Глава 2. Математическое моделирование

 

23.1. Основные понятия и определения

 

С общих позиций математическое моделирование можно рассматри- вать как один из методов познания реального мира в период формирования так называемого информационного общества [7]. Центральное понятие данной темы – понятие математической модели, которое, как и ряд других понятий математического моделирования, не имеет строгого формального определения [7, 8]. В литературе по моделированию предлагаются сле- дующие варианты:

● под математической моделью понимается класс абстрактных и символьных математических объектов – таких, как числа и вектора, и от- ношения между ними [9];

● математической моделью объекта называют совокупность абст- рактных основополагающих математических понятий и отношений, выра- женных при помощи системы математических символов и обозначений и отражающих некоторые свойства изучаемого объекта [8];

● под математической моделью понимается любой оператор А, по- зволяющий по соответствующим значениям входных параметров Х уста- новить выходные значения параметров Y объекта моделирования [2].

Таким образом, математическая модель – совокупность математи- ческих объектов (уравнений, систем уравнений и неравенств, алгебраиче-

ских выражений и т. д.), описывающих языком математических символов исследуемый объект и его отношения с окружающим миром. Это опреде- ление мы и примем за базовое в данной работе.

Под математическим моделированием будем понимать процесс уста- новления соответствия данному реальному объекту некоторого математи- ческого объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого ре- ального объекта [3].

Особенность математического моделирования состоит в том, что абстрактным отражением существующего или создаваемого объекта явля- ется его математическая модель, количественный анализ которой позволя- ет получить новые знания об этом объекте [7, 8].

Под математическим моделированием в технике понимают адек- ватную замену исследуемого технического устройства или процесса соот- ветствующей математической моделью и ее последующее изучение мето- дами вычислительной математики с привлечением средств современной вычислительной техники [8].

То есть математическое моделирование – это построение математи- ческой модели (или выбор имеющейся «модели-заготовки»), ее исследова- ние с целью получения новой информации об объекте и использование для описания свойств и предсказания поведения объекта.

Математическое моделирование основано на том факте, что раз- личные объекты и явления могут иметь одинаковое математическое опи- сание. Говоря простым языком, математическая модель – это совокуп- ность наших знаний об исследуемом объекте, сформулированных на язы- ке математики.

Однако следует помнить, что наши знания об исследуемом объекте никогда не бывают абсолютными. Следовательно, математическая модель, как и любая другая модель, всегда является только копией объекта и опи- сывает его приближенно.

Можно назвать следующие преимущества математического модели- рования по сравнению с натурным экспериментом [2]:

● экономичность (сбережение материальных, человеческих, времен- ных и финансовых ресурсов);

● возможность моделирования гипотетических объектов;

● возможность реализации режимов, опасных или трудновоспроиз- водимых в реальности;

● возможность изменения масштаба времени;

● простота многоаспектного анализа;

● возможность построения прогнозов на основе выявления общих закономерностей;

● наличие и универсальность технического и программного обеспе- чения для моделирования.

Требования к математической модели

 

Создание математических моделей является главным направлением современного процесса математизации наук (естественных, технических, гуманитарных). Выше было сказано, что для любого объекта можно по- строить множество моделей, в том числе и математических. Чтобы мате- матическую модель можно было использовать для исследования реального объекта, она должна удовлетворять следующим требованиям [4]:

● быть практически полезной;

● быть адекватной реальному объекту;

● быть адекватной решаемым задачам.

Анализ использования моделирования многочисленными исследова- телями позволяет говорить о том, что математическая модель также долж- на отвечать следующим требованиям:

● быть простой в содержательном смысле и легко интерпретируемой;

● быть «адаптированной» к имеющимся исходным данным об объек- те и легко модифицироваться при появлении новых данных;

● быть полной с точки зрения решаемых задач;

● быть ориентированой на психологию пользователя, простой и по- нятной ему;

● гарантировать отсутствие абсурдных результатов.