Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Отношения между множествами.
Наглядно отношения между множествами изображают при помощи особых чертежей, называемых КРУГАМИ ЭЙЛЕРА (или диаграммами Эйлера – Венна). Для этого множества, сколько бы они ни содержали элементов, представляют в виде кругов или любых других замкнутых кривых (фигур) – рис.1.
Рис. 1.
1. Пусть даны два множества: X={a; b; c; d} иY={l; k; m; b; c}. Множества Х и Y содержат некоторые одинаковые элементы, а именно “b” и “c”. В данном случае говорят, что множества X иY находятся в отношении ПЕРЕСЕЧЕНИЯ. С помощью кругов Эйлера данное отношение можно представить в виде рис. 2.
X Y B1 B2
Рис. 2. Рис. 3.
2. Пусть даны множества B1={1; 2; 3} и B2={4; 5; 6}. Данные множества различны, у них нет одинаковых элементов. В таком случае говорят, что множества B1 и B2 находятся в отношении НЕПЕРЕСЕЧЕНИЯ. С помощью кругов Эйлера данное отношение показано на рис. 3. 3. Пусть даны множества A={a; b; c; d; e} и B={a; b; c}. Очевидно, что эти множества пересекаются; кроме того, каждый элемент Определение 1.1 Множество В является подмножеством множества А тогда и только тогда, когда каждый элемент множества В является элементом множества А. Отношение “включено” обозначается знаком Ì. Соответственно отношение “включает” – знаком É. Определение 1.1 символически записывается так: ВÌА или АÉВ. С помощью кругов Эйлера данное отношение между множествами показано на рис.4. Из определения подмножества следует, что всякое непустое множество А содержит по крайней мере два множества: Ø и А, которые называются НЕСОБСТВЕННЫМИ ПОДМНОЖЕСТВАМИ МНОЖЕСТВА. Все остальные подмножества (если они существуют) называются СОБСТВЕННЫМИ ПОДМНОЖЕСТВАМИ МНОЖЕСТВА. То есть, если В – собственное подмножество множества А, то имеем: ØÌ ВÌА, или иначе: АÉВÉ Ø. 4. Пусть даны множества C={x; y; z}, D={x; y; z}, которые состоят из одних и тех же элементов. В таком случае говорят, что множества С иD равны и пишут C=D.
Определение 1.2 Множества С и D называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Используя понятие “включено”, можно дать другое определение равенства множеств. Определение 1.3 Множества C и D называются равными тогда и только тогда, когда множество С является подмножеством множества D, и наоборот. Символически данное определение можно записать так:
С помощью кругов Эйлера отношение “равенство” показано на рис.5.
Рис.5. рис.6.
Универсальное множество. Пусть U (или T – total) – некоторое фиксированное множество. Рассмотрим только такие множества А, В, С,…, которые являются подмножествами множества U. В этом случае множество U называется универсальным множеством всех множеств А, В, С,… Примером универсального множества может служить множество действительных чисел, множество людей на планете Земля… Мы его будем изображать прямоугольником с буквой U в правом верхнем углу (рис.6), внутри которого будут размещаться те или иные множества.
Операции над множествами. Рассмотрим некоторые операции над множествами.
Пересечение множеств. Пусть даны два множества: А={a; b; c; d} и B={c; d; e}.образуем новое множество Р, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В, т.е. Р={c;d}. Тогда говорят, что множество Р является пересечением множеств А и В.
Определение 1.4 Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно. Символически пересечение множеств А и В обозначается так: АÇВ, где символ Ç - знак пересечения множеств. Используя характеристическое свойство, определение 1.4 можно записать следующим образом:
Р=АÇВ= {x ïxÎA и xÎB}={x ï xÎA Ù xÎB}. (1)
Таким образом, (1) есть характеристическое свойство пересечения двух множеств. Союз “и” иногда заменяют фигурной скобкой, и тогда (1) будет иметь вид:
(2)
Для обозначения одновременной принадлежности множеству А и множеству В используется также знак Ù (конъюнкция, или логическое “и”):
xÎAÇB Þ xÎA Ù xÎB (2а)
Читаются выражения (2) и (2а) одинаково: если х принадлежит пересечению множеств А и В, то х принадлежит как множеству А, так и множеству В. Если мы имеем ситуацию, когда х не принадлежит пересечению множеств А и В, то это означает, что х не принадлежит или множеству А, или множеству В. Символически это может быть записано так:
(3)
где квадратная скобка заменяет союз “или”. В символической записи союз “или” может быть заменен также знаком Ú (дизъюнкция, логическое “или”):
хÏАÇВ Þ хÏА Ú хÏВ. (3а)
Читаются выражения (3) и (3а) одинаково: если х не принадлежит пересечению множеств А и В, то х не принадлежит или множеству А, или множеству В. Графическая иллюстрация вариантов пересечения двух множеств приведена на рис. 7¸10 (пересечение заштриховано).
рис. 7 рис. 8 рис. 9 рис. 10 Объединение множеств. Множества А и В входят в их объединение только один раз. Это вполне соответствует толкованию множества, принятому в математике: ни один элемент не может содержаться в множестве несколько раз. Определение 1.5 Объединением двух множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Символически объединение двух множеств А и В обозначается так: А È В, где È - символ объединения множеств. Определение 1.5 можно записать с помощью характеристического свойства:
С= А È В={xï xÎA или xÎB}. (4)
Союз “или” иногда заменяют квадратной скобкой
(5)
а также знаком дизъюнкции
х ÎА È В Þ хÎА Ú хÎВ. (5а)
Читаются эти знаки одинаково: если элемент х принадлежит объединению двух множеств А и В, то он принадлежит множеству А или множеству В. Если же элемент х не принадлежит объединению множеств А и В, то он не принадлежит ни множеству А, ни множеству В. Символически это может быть записано так:
(6) или
x ÏAÈB Þ xÏA Ù xÏB. (6а)
Графически варианты объединения двух множеств показаны на рис. 11\14 (объединение заштриховано).
рис. 11 рис. 12 рис. 13 рис. 14
Отметим некоторые очевидные свойства операции объединения двух множеств:
АÈА=А, АÈÆ=А, АÈU=U. (7)
Замечание1. Если А1, А2,…, Аn – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их пересечение, т.е. составляется множество, представляющее их общую часть:
Р= А1Ç А2Ç…Ç Аn={x ï xÎ" Ai, i= },
Где символ " (квантор всеобщности) заменяет слово “все”, и, таким образом, мы символически обозначили ту часть множеств Ai, которая принадлежит каждому множеству одновременно.
Замечание 2. Если А1, А2,…, Аn – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их объединение – составляется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному их них:
C= A1ÈA2È…ÈAn={x ï xÎA1 или xÎA2 или …или xÎAn}.
Замечание 3. Если в выражении есть знаки È и Ç и нет скобок, то сначала выполняется операция пересечения, а потом – операция объединения (аналог сложению и умножению в арифметике).
Разность множеств.
Определение 1.6 Разностью двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В. Символически разность двух множеств обозначается так: А \ В, где символ \ является знаком разности для множеств. С помощью характеристического свойства запишем определение 1.6 следующим образом:
C=A \ B={x ï xÎA и xÏB} (8)
Или (9)
а также xÎA\B Þ xÎA Ù xÏB. (9а)
Пример 1.
Если E1={2; 4; 6} и E2={6; 8; 10}, то E3=E1\E2={2; 4}, E4=E2\E1={8;10}.
Пример 2.
Если M1={x1; x2; x3}, M2={y1; y2}, то M3=M1\M2={ x1; x2; x3}, M4=M2\M1={y1; y2}.
Пример 3.
Если K1={1; 3; 5; 7; 9}, K2={5; 7; 1}, то K3=K1\K2={3; 9}, K4=K2\K1=Æ.
Графическое представление вариантов разности двух множеств А и В показано на рис. 15\18, где множество А \ В заштриховано.
рис. 15 рис. 16 рис. 17 рис. 18 Дополнение к множеству. Определение 1.7 Пусть В Ì А. Множество всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называют дополнением к множеству В и обозначают или . Если ясно, о каком множестве идёт речь, то индекс А опускается и пишут или .
Определение 1.8 Пусть А – некоторое множество, являющееся частью универсального (основного) множества U. Дополнением множества А называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов их множества U, которые не принадлежат А. Его обозначают или . Это определение может быть записано в виде:
= {x ï xÏA}. (10)
Графически дополнения (соответственно определениям 1.7 и 1.8) изображены на рис. 19 и 20 соответственно, на которых дополнения заштрихованы.
рис. 19 рис. 20
Тема 2. Матрицы 1о .Основные определения. Пусть – коммутативное кольцо с единицей.
Определение 1. Матрицей размеров над кольцом называется прямоугольная таблица из элементов кольца и имеющая строк и столбцов: где – номер строки, – номер столбца, − элементы матрицы, и − порядки матрицы. В этом случае говорят, рассматриваемая матрица размера . Если , то матрица называется квадратной, а число – её порядком. Далее для изображения матрицы применяются либо круглые скобки, либо сдвоенные прямые: или . Для краткого обозначения матрицы используется либо заглавная латинская буква , либо символы , , либо с разъяснением: . Множество всех матриц размера обозначается . Частные случаи матриц. 1. Если , то матрица называется квадратной. Её диагональ называется главной диагональю, а – побочной диагональю. 2. Диагональная матрица – это матрица, у которой все ненулевые элементы находятся на главной диагонали, т.е. . 3. Диагональная матрица вида называется скалярной. 4. Скалярная матрица с единичными элементами на главной диагонали называется единичной. Обозначается или , где – ее порядок. 5. Матрица размера , у которой все элементы равны нулю, называется нулевой и обозначается . 6. Если , то матрица называется строкой, или матрица-строка, или строка. Если столбцовая = матрица-столбец = столбец. Определение 2. Две матрицы называются равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и их соответствующие элементы совпадают. 2о. Операции над матрицами и их свойства. Определение 3. Суммой матриц и (т.е. имеющих одинаковые порядки) называется матрица : . Обозначение: . Замечание. Сумма матриц – алгебраическая операция. Пример. . Свойства (сложения матриц). 1) Коммутативность сложения, т.е., справедливо . 2) Ассоциативность сложения, т.е., справедливо . 3) . 4) . При этом, если , то . Матрица называется противоположной к и обозначается . Доказательство свойств – самостоятельно прямыми вычислениями. Теорема 1. Множество относительно сложения образует абелеву группу. Доказательство следует из свойств 1)–4). Определение 4. Произведением элемента на матрицу называется матрица Обозначение: . Операция, сопоставляющая и их произведение называется умножением элемента кольца на матрицу. Свойства (умножения матрицы на элемент кольца). выполняется 1) . 2) . 3) . 4) . Доказательство свойств – самостоятельно прямыми вычислениями. Замечание. Разность двух прямоугольных матриц и определяется равенством . Определение 5. Произведением матриц размера и размера называется матрица размеров такая, что каждый элемент . Обозначение: . Операция произведения на называется перемножением этих матриц. Из определения следует, что элемент матрицы , стоящий в –ой строке и –ом столбце, равен сумме произведений элементов –ой строки матрицы на –ый столбец матрицы . Примеры. 1) , 2) . Таким образом, две матрицы можно перемножать, если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Тогда матрица называется согласованной с . Из согласованности с не следует согласованность с . Если даже условие согласования выполняется, то в общем случае .
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-24; просмотров: 3789; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.117.107.90 (0.121 с.) |