Гармонический осциллятор, его Закон движения, скорость, ускорение, возвращающая сила, энергия.

Гармонический осциллятор, его закон движения, скорость, ускорение, возвращающая сила, энергия.

Гармонический осциллятор – система, совершающая колебания, описываемые дифференциальным уравнением гармонических колебаний: . Решением этого уравнения является выражение: (*), где A – максимальное значение колеблющейся величины (амплитуда колебания), ω₀ – круговая (циклическая) частота, φ – начальная фаза колебания в момент времени t =0, (ω₀t + φ) – фаза колебания в момент времени t. Фаза колебания определяет значение колеблющейся величины в момент времени t. Так как косинус изменяется в пределах от +1 до -1, то s может принимать значения от +А до –А.

За период колебаний фаза колебания получает приращение 2 π, т.е.: откуда:

Запишем первую и вторую производные по времени от гармонически колеблющейся величины s:

Из последнего выражения и следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний .

Пусть материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат х около положения равновесия, принятого за начало координат. Тогда зависимость координаты х от времени t задается уравнением, аналогичным уравнению (*), где s = x:

Скорость и ускорение – это первая и вторая соответственно производные от х:

Сила F = ma, действующая на колеблющуюся м.т. массой m вышенаписанных уравнений, равна:

где .

Кинетическая энерги я м.т., совершающей прямолинейные гармонические колебания равна: или

Потенциальная энергия м.т., совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F, равна или

Полная энергия Е: .

ВЫВОДЫ: 1. Колебания возникают при условии: а) положения равновесия б) возвращающая сила в) инертность, m. 2. где ψ - колеблющаяся величина (x, v, A, F).

Если уравнение движения имеет такой вид, то это гармонические колебания с .

Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур.

 

Резонанс.

Анализ зависимости А=A(ω) амплитуды от частоты вынужд. силы показывает, что система по разному откликается на внешнее воздействие и при определенной частоте этот отклик наибольший и амплитуда максимальная. Такое явление называется резонансом. Частота, при которой он наступает, называется резонансной ω_р.

ω_р -?

δ – коэффициент затухания: - зависит от сил трения.

Трение мало, δ мало. ω_р≤ω₀

А_р→∞ при δ →0

Резонансные кривые показаны на рисунке.

 

Кольца Ньютона

Кольца Ньютона наблю­даются при интерференции света в тонком зазоре между соприкасающимися плоской и сферической поверхностя­ми (рис.). В отраженном свете интерферируют лучи, разделяющиеся и вновь схо­дящиеся в точке А. Один из них отражается от границы раздела линза - воздух в этой точке, а другой прохо­дит зазор и отражается от пластинки в точке А' с увеличением фазы на π.

Разность хода этих лучей: увеличивается вместе с увеличением толщины зазора при удале­нии от точки О, так что интерференционная картина имеет вид концентрических темных и светлых колец с центром в точке О. Интерференционная картина отчетлива при условии b «R.. Из рис. получаем:

Радиусы светлых колец в отраженном свете (или темных в проходящем):

радиусы темных колец в отраженном свете (или светлых в про­ходящем): , где т - номер кольца (т = 0, 1,2...).

Полосы равного наклона (интерфе­ренция от плоскопараллельной пластин­ки)

Интерференционная картина в плоскопараллельных пластинках (плен­ках) определяется величинами l₀, d, n и α. Для данных l₀, d и n каждому на­клону α лучей соответствует своя интер­ференционная полоса. Интерференцион­ные полосы, возникающие в результате наложения лучей, падающих на плоскопа­раллельную пластинку под одинаковыми углами, называются полосами равного на­клона.

Лучи 1' и 1 ", отразившиеся от верхней и нижней граней пластинки (рис.250), параллельны друг другу, так как пластин­ка плоскопараллельна. Следовательно, ин­терферирующие лучи 1 ' и 1 " «пересекают­ся» только в бесконечности, поэтому гово­рят, что полосы равного наклона локали­зованы в бесконечности. Для их на­блюдения используют собирающую линзу и экран (Э), расположенный в фокальной плоскости линзы. Параллельные лучи 1' и 1" соберутся в фокусе F линзы (на рис. 250 ее оптическая ось параллельна лу­чам 1' и 1"), в эту же точку придут и дру­гие лучи (на рис.250 — луч 2), парал­лельные лучу 1, в результате чего увеличи­вается общая интенсивность. Лучи 3, наклоненные под другим углом, соберутся в другой точке Р фокальной плоскости линзы. Легко показать, что если оптиче­ская ось линзы перпендикулярна повер­хности пластинки, то полосы равного на­клона будут иметь вид концентрических колец с центром в фокусе линзы.

Применение интерференции света

Явление интерференции обусловлено во­лновой природой света; его количествен­ные закономерности зависят от длины во­лны l₀.Поэтому это явление применяется для подтверждения волновой природы света и для измерения длин волн (интер­ференционная спектроскопия).

Явление интерференции применяется также для улучшения качества оптических приборов (просветление оптики) и получе­ния высокоотражающих покрытий.

Про­светление оптики. Для этого на свободные поверхности линз наносят тонкие пленки с показателем преломления меньшим, чем у материала линзы. При отражении света от границ раздела воздух — пленка и пленка — стекло возникает интерферен­ция когерентных лучей 1' и 2' (рис.253). Толщину пленки d и показатели преломле­ния стекла n _с и пленки n можно подобрать так, чтобы интерферирующие лучи гасили друг друга. Для этого их амплитуды до­лжны быть равны, а оптическая разность

хода — равна (2m+1)l₀/2.

Явление интерференции также приме­няется в очень точных измерительных при­борах, называемых интерферометрами. Все интерферометры основаны на одном и том же принципе и различаются лишь конструкционно.

Интерферометры — очень чувстви­тельные оптические приборы, позволяю­щие определять незначительные измене­ния показателя преломления прозрачных тел (газов, жидких и твердых тел) в за­висимости от давления, температуры, при­месей и т. д.

 

 

 

 

Поляризация света. Поляризатор и анализатор. Закон Малюса. Примеры получения и применения поляризованного света.

Свет: - поперечная волна.

 

 

Волна называется поляризованной, если плоскость, в которой колеблется , каким-либо образом упорядочена.

Свет излучает атом. Каждый атом излучает линейно-поляризованный цуг волн (волновой цуг - излучение света атомами в виде отдельных коротких импульсов). Но т.к. атомы тела излучают хаотически, то естественный свет неполяризован.

 

 

Ест. свет = поляриз.

Устройство, превращающее естественный свет в поляризованный называется поляризатором. Он пропускает колебания только определенного направления (например, пропускает колебания, параллельные главной плоскости поляризатора, и полностью задерживает перпендикулярные этой плоскости. Устройство, служащее для анализа степени поляризации света, называется анализатором. Оба устройства совершенно одинаковы (их можно поменять местами).

Схема классического опыта с турмалином:

 

 

 

Закон Малюса:

, где I - интенсивность поляризованного света, прошедшего через поляризатор; I₀ – интенсивность света, падающего на поляризатор; φ – угол, образованный вектором падающей световой волны с плоскостью поляризатора.

Примеры получения и применения поляризованного света:

1. Закон Брюстера:

При отражении от диэлектрика происходит частичная или полная поляризация естественного света.

Если , отраженный луч полностью поляризован.

2. Двойное лучепреломление:

Проходя через прозрачный анизотропный кристалл, под углом к его оптической оси естественный свет делится на два луча.

 

3. Дихроизм.

4. Применение поляризованного света:

а) метод фотоупругости;

б) вращение плоскости поляризации: оптически активные вещества (кварц, раствор сахара).

φ ~ d – твердые тела;

φ ~ d c – жидкости,

где d – толщина, с - концентрация, φ – угол поворота плоскости поляризации.

Законы излучения абсолютно черного тела: Закон Стефана-Больцмана, закон Вина. Трудности классической физики при объяснении распределения энергии в спектре черного тела. Квантовая гипотеза Планка.

1. Закон Стефана-Больцмана:

Для а.ч.т.:

Для серого тела: где σ = 5,678 * 10^-8 Вт/(м² К²) – постоянная Стефана-Больцмана; Т - абсолютная температура.

Закон Стефана — Больцмана, опреде­ляя зависимость R_T от температуры, не дает ответа относительно спектрального состава излучения черного тела. Из экспе­риментальных кривых зависимости функ­ции r_l,T (r _l,T =(c/l ² )r_v,T) от длины волны l при различных температурах (рис.) следует, что распределение энергии в спек­тре черного тела является неравномерным. Все кривые имеют явно выраженный мак­симум, который по мере повышения темпе­ратуры смещается в сторону более корот­ких волн.

2. Закон Вина:

, где λ – длина волны, соответствующая максимальной испускательной способности абсолютно черного тела при данной температуре Т; b = 2,9 * 10^{-3 м К.}

Попытки объяснить распределение энергии в спектре черного тела с помощью волновой теории оказались неудачными.

Несмотря на то что законы Стефана — Больцмана и Вина играют, в теории тепло­вого излучения важную роль, они являют­ся частными законами, так как не дают общей картины распределения энергии по частотам при различных температурах.

Согласно теории относительности Эйнштейна энергия W и масса m взаимосвязаны: W=mc², где с = 3 * 10⁸ м/с – скорость света в вакууме.

При излучении энергии масса тела уменьшается, при поглощении – увеличивается.

Квантовая гипотеза. Формула Планка:

При объяснении законов теплового излучения возникла гипотеза о квантах, с которой началась квантовая физика: электромагнитное излучение испускается порциями (квантами) с энергией , где h =6,625*10^-34 Дж*с – постоянная Планка; ν – частота излучения.

Согласно электромагнитной теории в замкнутом объеме (резонаторе) существуют устойчиво только колебания, соответствующие стоячим волнам.

Пример резонатора – струна:

Тело – источник теплового излучения. В нем возникают стоячие электромагнитные волны, причем , где m =1,2,3,…- номер гармоники.

 

 

Примеры применения уравнения Шредингера: частица в бесконечно глубокой потенциальной яме; гармонический осциллятор.

Частица в бесконечно глубокой потенциальной яме:

0 ≤ х ≤ а:

Граничные условия: Ψ(0)=0, Ψ(а)=0

Гармонические колебания

- спектр собственных энергий частицы, уровни энергии.

Энергия частицы квантуется.

-собственные функции

; -собств. функции

 

 

Классическая частица в такой потенциальной яме может иметь любую энергию и, двигаясь равномерно от одной стенки к другой с равной вероятностью может быть поймана в любом месте ямы.

У квантовой частицы энергия имеет линейчатый спектр и вероятность поймать ее в данной области ямы для разных состояний различна.

.

Гармонический осциллятор: (пружинный маятник)

УШ→

, n - квантовое число (n = 0,1,2,…)

Энергия такого осциллятора квантуется.

Примером квантовых осцилляторов может служить колебание атомов в узлах кристаллической решетки. Согласно классическим представлениям Т~< ε > - средняя энергия теплового движения.

Квантовый осциллятор: - энергия «нулевых» колебаний.

Движение никогда не прекращается. Это проявляется в опыте.

 

Гармонический осциллятор, его закон движения, скорость, ускорение, возвращающая сила, энергия.

Гармонический осциллятор – система, совершающая колебания, описываемые дифференциальным уравнением гармонических колебаний: . Решением этого уравнения является выражение: (*), где A – максимальное значение колеблющейся величины (амплитуда колебания), ω₀ – круговая (циклическая) частота, φ – начальная фаза колебания в момент времени t =0, (ω₀t + φ) – фаза колебания в момент времени t. Фаза колебания определяет значение колеблющейся величины в момент времени t. Так как косинус изменяется в пределах от +1 до -1, то s может принимать значения от +А до –А.

За период колебаний фаза колебания получает приращение 2 π, т.е.: откуда:

Запишем первую и вторую производные по времени от гармонически колеблющейся величины s:

Из последнего выражения и следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний .

Пусть материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат х около положения равновесия, принятого за начало координат. Тогда зависимость координаты х от времени t задается уравнением, аналогичным уравнению (*), где s = x:

Скорость и ускорение – это первая и вторая соответственно производные от х:

Сила F = ma, действующая на колеблющуюся м.т. массой m вышенаписанных уравнений, равна:

где .

Кинетическая энерги я м.т., совершающей прямолинейные гармонические колебания равна: или

Потенциальная энергия м.т., совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F, равна или

Полная энергия Е: .

ВЫВОДЫ: 1. Колебания возникают при условии: а) положения равновесия б) возвращающая сила в) инертность, m. 2. где ψ - колеблющаяся величина (x, v, A, F).

Если уравнение движения имеет такой вид, то это гармонические колебания с .

Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур.