Тема 3. Система линейных уравнений.

1^о. Определения, обозначения.

Определение 1. Системой линейных уравнений с неизвестными над полем называется система выражений вида

(1)

где . Элементы называются коэффициентами системы (1), – ее свободные члены. Если все , то система (1) называется однородной, иначе – неоднородной.

Определение 2. Совокупность элементов поля : называется решением (1), если после подстановки их вместо соответственно во все уравнения (1) получаются тождества.

Определение 3. Если система (1) имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, если решений нет – несовместной.

Пример. – несовместная. – совместная.

Определение 4. Два решения и являются различными, если нарушается одно из равенств , …, .

Определение 5. Если система (1) имеет единственное решение, то она называется определенной, если у системы существует по крайней мере два различных решения, то система называется неопределенной.

Пример. – неопределенная система.

Решить систему линейных уравнений – это значит выяснить, совместна она или нет, и в случае совместности найти все ее решения.

Определение 6. Две системы линейных уравнений (СЛУ) с одинаковым числом неизвестных и над одинаковым полем называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

СЛУ удобно записывать с помощью матрицы:

, .

Матрица называется основной матрицей системы (1) или матрицей системы (1).

Если ввести

, ,

то систему (1) можно переписать в матричном виде

(2)

Наряду с основной матрицей удобно рассматривать расширенную матрицу системы (1):

,

2^о. Формулы Крамера.

Рассмотрим частный случай, когда и , т.е. – невырожденная матрица.

Теорема 1. (правило Крамера) Система уравнений с неизвестными в случае, когда , имеет решение, причем только одно. Это решение находится по формулам:

, , (3)

где , – определитель матрицы, получаемой из заменой -ого столбца на столбец свободных членов, т.е.

.

Формулы (3) называются формулами Крамера.

Доказательство. Запишем систему в матричном виде (2):

,

т.к. – квадратная матрица и определена обратная матрица

.

Тогда умножая (2) слева на , имеем:

, т.е.

.

Здесь определяется через алгебраические дополнения к элементам -ого столбца матрицы , умноженными на элементы столбца . Видно, что это можно переписать в виде формул (3).

Покажем, что это решение единственно. Пусть – решение (1), т.е.

Умножим первое уравнение на , второе – на , …, и сложим (здесь ,…, – алгебраические дополнения к элементам -ого столбца матрицы ). Имеем:

Здесь коэффициенты при есть сумма произведений элементов -ого столбца матрицы на алгебраические дополнения к элементам -ого столбца . По теоремам о разложении по «своему» и «чужому» столбцу имеем, что коэффициент при равен , а остальные – нули, т.е.

, т.е. те же формулы.

Т.о., (3) дают единственное решение.

Пример.

. , , , , , , .

Замечание. Если рассматривать однородную СЛУ с и , то формулы Крамера дают единственное нулевое решение.

Следствие. Если однородная система линейных уравнений с неизвестными имеет ненулевое решение, то .

3^о. Условие совместности СЛУ.

Теорема 2. (теорема Кронекерра–Капелли). Для того, чтобы система (1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее расширенной матрицы был равен рангу основной матрицы, т.е.

.

Доказательство. Очевидно, что .

Для доказательства перепишем систему (1) в виде:

(4)

где выделены столбцы матрицы , являющиеся элементами .

Необходимость. Если существует решение , то запись (4) означает, что столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы . Значит, добавление этого столбца не изменяет числа линейно независимых столбцов .

Достаточность. Пусть . В этом случае базисный минор матрицы является базисным и для . Это и означает, что столбец свободных членов есть линейная комбинация тех столбцов матрицы , в которых расположен базисный минор, а значит, и всех столбцов матрицы (остальные можно взять с коэффициентом 0). Очевидно, что коэффициенты этой линейной комбинации и являются решениями системы (1), т.е. есть хотя бы одно решение.

4^о. Построение решений СЛУ.

Теорема Кронекера–Капелли устанавливает совместимость СЛУ, но не дает практического рецепта их нахождения. Ниже дается один из возможных способов.

Пусть рассматривается произвольная система уравнений с неизвестными и пусть .

Определение 7. Число , равное рангу матриц и , называется рангом системы (1).

Не ограничивая общности, будем считать, что базисный минор матрицы расположен в левом верхнем углу (этого всегда можно добиться применением нумерации неизвестных и перестановкой уравнений). Обозначим этот минор :

.

Минор является базисным и для , поэтому строки матрицы с номерами , …, являются линейными комбинациями первых ее строк (теорема о базисном миноре). Это означает, что уравнения с номерами , …, представляют собой линейные комбинации первых уравнений, так что система (1) эквивалентна системе

(5)

(так как все решения (5) обращаются в тождество все последующие уравнения).

Если , то (5) система с определителем неравным нулю и она (и значит система (1)) имеет единственное решение, определяемое по правилу Крамера. Т.о., справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Если , то система (1) имеет единственное решение.

Пусть далее . Оставим в левых частях лишь те слагаемые, коэффициенты которых образуют базисный минор , остальные перенесем вправо.

 

(6)

Определение 8. Неизвестные называются базисными, а переменные – свободными.

Свободным переменным можно придать произвольные значения. Тогда базисные неизвестные определяются по формулам Крамера:

,

Здесь – определитель, получающийся из заменой -ого столбца на столбец свободных членов системы (6). Пользуясь свойствами определителя, последнюю формулу можно переписать в виде:

.

Введем обозначения: , .

Тогда имеем

.

Добавляя сюда очевидные равенства: , …, , имеем

(7)

Формулы (7) дают общее решение системы (1), т. к. выражают все неизвестные через свободные неизвестные .

Покажем, что формулы (7) содержат все варианты решения системы (1). В самом деле, если , – решение СЛУ (1), то имеют определенные числовые значения Þ подставляя их в систему (1) и повторяя все предыдущие выкладки, получим (7).

Таким образом, доказано.

Теорема 4. Если (1) совместна и ее ранг меньше , то эта система имеет бесконечное множество решений.

Пример.

. Возьмем , – базисные Þ из (I) и (II) имеем:

.

5°. Метод Гаусса решения СЛУ.

На практике чаще всего используют метод Гаусса построения решений СЛУ. При этом при исследовании и решении СЛУ производятся элементарные преобразования строк расширенной матрицы : перестановка строк (это соответствует перестановке уравнений системы), сложение строк (это соответствует сложению уравнений системы), умножение строк на отличное от нуля число (это соответствует умножению уравнения системы на отличное от нуля число). Очевидно, что при указанных преобразованиях получается система, эквивалентная данной. Следовательно, после элементарных преобразований строк расширенной матрицы получается расширенная матрица некоторой новой системы, эквивалентной данной системе.

Замечание. Перестановка в основной матрице двух столбцов соответствует в системе перестановке неизвестных вместе со своими координатами. Умножение столбца на число и сложение столбцов приводит к изменению коэффициентов только при одном неизвестном и значит к системе, не эквивалентной рассматриваемой.

Рассмотрим матрицу . Элементарными преобразованиями строк ее можно привести к ступенчатой матрице : :

( – некоторый элемент поля ). .

Выберем в матрице ненулевой минор порядка , т.е. базисный минор. Как и в теореме 11, §11 (о ступенчатой матрице), его можно выбрать на пересечении первых строк и столбцов, с которых начинаются ненулевые элементы строк. Этот минор верхнетреугольный и равен произведению . Будем считать, что этот минор расположен в левом верхнем углу матрицы (перестановкой столбцов матрицы и перенумерацией переменных этого всегда можно добиться). Нулевые строки матрицы отбросим (этому соответствуют уравнения с любым решением).

.

Далее все элементы базисного минора выше главной диагонали можно сделать равными нулю (как в теореме 11, §11), а элементы главной диагонали – равными 1 (умножением строки на ):

Т.о., исходная система (1) приведена к эквивалентной системе

или к системе

Отсюда видно, что если , то система имеет единственное решение

, …, .

Если , то переменные – базисные, – свободные и придавая им произвольные значения , …, , получим решение:

(9)

или, по аналогии с (7)

(10)

По аналогии с п.4 можно показать, что (9), (10) дают общее решение системы (1).

Итак, метод Гаусса состоит в следующем.

1) расширенную матрицу системы элементарными преобразованиями приводят к ступенчатому виду;

2) сравнивают ранги основной и расширенной матриц и делают вывод о совместности или не совместности системы;

3) в случае совместности системы в основной матрице выбирают базисный минор и дальнейшими элементарными преобразованиями строк добиваются того, чтобы в этом миноре все элементы вне главной диагонали стали равными нулю, а элементы главной диагонали стали равными единице;

4) выписывают систему, соответствующую полученной расширенной матрице, после чего переписывают систему, оставляя базисные неизвестные слева и переведя остальные слагаемые в правую часть;

5) если ,то в правой части стоят только свободные члены и получено единственное решение;

6) если , то в правой части есть свободные неизвестные. Придавая им произвольные значения, получаем общее решение по формуле (9).

Пример (см. п.4°).

~ ~ ~

6°. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса.

Напомним, что матрица называется обратной к , если . Обратные матрицы существуют лишь для невырожденных матриц, т.е. . Было показано, что , где – присоединенная матрица, полученная из алгебраических дополнений, т. е. вычислением определителей -ого порядка. Вместе с тем, операция вычисления определителя, запрограммированная в ЭВМ, требует больших машинных ресурсов. Поэтому более предпочтительным выглядит вычисление обратной матрицы с помощью метода Гаусса.

Для этого воспользуемся определением обратной матрицы

…

Т.о., матричное уравнение эквивалентно системе линейных уравнений, состоящей из систем, каждая из которых является системой из переменных и все они имеют одну и ту же основную матрицу систем:

; ; …;

Все эти системы объединим в одной расширенной матрице:

Приведение этой матрицы к ступенчатому виду должно обозначать приведение к ступенчатому виду всех расширенных матриц подсистем. Так как она может быть приведена к следующему виду

Решение каждой из подсистем имеет вид:

, , …,

матрица , стоящая за вертикальной чертой, является обратной матрицей .

Пример (см. пример из §8)

~ ~ ~ ~ ~

7^о. Однородные системы уравнений.

Рассмотрим однородную систему уравнений:

Лемма 1. Система однородных уравнений всегда совместна.

Действительно, – ее решение. Это решение называется тривиальным.

Ненулевые решения называются нетривиальными.

В соответствии с общей теорией, справедлива следующая лемма.

Лемма 2. Однородная система с квадратной матрицей имеет нетривиальное решение .

Доказательство. Пусть нетривиальное решение существует, тогда два решения. Методом от противного. Пусть по формулам Крамера – решение единственное, что противоречит условию .

Следовательно, существуют свободные переменные нетривиальное решение.

Теорема 5. (о множестве решений системы однородных уравнений).

Множество решений СОЛУ образует в пространстве подпространство размерности , где .

Доказательство. В соответствии с п.4^о, решение СОЛУ можно записать в виде (см. формулу (7)):

т.к. , т. е. в случае СОЛУ, любое решение системы выражается в виде линейной комбинации векторов:

, …, .

Следовательно, множество всех решений СОЛУ образует подпространство в пространстве .

Теперь покажем, что вектора – линейно независимы. Для этого составим матрицу из их координат:

Снизу расположен минор порядка , отличный от нуля столбцов матрицы линейно независимы вектора – линейно независимы эти вектора образуют базис подпространства размерность подпространства равна . ч.т.д.

Пусть известны какие-либо линейно независимых решений СОЛУ:

, …, .

Тогда, в силу предыдущей теоремы, эти вектора образуют базис в подпространстве всех решений СОЛУ и любое решение может быть представлено в виде линейной комбинации этих векторов

, . (11)

и обратно, любая линейная комбинация дает решение СОЛУ.

Определение 9. Всякая линейно независимая система решений СОЛУ (1) называется фундаментальной системой решений.

Т.о., для того, чтобы решить СОЛУ, надо найти фундаментальную систему решений. Тогда общее решение задается формулой (11), где – произвольные элементы .

Пример.

;

~ .

, .

.

Теперь покажем, что любое подпространство пространства может быть получено как решение некоторой СОЛУ.

Теорема 6. Всякое подпространство размерности в пространстве с данным базисом является подпространством решений некоторой системы линейных однородных уравнений ранга .

Доказательство. Пусть в задан базис и подпространство . Возьмем в базис дополним его до базиса в : . Каждый вектор можно разложить оп этому базису

,

причем , т.к. – линейная оболочка . Уравнения , …, определяют в базисе . Известно, что два базиса связаны формулами: , где – матрица перехода, . Тогда – формула связи координат вектора в различных базисах. Следовательно, и система уравнений на имеет вид

, (12)

Т.к. строки матрицы линейно независимы ранг системы (12) равен . ч.т.д.

8^о. системы линейных неоднородных уравнений

Рассмотрим систему неоднородных уравнений

(13)

Пусть . Пусть – решение этой системы, т.е.

(14)

Вычитая из (13) выражение (14), получаем

.

Т.о., является решением соответствующего однородного уравнения.

Пусть – фундаментальная система решений однородного уравнения. Тогда любое может быть представлено в виде:

.

Тогда получаем

(15)

Если – частное решение уравнения (13), то формулы (15) дают общее решение. Из (15) следует теорема.

Теорема 7. Общее решение СЛНУ (13) представляется в виде суммы произвольного частного решения этой системы и общего решения соответствующей ей однородной системы.

Следствие 1. Разность двух произвольных решений СЛНУ является решением соответствующей СЛОУ.

Следствие 2. Сумма любого частного решения СЛНУ с любым частным решением соответствующей СЛОУ дает частное решение СЛНУ.

Замечание. В формуле (7) вектор – частное решение СЛНУ, а вектора – частные решения СЛОУ.

 

Тема 4. Линейное пространство

1^о. Определение и простейшие свойства

Пусть даны поле с элементами, называемыми скалярами и обозначаемыми малыми греческими буквами , , , … и множество элементов, называемых векторами и обозначаемых латинскими буквами . Введем на алгебраическую операцию сложения, которая каждой паре элементов ставит в соответствие третий элемент , называемый суммой и и обозначаемый , а также операцию умножения скаляра на вектора, которая и ставится в соответствие , называемый произведением вектора на скаляр и обозначаемый

Определение 1. Множество вместе с заданными на нем операциями сложения векторов и умножения вектора на скаляр называется линейным (векторным) пространством над полем , если удовлетворяются следующие аксиомы:

1) является абелевой группой;

2) Для любых и выполняются равенства:

а) Умножение на не изменяет , т.е. .

б) .

в) Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения скаляров, т.е. .

г) Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения векторов, т.е. .

Обозначение. .

Замечание. Так как ­­− абелева группа, то существует единственный нейтральный (нулевой) элемент, обозначаемый , для каждого вектора существует единственный симметричный (противоположенный) элемент, обозначаемый , и для уравнение имеет единственное решение , называемое разностью и .

Свойствалинейного пространства.

1) выполняется .

2) выполняется .