в следующем:

Ввести исходные данные или открыть из существующего файла, содержащего анализируемые данные;

В данном случае выделяем область пустых ячеек 5*3 (5 строк, 3 столбца) для вывода результатов регрессионной статистики (функция линейн).

В общем случае: подготавливаем область, состоящую всегда из 5 строк, а столбцов столько, сколько коэффициентов требуется оценить, но минимум 2(а0, а1).

Активизировать Мастер функций любым из способов:

В главном меню выбрать Вставка/Функция

На панели инструментов Стандартная щелкнуть на кнопке Вставка функции;

В окне Категория выбрать Статистические, в окне Функция – ЛИНЕЙН, щелкнуть ОК;

Заполнить аргументы функции:

Известные значения y – диапазон, содержащий данные результативного признака;

Известные значения x – диапазон, содержащий данные факторов независимого признака;

Константа – логическое значение, которое указывает на наличие или на отсутствие свободного члена в уравнении. Если Константа =1, то свободный член рассчитывается обычным образом, если Константа=0, то свободный член равен 0;

Статистика – логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию или нет. Если статистика =1, то дополнительная информация выводится, если Статистика =0, то выводятся только оценки параметров уравнения.

Нажать комбинацию клавиш <CTRL>+<SHIFT>+<ENTER>.

Щелкнуть ОК.

 

Дополнительная регрессионная статистика будет выводиться в порядке, указанном в следующей схеме:

a2~	a1~	a0~ оценка коэффициента
S(a2~)	S(a1~)	S(a0~) стандартные ошибки
R^2 доля дисперсии эндогенной переменной, объясн. уравнением регрессии	оценка среднего квадратичного отклонения остатка (оценка случайного возмущения)	Н/Д
F статистика Фишера, предназначенная для проверки статической значимости коэф. детерминации	υ2 стемени свободы	Н/Д
регрессионная сумма квадратов	остаточная сумма квадратов	Н/Д

 

7. Случайная переменная и закон её распределения. Нормальный закон распределения и его параметры.

Переменная величина x c областью изменения X называется случайной, если свои возможные значения q из множества X она принимает в результате некоторого опыта со случайными элементарными исходами вида .

x- дискретная случайная переменная, если множество Х состоит из конечного или счетного количества констант .

З-н распределения дискретной случайной переменной- функция скалярного аргумента q с областью определения , характеризующая возможность появления в опыте значений q случайной переменной x.

З-н распределения дискретной случайной переменной называется вероятностной функцией, значение которой равны вероятностям появления в опыте возможного значения сл. переменной:

Нормальный закон распределения случайной величины имеет вид (НормРаспр, НормОбр):

параметры: математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение - сигма.

Нормальный закон возникает тогда, когда случайная переменная х формируется под воздействием большого числа независимых факторов.

 

8. Случайная переменная и закон её распределения. Распределение хи-квадрат.

Переменная величина называется случайной, если свои возможные значения она принимает в рез-те некоторого опыта, и до его завершения не возможно предсказать какое точно значение она примет.

З-н распределения дискретной случайной переменной- функция скалярного аргумента q с областью определения , характеризующая возможность появления в опыте значений q случайной переменной x.

З-н распределения дискретной случайной переменной называется вероятностной функцией, значение которой равны вероятностям появления в опыте возможного значения сл. переменной:

Закон распределения хи-квадрат случайной величины имеет вид(ХИ2РАСП,ХИ2ОБР):

,

, где n-натуральное число(параметр закона).

 

9. Случайная переменная и закон её распределения. Распределение Стьюдента, Квантиль, t крит уровня и её расчёт в Excel.

Опр1. Случайной называют переменную которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые невозможно заранее учесть.

Опр2. Переменная x с областью изменения X называется случайной, если свои возможные значения q из множества X переменная x принимает в результате некоторого опыта со случайными элементарными исходами вида .

Закон распределения – функция скалярного аргумента q, определенная на всей числовой прямой, характеризующую объективную возможность появления в опыте значений q случайной переменной x.

Полной характеристикой СП служит её дифференциальный закон распределения (ЗР). Так называется функция скалярного аргумента q, определённая на всей числовой прямой, характеризующая объективную возможность появления в опыте значений СП x. Если x – ДСП, то

Для дискретной величины

Для непрерывной величины

Закон распределения Стьюдента случайной величины имеет вид(СтьюдРАСП-значение з-на распределения):

,

Г- гамма функция Эйлера, m- число степеней своб.

 

Пусть имеется выборка наблюденных в n+1 независимых испытаниях значений стандартной нормально распределенной случайной переменной x (т.е. x N(0;1)): (x₁, х₂,…,х_n, х_n+1)

Для расчёта t_крит используем ф-цию – дробь Стьюдента с n степенями свободы.

Этот закон позволяет нам при любом фиксированном числе 1-α из интервала (0, 1) вычислить величину t_1-α – двустороннюю (1-α)-квантиль распределения Стьюдента с числом свободы n (к-т Стьюдента t_крит). Величину t_1-α можно рассчитать в Excel по аргументам α, n при помощи функции СТЬЮДРАСПОБР.

 

10. Ковариация Cov(x, y), и коэффициент корреляции, Cor(x, y) пары случайных переменных (x, y). Частная ковариация и частный коэффициент корреляции.

Экономические переменные объекта (случайные или детерминированные), как правило, являются зависимыми величинами. Ковариации и коэффициент корреляции служат мерилами такой зависимости. Так, если (x, y) – пара случайных переменных (СП), то их ковариацией называется константа C_xy :

C_xy = Cov(x, y) = E(x · y) – E(x) · E(y). (1)

Из формулы (1) видно, что для вычисления C_xy нужно знать закон распределения P_xy (q, r) пары (x, y). Если он неизвестен, что и бывает на практике, то ковариацию можно оценить по выборке из генеральной совокупности X_x,y:

{(x₁, y₁), (x₂, y₂),... (x_n, y_n)}, (2)

Оценкой ковариации служит величина

(3)

именуемая выборочной ковариацией. Каждая пара в выборке (2) имеет один и тот же закон распределения, P_xy (q, r); компонеты двух различных пар, например, (x₁, y₁) и (x₂, y₂) являются независимыми случайными переменными. Добавим, что случайные переменные (x_i, x_j) из выборки (2) обладают одинаковыми количественными характеристиками; аналогично, случайные переменных (y_i,y_j) имеют одинаковые количественные характеристики.

Оценка (3) совершеннее оценки (4) в том смысле, что она обладает свойством несмещённости,

(4)

отсутствующим у оценки, которая, в силу данного обстоятельства, является смещённой оценкой ковариации.

Наконец, отметим, что физическая размерность C_xy равна произведению физических размерностей СП x и y. Но часто удобно использовать безразмерную (нормированную) ковариацию r_xy ,

,

которая именуется коэффициентом корреляции. Замечательно, что всегда

–1 £ r_xy £ +1,

причём если |r_xy | = 1, то y = a₀ + a₁ · x. Так что при |r_xy | = 1 между переменными (x, y) существует функциональная (жесткая) линейная зависимость. Если же = 0, то связь между переменными x и y либо вообще отсутствует, либо же имеет место функциональная (жесткая), но нелинейная зависимость.

Свойства

1. Операции ковариации и корреляции симметричны относительно своих аргументов;

2. Ковариация и корреляция между независимыми переменными равны 0;

3.

4. ;

5. ;

6.

7.

 

 

 

11. Случайная переменная и закон её распределения. Закон распределения Фишера. Квантиль, F крит уровня и её расчёт в Excel.

Опр1. Случайной называют переменную которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые невозможно заранее учесть.

Опр2. Переменная x с областью изменения X называется случайной, если свои возможные значения q из множества X переменная x принимает в результате некоторого опыта со случайными элементарными исходами вида .

Закон распределения – функция скалярного аргумента q, определенная на всей числовой прямой, характеризующую объективную возможность появления в опыте значений q случайной переменной x.

Полной характеристикой СП служит её дифференциальный закон распределения (ЗР). Так называется функция скалярного аргумента q, определённая на всей числовой прямой, характеризующая объективную возможность появления в опыте значений СП x. Если x – ДСП, то

Для дискретной величины

Случайная переменная (СП) x именуется дискретной (ДСП), если множество X состоит из конечного или счётного количества констант qi, то есть

X = {q1, q2,..., qn }.

Для непрерывной величины

Если X есть некоторый интервал числовой прямой, конечный или бесконечный, то есть

X = (a, b), то СП x называется непрерывной (НСП).

Закон распределения Фишера

 

Пусть - две независимые случайные переменные, имеющие распределение с числом степеней свободы n и m.

Случайная переменная называется дробью Фишера. Это позволяет при любом альфа вычислить , удовлетворяющее уравнению

 

, также называется F_крит уровня , это (1-α)-квантиль распределения Фишера с числом степеней свободы n,m. Эту величины также можно вычислить в Excel, используя функцию FРАСПОБР по аргументам .

 

12. Случайный вектор и его основные количественные характеристики (на примере вектора левых частей схемы Гаусса – Маркова при гомоскедастичном неавтокоррелированном остатке).

Рассмотрим набор случайных переменных . Этот упорядоченный набор называется случайным вектором и обозначается :

(1)

Его основными характеристиками служат:

1) Вектор ожидаемых значений компонент:

так называют вектор констант, компоненты которого – мат. ожидания компонент вектора .

2) Ковариационная матрица:

(2)

По главной диагонали располагаются дисперсии компонент случайного вектора. Недиагональные элементы это ковариации компонентов. Например, - это дисперсия компоненты вектора (1). Элемент - это ковариация компонент и вектора (1) Матрица является симметричной.