Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Свойства изоморфных пространств.
1. Нулевому элементу V соответствует нулевой элемент и наоборот. Доказательство: Если . 2. Если элементам соответствуют , то линейная комбинация векторов равна нулю V, т.е. линейная комбинация с теми же коэффициентами равна нулю, т.е. . Доказательство следует из 1. 3. Если V и изоморфны, то максимальное число линейно независимых векторов в каждом из пространств одно и тоже, т.е. два изоморфных пространства имеют одну и туже размерность. 4. Пространства разных размерностей не могут быть изоморфными. Теорема 6. Любые два –мерных линейных пространства V и над одним и тем же полем изоморфны. Доказательство. Выберем в V базис − базис Каждому элементу , поставим в соответствие элемент с теми же координатами в базисе . Однако это соответствие взаимнооднозначно, т.к. имеет единственным образом определенные координаты , которые в свою очередь, определяют единственный элемент . В силу равноправности V и , соответствует единственный . Легко видеть, что если в силу введенного соответствия. Таким образомо все линейные пространства данной размерности –ная полем изоморфны, то есть их свойства, связанные с линейными операциями неразличимы.
Тема 5. Пространство геометрических векторов, как пример линейного пространства 1о. Направленные отрезки. Рассмотрим в пространстве две точки А и В. Они определяют отрезок АВ. Определение 1. Отрезок АВ называется направленным, если его концы А и В упорядочены; если при этом первой является точка А, а второй – точка В, то А – начало отрезка, а В – его конец. Направленный отрезок обозначается или . На чертеже направленный отрезок снабжен стрелкой на конце(см. рис.1) Определение 2. Длиной направленного отрезка называется длина отрезка АВ. Рис.1. Направленный отрезок АВ. Определение 3. Направленные отрезки и называются сонаправленными (обозначается ), если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону. Направленные отрезки и называют противоположно направленными (пишут ), если они лежат на параллельных прямых и направлены в разные стороны. Направленные отрезки и называются противоположными. Каждую точку А пространства можно рассматривать как направленный отрезок с совпадающим началом и концом. Этот отрезок обозначается и называется нулевым направленным отрезком. Его длина считается равной нулю, а направление не определено.
Определение 4. Два направленных отрезка и считаются эквивалентными, если они сонаправлены и имеют равные длины. (Обозначают ). Эквивалентность является отношением эквивалентности в множестве всех направленных отрезков, т.к. из определения эквивалентности следует: 1) отрезок эквивалентен сам себе; 2) если эквивалентен , то эквивалентен ; 3) если эквивалентен и эквивалентен , то эквивалентен .
Так как эквивалентность направленных отрезков является отношением эквивалентности, то множество всех направленных отрезков пространства разбивается на непересекающиеся классы – классы эквивалентности. Классы эквивалентности образуют фактор-множество множества всех направленных отрезков пространства. Определение 5. Множество всех эквивалентных направленных отрезков называется вектором (или свободным вектором). Замечание. Напомним, что в средней школе вектор характеризуетпараллельный перенос. Направление эквивалентных направленных отрезков называется направлением вектора, а их длина – длиной вектора. Таким образом, любой направленный отрезок однозначно определяет вектор, а вектор – это класс эквивалентных направленных отрезков. Поэтому часто будем пишут вектор , . Определение 6. Вектор a такой, что называется единичным вектором или ортом. Множество нулевых отрезков называется нулевым вектором ; Его длина равна нулю, а направление не определено. Определение 7. Два ненулевых вектора, направления которых совпадают или противоположны, называются коллинеарными. Обозначают . Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Очевидно, что прямые, на которых лежат представители классов коллинеарных векторов, параллельны. Определение 8. Три и более векторов называются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости. Для определенности любую тройку векторов, содержащую нулевой вектор, считают комплонарной. Пусть даны два вектора a и b. Из произвольной точки O пространства отложим и . Тогда есть направленный отрезок и значит, определяет вектор.
Покажем, что вектор не зависит от выбора точки O. Для этого выберем другую точку . Пусть , . Тогда – параллелограмм; аналогично, – параллелограмм – параллелограмм , т.е. они определяют один и тот же вектор. Определение 9. Вектор называется суммой векторов и . Пишут: . Способ сложения векторов, изложенный выше, называется правилом треугольника. Можно также использовать правило параллелограмма. Свойства сложения векторов. 1. . 2. . 3. , т.к. . 4. Для каждого вектора вектор, называемый вектором, противоположным , такой, что . Доказательство свойств может быть проиллюстрировано рис.2
а) б)
Рис.2. Свойства сложения векторов: а) коммутативность, б) ассоциативность Если , то через обозначим . Тогда . Определение 10. Произведением вектора на число называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям: 1) векторы и сонаправлены, если и противоположно направлены, если ; 2) . Произведение вектора на число 0 есть нулевой вектор. Пишут .
|
||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-24; просмотров: 275; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.141.8.247 (0.011 с.) |