Двойное векторное произведение.

Определение 1. Двойное векторное произведение векторов , , это произведение вида .

Выразим двойное векторное произведение через скалярное.

Пусть Þ ^ и ^ . Тогда, в силу ^ Þ лежит в плоскости векторов и Þ . Умножим это равенство скалярно на . Имеем .

Пусть вектор не перпендикулярен одновременно векторам и (в противном случае в обоих случаях). Тогда Þ , такое что , .

Тогда

.

Для того, чтобы найти , вычислим левую и правую части в некотором базисе. Пусть вектор направлен вдоль вектора , лежит в плоскости векторов и , определяется из условия, что , , образуют правую тройку. Тогда , , .

Имеем

, .

.

.

Отсюда видно, что . Итак, справедлива формула:

.

Пример 1. Доказать тождество Якоби:

.

Имеем

,

,

.

Суммируя эти равенства, получим тождество Якоби.

Пример 2. Вычислить .

Имеем:

()

.

 

 

§15.Уравнение прямой линии на плоскости.

1⁰. Векторное, параметрическое, общее и каноническое уравнение прямой.

 

Зафиксируем на плоскости аффинную систему координат, определяемую точкой О - началом координат, базисным вектором

Тогда " точка плоскости определяется координатами .

Зафиксируем на плоскости некоторую прямую линию.

Определение 1. Всякий ненулевойвектор ∥ прямой l называется направляющим вектором этой прямой.

Пусть есть точка , тогда производная точки лишь при условии, когда вектор коллинеарен .

Другими словами это означает, что (1)

С другой стороны всякая точка М, для которой выполнено уравнение (1) принадлежит прямой в силу определения произведения вектора на число.

Таким образом т. М выполняется (1). Уравнение (1) называется векторным уравнением прямой.

Если обозначить радиус вектора т. через и соответственно, то и уравнение (1): , (2)

также называется векторным уравнением прямой.

Если , то (2) в координатах:

(3)

- параметрическое уравнение прямой на плоскости, проходящей через т. в направлении .

 

M0

M

 

 

Рис.1

Исключая из уравнения (3) параметр t получаем (4)

- каноническое уравнение прямой на плоскости.

Уравнение (4) необходимо воспринимать, как пропорцию, если , то это прямая ∥-ая оси Oy, проходящей через т. .

Приведем уравнение (4) к общему знаменателю: . Если обозначить получаем: (5)

- общее уравнение прямой на плоскости.

Так как , то один из коэффициентов А или В отличен от нуля ⇒ уравнение (5) представляет собой уравнение первого порядка.

Показали, что " прямая является алгебраической линией первого порядка.

Покажем, что " алгебраическая линия первого порядка на плоскости является прямой.

Действительно, уравнение (5) имеет частное решение, например:

, то можно выбрать , , тогда полученное решение можно???, как координаты точки , через которую проходит искомая прямая.

В качестве прямой K вектор

Покажем, что т. прямой лишь при условии, когда её координаты удовлетворяют уравнению (5).

Действительно, по построению прямой, если , т.е.

 

0=0 получаем тождество

Таким образом доказана следующая теорема:

Теорема 1. Прямые на плоскости – алгебраические линии первого порядка.

Из доказательства теоремы 1 следует, что если - уравнение прямой, то вектор является направляющим вектором этой прямой.

y

 

 

l1

 

	y=x

 

Рис.2.

Если , то из уравнения (5) получаем: , т.е. , где .

.

Вместе с каноническим уравнением (4) используется уравнение прямой, проходящей через 2 точки: если l проходит через точку и , то можно выбрать K в качестве направляющего вектора прямой, поэтому уравнение (6)

называется уравнением прямой, проходящей через т. и .

??? частные случаи уравнения (5):

1. А=0 прямая ∥-ая Ox

2. B=0 прямая ∥-ая Oy

3. C=0 проходящая через начало координат

4. A=C=0 ось Ox

5. B=C=0 ось Oy

 

2⁰. Взаимное расположение прямых на плоскости. Полуплоскости.

Пусть на плоскости задана аффинновая система координат .

Утверждение 1. Для того, чтобы прямые и , заданные уравнениями (7)

(8)

соответственно совпадали необходимо и достаточно, чтобы (9)

|Þ l₁ и l₂ совпадают, это означает, что их направляющие вектора и коллинеарные, т.е. (10)

Возьмем т. этим прямым, тогда ,

Умножая первое уравнение на и прибавляя по??? в силу (10): (11)

Формулы (10), (11) эквивалентны (9)

Ü| пусть выполняется (9), тогда уравнения (7) и (8) эквивалентны Þ соответствующие прямые совпадают, ч.т.д.∎

Утверждение 2. Прямые и , заданные уравнениями , параллельны и не совпадают Û (12)

Доказательство.

|Þ прямые параллельны и не совпадают Þ несовместна, а это возможно, по теореме Кронекера-Конелли Û ,

возможно лишь при условии это возможно при выполнении (12)

Ü| Если выполняется первое равенство Þ прямые параллельны, а не выполнение второго Þ система (7), (8) несовместна Þ прямые параллельны и не совпадают, ч.т.д.∎

Следствие (из 1,2). Прямые и пересекаются Û (13)

Утверждение 3. Пусть прямые и , задаваемые уравнениями (7,8), пересекаются в единственной точке с координатами , тогда прямая l₃ проходит через т. Û она задается уравнением: (14)

Т.е. уравнение (14) – линейная комбинация (7,8)

Доказательство.

|Þ Очевидно, а именно, если уравнение l₃ задается (14), то она проходит через т.

Ü| пусть l₃ проходит через т. и имеет уравнение .

Возьмем на прямой l₃ " т. , отличную от т. . Выберем

Покажем, что уравнение для l₃ пропорционально (14) с выбранными .

Т.к. т. не может одновременно принадлежать прямым и и Þ хотя бы одно из и отлично от нуля. Поэтому уравнение является уравнением первой степени Þ определяет некоторую прямую.

По построению эта прямая проходит через т. , т.к. через две точки плоскости, то она совпадает с прямой . Поэтому в силу утверждения 1, уравнения этих прямых пропорциональны, ч.т.д.∎

Уравнение (14) называется уравнением пучка прямых, проходящих через т. .

 

3⁰. Прямая линия на плоскости с прямоугольной системой координат. Нормальное уравнение прямой.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат , тогда угол между прямыми, определяющийся углом между направляющими векторами может быть определен формулой: .

Отметим, что угол между прямыми принимает значение от , угол между направляющими .

Поэтому угол между прямыми определяется углом между векторами. Получаем, что прямые (7), (8) в прямоугольной системе координат ортогональны Û (15)

Отметим, что только прямоугольной декартовой системе координат вектор является перпендикулярной к прямой

В дальнейшем построим нормальное уравнение на плоскости. В начале введем уравнение прямой в полярной системе координат. Пусть полярная ось совпадает с Ox и l₁ – ось, проходящая через начало координат перпендикулярно прямой l.

 

 

 

P

M

			x

 

 

Рис.3.

 

 

Пусть прямая и пусть длина

, - угол между l₁ и . Если т. М лежит на l₁, то очевидно, что проекция

Последнее условие является необходимым и достаточным, для того, чтобы т. М .

или , (16)

где - расстояние от т. М до начала координат,

- угол между и .

 

Другими словами, - полярные координаты т. М. Таким образом, уравнение (16) является уравнением прямой в полярной системе координат. Уравнение (16) можно переписать:

,

где - координаты т. М в соответствующей прямоугольной декартовой системе координат.

Получаем: (17) – нормальное уравнение прямой на плоскости, где

- длина перпендикуляра, проведенного из начала координат на прямую,

- угол наклона нормали к оси абсцисс.

Отметим, что и - координаты ортонормали. Покажем, что общее уравнение прямой привели к нормальному виду.

Пусть прямая l: , тогда нормальное уравнение получается умножением на некоторый нормирующий множитель : при этом , знак выбирается из условия

Если С= 0, то знак произвольный.

Нормальное уравнение прямой удобно для нахождения расстояния между от произвольной точки плоскости до прямой.

 

 

 

 

 

Рис.4.

 

Произвольная точка .

, . Очевидно, что расстояние от до l:

Рис.4.

Таким образом, получили, что расстояние от точки до прямой вычисляется следующим образом: в левую часть нормального уравнения этой прямой необходимо подставить координаты т. и полученную величину взять по модулю.

Замечание. Из рисунка видно, что если т. и начало координат лежат по разные стороны от l, то . В первом случае: , во втором - .

Последнее может быть использовано, чтобы узнать лежит ли т. и начало координат по одну сторону или по разные от прямой l.

Пример. .

§ 16. Уравнение плоскости в пространстве.

1⁰. Различные виды уравнения на плоскости.

 

Принципы построения уравнения плоскости в пространстве во многом совпадают с построением прямой на плоскости. Это связано с тем, что размерность прямой отличается от??? плоскости на единицу. Размерность плоскости отличается на единицу от??? пространства. Поэтому плоскость определяется двумя линейно-независимыми векторами и точкой, через которую эта плоскость проходит.

Утверждение 1. Пусть в плоскости задана т. и два неколлинеарных вектора и . Тогда т. . (1)

Доказательство.

|Þ Пусть т. М лежит в плоскости, тогда это означает, что компланарны Þ в силу неколлинеарности и , вектор может быть представлен как линейная комбинация и , т.е. справедливо (1).

Ü| если справедливо (1), то компланарен с и Þ , ч.т.д.∎

Уравнение (1) будет называться уравнением плоскости в векторной форме. Оно означает лишь, что плоскость проходит через т. и параллельно и . Зафиксируем в пространстве аффинновую систему координат. Пусть и - радиус-вектора т. и М.

Тогда (1) перепишем: - векторное уравнение плоскости. (2)

Если теперь зафиксировать координаты векторов , , , , например , то уравнение (2): (3)

Уравнение (3) называется параметрическим уравнением плоскости. Если его переписать в виде:

,

Представляет собой линейную зависимость столбцов матрицы: = 0 (4)

Разлагая этот определитель по первому столбцу получим:

(5)

где (6)

Уравнение (4) является уравнением плоскости, проходящей через т. и параллельно .

Если в плоскости заданы 3 точки , , то в качестве векторов и : .

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки: (7)

Если в уравнение (5) раскрыть скобки и обозначить , то - общее уравнение плоскости (8)

Отметим, что в силу неколлинеарности хотя бы один из определителей (6) отличен от нуля Þ уравнением первой степени.

Таким образом, показали, что любое уравнение плоскости может быть записано в виде уравнение первой степени.

Докажем и обратное: любое уравнение первой степени вида (8) представляет собой уравнение некоторой плоскости.

Пусть в (8) , тогда (8) имеет частное решение: , которое определяет координаты точки, через которую проходит плоскость. А вектора имеют значения .

Покажем, что плоскости, проходящие через полученную точку параллельно и определяются уравнением (8). Действительно, уравнение плоскости имеет вид:

, где эквивалентно (8)

доказана теорема 1: Пусть в пространстве- в точности поверность первого порядка.

 

2⁰. Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Полупространства.

Утверждение 1. Вектор параллелен плоскости , заданной уравнением (8) (9)

Доказательство. Для доказательства утверждения необходимо и достаточно показать, что, если отложить от некоторой точки плоскости, то конец также будет лежать на плоскости.

Пусть , , , проверим, что . Подставляя в уравнение (8): ,ч.т.д.∎

Утверждение 2. Плоскости (10)

(11)

параллельны (12)

Доказательство.

Ü| Плоскости параллельны, если вектор параллельный одной плоскости, будет параллелен другой. Поэтому, если выполняется условие (12), то в силу утверждения 1 плоскости параллельны.

|Þ пусть , тогда вектора , которые параллельны плоскости , должны быть параллельны Þ в силу утверждения 1 выполняется:

, ч.т.д.∎

Утверждение 3. Плоскости и , заданные уравнениями (10,11), совпадают (13)

Доказательство.

Ü| очевидно

|Þ пусть плоскости совпадают, тогда первые два равенства следуют из утверждения 2 и доказываем третье равенство.

Пусть т обеим плоскостям, тогда

В силу соотношения (12) получим: .

Умножим первое уравнение последней системы на и прибавим ко второму: мы доказали уравнение (13), ч.т.д.∎

Утверждение 4. Плоскости и , заданные уравнениями (10,11), параллельны и не совпадают Û (14)

Утверждение 5. Плоскости и , заданные уравнениями (10,11), пересекаются Û - неколлинеарны.

Утверждение 6. Пусть плоскости и , заданные уравнениями (10,11), пересекаются на прямой l, тогда плоскость проходит через эту прямую Û её уравнение имеет вид:

, (15)

где одновременно.

Доказательство. Аналогично для пучка прямых, так как (15) – это уравнение пучка плоскостей, проходящих через l.

 

3⁰. Плоскость в пространстве с прямоугольной декартовой системой координат.

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат . Пусть плоскость проходит через т. и - некоторый вектор , тогда .

Условие перпендикулярности двух векторов в ортогональном базисе:

В ортогональном базисе коэффициенты А, В, С общего уравнения (8) можно??? как коэффициенты векторной нормали.

Вектор нормали используется для решения задач нахождения угла между плоскостями, угла между прямой и плоскостью и т.д.

По аналогии с прямой на плоскости строится нормальное уравнение плоскости.

Пусть в пространстве с прямоугольной декартовой системой координат задана плоскость . Проведем из начала координат ось .

Пусть т. N – это точка пересечения прямой l с плоскостью ,

Тогда произвольная т. М пространства Û

Другими словами, , (16)

Рис.5.

где - единичный вектор, являющийся масштабным вектором оси l.

Рис.5.

, где - углы с осями .

 

Получаем нормальное уравнение плоскости: .

§ 17. Уравнение прямой в пространстве.

 

1⁰. Уравнение прямой в произвольной аффиновой системе координат.

В предыдущем § было указано, что если две плоскости пересекаются, то они пересекаются по прямой. Поэтому в произвольной аффиновой системе координат уравнение прямой в следующем виде:

(1)

Плоскости и не параллельны. Условие не параллельности плоскостей и равносильно: (2)

Тогда система (1) при условии (2) представляет систему линейно независимых уравнений, совместную и имеет общее решение следующего вида: , (3)

где - частные решения (1), - ФСР соответствующей системы линейно ОУ.

 

Геометрически (3) означает, что т. , тогда " т. получается прибавлением к радиус-вектору т. некоторого коллинеарного вектора,

 

Таким образом, , по аналогии с прямыми на плоскости, является направляющим вектором прямой. Система уравнений (1), удовлетворяющая условию (2) называется общим уравнением прямой в пространстве. Уравнение (3) называется векторно-параметрическим уравнением прямой в пространстве.

 

Можно переписать в виде: , (3’)

где - радиус-вектор т. , - направляющий вектор.

Перепишем уравнение (3): (4)

- параметрическое уравнение прямой в пространстве.

Если исключить из (4) параметр t получим: (5)

- каноническое уравнение прямой в пространстве, (5) – пропорция.

Пример. , значит прямая лежит в плоскости .

Если и равны нулю, то прямая лежит в плоскостях и , что означает есть линия пересечения плоскостей – прямая параллельная оси .

Если необходимо написать уравнение прямой, проходящей через две точки и .

- направляющий вектор

(6)

- уравнение прямой, проходящей через две точки.

Каждая прямая может быть представлена как линия пересечения двух плоскостей.

Уравнение прямой (5) также можно расс