Соотношения неопределенностей как выражение корпускулярно-волнового дуализма и границ применения классической физики.

Соотношения неопределенностей Гейзенберга являются математическим выражением корпускулярно-волнового дуализма, ограничивая применение классических моделей волны и частицы к микрочастицам.

Классическая частица: состояние - траектория

Ее координаты: x, y, z известны точно

неопределенность (ошибка) координаты.

Классическая волна:λ

 

 

Микрочастицы: сопряженные величины.

Δх – неопределенность координаты

Δр_х - неопределенность импульса в проекции на эту ось.

Для Δх и Δр_х (и т.п.) ограничений нет.

Соотношения неопределенностей позволяют провести четкую границу между необходимостью использования квантовой или классической физики.

Δх Δ р_х ≥ h – квантовый объект;

Δх Δр_х >> h – классический объект;

Δх Δр_х < h – таких объектов нет!

Сопряженные величины: ΔЕ Δt ≥ h, где ΔЕ – неопределенность энергии; Δt – время, необходимое для измерения этого значения энергии Е.

Экспериментальным подтверждением служит естественная ширина спектральных линий.

 

 

Состояние и уравнение движения квантовой частицы. Волновая функция, ее статистический смысл. Уравнение Шредингера.

Классическая частица: м.т., состояние - траектория.

Уравнение движения: II закон Ньютона .

Микрочастица: волна + частица; Δx + Δp_x ≥ h – нет классической траектории, волновое «облако».

Уравнение движения: УШ + граничные условия→Ψ

Состояние квантового объекта полностью описывается волновой функцией . Сама волновая функция не сопоставима ни с какой измеряемой в опыте физической величиной.

Физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции , определяющий вероятность обнаружения микрочастицы в точке с координатами x,y,z в момент времени t. Это значит, что прямо пропорциональна потоку частиц N, который может быть измерен, например, счетчиком: N ~ .

Вероятность ~ ~

Плотность вероятности: ~ ΔN.

Волновая функция конечная, однородная и непрерывная.

Уравнение движения (Уравнение Шредингера):

- Одномерное стационарное движение.

, U- потенциальная энергия частицы (энергия взаимодействия); Е - полная энергия; m – масса частицы.

Если известна U=U(x) и граничные условия (аналог начальных условий) - на границах области движения.

 

 

 

Примеры применения уравнения Шредингера: частица в бесконечно глубокой потенциальной яме; гармонический осциллятор.

Частица в бесконечно глубокой потенциальной яме:

0 ≤ х ≤ а:

Граничные условия: Ψ(0)=0, Ψ(а)=0

Гармонические колебания

- спектр собственных энергий частицы, уровни энергии.

Энергия частицы квантуется.

-собственные функции

; -собств. функции

 

 

Классическая частица в такой потенциальной яме может иметь любую энергию и, двигаясь равномерно от одной стенки к другой с равной вероятностью может быть поймана в любом месте ямы.

У квантовой частицы энергия имеет линейчатый спектр и вероятность поймать ее в данной области ямы для разных состояний различна.

.

Гармонический осциллятор: (пружинный маятник)

УШ→

, n - квантовое число (n = 0,1,2,…)

Энергия такого осциллятора квантуется.

Примером квантовых осцилляторов может служить колебание атомов в узлах кристаллической решетки. Согласно классическим представлениям Т~< ε > - средняя энергия теплового движения.

Квантовый осциллятор: - энергия «нулевых» колебаний.

Движение никогда не прекращается. Это проявляется в опыте.