Тема 6. Выявление различий в распределении признака

Цель: Научиться применять критерии математической статистики для психологических задач типа: сравнение распределений признака.

Задачи:

1. Познакомиться с критериями t – Стьюдента, c² – Пирсона и l.- Колмогорова-Смирнова

2. Решение задач с использованием этих критериев.

3. Показать способы интерпретации результатов, где в обработке применяются данные критерия.

Теория

Одна из задач для исследователя в психологии состоит в сопоставлении двух распределений, которые могут различаться между собой по средним, дисперсии, асимметрии, эксцессу и по сочетанию этих параметров. Распределения также могут различаться и по частотам каждого разрядного интервала. Обнаружить различия между распределения можно с помощью параметрического критерия t – Стьюдента и непараметрических критериев c² – Пирсона и l.- Колмогорова-Смирнова.

T – критерий Стьюдента

Критерий применяется в случае, когда стоит задача сравнить средние показатели двух распределений.

Критерий основан на оценке общих частей двух распределений.

Ограничение критерия состоит в том, что распределения должны быть нормальными.

Эмпирическое значение критерия вычисляется по формуле:

- ошибка средней, Х1 и Х2 средние арифметические двух сравниваемых распределений; n – объем соответствующей выборки.

Эмпирическое значение критерия сравнивается с критическими для f степеней свободы по таблице 7 приложения 2, где .

Пример. В 10 и 8 классе предлагался невербальный тест структуры интеллекта Кеттелла. В таблице 33 представлены результаты суммы баллов по 4 субтестам. Различаются ли средние показатели в данных классах?

Решение:

;

 

 

Таблица 33

Обобщенный показатель теста Кеттелла

учащихся 10 и 8 классов

10 класс	8 класс
№ исп.	Балл	№ исп.	Балл	№ исп.	Балл	№ исп.	Балл
Х	29,09		Х	27,25
s	4,68	s	3,75

f=22+20-2=40. Для f=40 – t_0,01=2,704, t_0,05=2,021

t_эмп < t_0,05, следовательно, экспериментальная гипотеза отвергается.

Ответ: 10 и 8 класс по средним показателям невербального интеллекта, измеренного по тесту Кеттелла, не различаются.

c² - критерий Пирсона

Критерий применяется в двух случаях:

1) для сопоставления эмпирического распределения признака с теоретическим (равномерным, нормальным или каким-то иным);

2) для сопоставления двух эмпирических распределений одного и того же признака.

Критерий отвечает на вопрос о том, с одинаковой ли частотой встречаются разные значения признака в эмпирическом и теоретическом распределениях или в двух эмпирических распределениях.

Признак может быть измерен по любой шкале, даже номинальной.

Ограничения:

1) n³30;

2) теоретическая частота для каждой ячейки таблицы не должна быть меньше 5: f³5. Это означает, что если число разрядов задано заранее и не может быть изменено, то мы можем применять метод c², только накопив определенное минимальное число наблюдений. Так, если количество разрядов (k) задано заранее, минимальное число наблюдений (n_min) определяется по формуле: n_min= 5 k

3) выбранные разряды должны «вычерпывать» все распределение, то есть охватывать весь диапазон вариативности признаков. При этом группировка на разряды должна быть одинаковой во всех сопоставляемых распределениях;

4) необходимо вносить поправку на непрерывность при сопоставлении распределений признаков, которые применяют всего 2 значения. При внесении поправки значение c² уменьшается;

5) разряды должны быть неперекрещивающимися: если наблюдение отнесено к одному разряду, то оно уже не может отнесено ни к какому другому разряду.

Вычисление критерия:

1) при сравнении эмпирического с теоретическим равномерным распределением. Для этого лучше воспользоваться таблицей 34.

Таблица 34

Разряды	fэj	fт	(fэj-fт)	(fэj-fт)^2	(fэj-fт)/fт

 

Здесь в 1 столбике даются наименования разрядов,

во 2 столбике даются эмпирические частоты по каждому разряду f_эj, где j меняется от 1 до k,

в 3 столбике теоретическая частота, одинаковая для каждого разряда и вычисленная по формуле f_т=n/k,

в 4 столбике находится разность между эмпирической и теоретической частотами по каждому разряду,

в 5 столбике значения 4 столбика возводятся в квадрат по каждому разряду,

в 6 столбике находится отношение значений 5 столбика к теоретической частоте по каждому разряду.

Эмпирическое значение критерия есть сумма значений 6 столбика, т.е.

Далее находим число степеней свободы по формуле n=k-1 и определяем для данного n критические значения критерия (таблица 5 приложения 2).

Если c²>c²_0,01, то эмпирическое распределение отличается от равномерного, если c²£c²_0,05, то эмпирическое распределение не отличается от равномерного, если c²_0,05< c²£c²_0,01, то отличие эмпирического распределения от равномерного значимо на 5% уровне.

Таблица 35

Распределение учащихся по когнитивному стилю «дифференциальность-интегральность» и расчет данных по критерию c²

Стиль	fэмп	fт	(fэмп-fт)^2	(fэмп-fт)^2/fт
Дифференциально-теоретический				2,5
Дифференциально-деятельностный				0,4
Дифференциально-эмоциональный				1,6
Интегрально- теоретический				8,1
Интегрально- деятельностный				6,4
Интегрально- эмоциональный

Пример. У учащихся подросткового возраста (60 человек 13-14 лет) выявлялся когнитивный стиль «дифференциальность-интегральность» по методике Г.А. Берулава. В каждом стиле выделяются три стратегии: теоретическая, деятельностная, эмоциональная. Распределение учащихся по стилям представлены в таблице 35. Можно ли утверждать, что в данной группе учащихся равномерно представлены все данные стили?

Решение: n=60 >30, следовательно, применим критерий c².

Сформулируем экспериментальную гипотезу: распределение учащихся по стилям «дифференциальность-интегральность» с тремя стратегиями является равномерным.

к=6, следовательно, f_т=60/6=10.

Для n=к-1=6-1=5

c²_0,05=11,070 c²_0,01=15,089

c²>c²_0,01, следовательно, экспериментальная гипотеза отвергается.

Ответ: распределение учащихся по стилям «дифференциальность-интегральность» с тремя стратегиями отличается от равномерного.

2) При сравнении двух эмпирических распределений:

Вычисления также произведем с помощью таблицы 36.

Таблица 36

нр	fэ1j	fэ2j	fэ1j+fэ2j	fт1j	fт2j	(fэ1j-fт1j)^2 fт1j	(fэ2j-fт2j)^2 fт2j

 

Здесь в 1 столбце записывается наименование разрядов,

во втором столбце записываются соответствующие частоты первого эмпирического распределения (f_э1j), где j меняется от 1 до к,

в третьем столбце записываются соответствующие частоты второго эмпирического распределения (f_э2j),

в 4 столбце находится сумма эмпирических частот первого и второго распределения по каждому разряду отдельно (f_э1j+f_э2j),

в 5 столбце записывается теоретическая частота каждого разряда первого эмпирического распределения, вычисленная по формуле:	;
в 6 столбце записывается теоретическая частота каждого разряда первого эмпирического распределения, вычисленная по формуле:	;

в 7 столбце находится квадрат разности соответственно эмпирической частоты первого распределения с его теоретической частотой по каждому разряду и делится на эту теоретическую частоту ((f_э1j-f_т1j)²/ f_т1j),,

в 8 столбце находится квадрат разности соответственно эмпирической частоты второго распределения с его теоретической частотой по каждому разряду и делится на эту теоретическую частоту ((f_э2j-f_т2j)²/ f_т2j).

Значение критерия есть сумма всех значений 7 и 8 столбцов, т.е.

.

Далее также находится число степеней свободы n и по таблице 5 приложения 2 находятся критические значения.

Если c²>c²_0,01, то одно эмпирическое распределение отличается от другого, если c²£c²_0,05, то первое эмпирическое распределение не отличается от второго, если c²_0,05< c²£c²_0,01, то отличие двух эмпирических распределений друг от друга значимо на 5% уровне.

Пример. У учащихся подросткового возраста массовой школы (25 человек) и воспитанников детского дома (25 человек) определялись особенности образа «я» по методике «Каким я кажусь себе». В результате выделилось 7 категорий высказываний о себе. Данные представлены в таблице 36. Различается ли распределение количества высказываний о себе по категориям подростков детского дома и массовой школы?

Решение: n₁=88 (количество высказываний подростков массовой школы о себе), n₂=111 (количество высказываний подростков детского дома о себе). n₁, n₂ >30, следовательно, применим критерий c².

Сформулируем экспериментальную гипотезу: распределение высказываний подростков детского дома и массовой школы о себе по различным категориям существенно отличаются.

Вычислим эмпирическое значение критерия в таблице 37.

Таблица 37

Количество высказываний подростков детского дома и массовой школы о себе и расчет критерия c²

№ катег. выск.	f1	f2	f1+f2	fт1	fт2	(f1-fт1)^2 fт1	(f2-fт2)^2 fт2
				13,27	16,73	0,81	0,53
				19,45	24,54	0,33	0,26
				8,84	11,15	1,67	1,33
				10,17	12,83	8,27	6,55
				12,38	15,62	4,69	3,72
				15,48	19,52	0,01	0,01
				8,4	10,59	5,19	4,1

Категории высказывания:

1) формально-библиографические ролевые сведения; 2) отношения к окружающим людям; 3) отношение к своему возрасту, взрослости, самостоятельности; 4) умения, интересы, способности, интеллект; 5) поведение; 6) качества личности; 7) внешность, отношение к сверстникам противоположного пола.

χ²_эмп=0,81+0,33+1,67+8,27+4,69+0,01+5,19+0,53+0,26+1,33+6,55+3,72+0,01+4,1=37,47;

Найдем число степень свободы ν=7-1=6.

Для ν=6 χ²_0,01=16,812; χ²_0,05= 12,592.

χ²_эмп > χ²_0,01Þ принимается экспериментальная гипотеза.

Ответ: Количество высказываний о себе, относящихся к разным категориям, у подростков детского дома отличаются от количества высказываний подростков массовой школы.

Поправка на непрерывность вносится тогда, когда n=1. Формула тогда имеет следующий вид:

.

Пример. У студентов I курса педагогического вуза (факультетов физики и математики, биологии и химии, филологии) выявлялась принадлежность к когнитивному стилю «полезависимость-поленезависимость» по методике «Замаскированные фигуры» Готтшальтда. Результаты исследования представлены в таблице 37. Выявляются ли половые различия в принадлежности к данным стилям?

Решение: n₁=49 (количество юношей), n₂=53 (количество девушек), n₁, n₂ >30, следовательно, применим критерий c².

Сформулируем экспериментальную гипотезу. Юноши и девушки студенты по принадлежности к когнитивному стилю «полезависимость-поленезависимость» различаются.

Найдем эмпирическое значение критерия по таблице 38.

Таблица 38

Распределение девушек и юношей по принадлежности к стилю «полезависимость-поленезависимость» и расчет значения критерия χ²

Стиль	f1	f2	f1+f2	fт1	fт2	(f1-fт1-0,5)^2 fт1	(f2-fт2-0,5)^2 fт2
ПЗ				23,1	24,9	3,99	2,97
ПНЗ				25,9	28,1	2,86	3,28

к=2, следовательно, n=1.

Для данного n - χ²_0,01=6,635; χ²_0,05= 3,841.

χ²_эмп > χ²_0,01Þ принимается экспериментальная гипотеза.

Ответ: юноши и девушки по принадлежности к когнитивному стилю «полезависимость-поленезави-симость» различаются.