Полигон распределения частот.

Построение во многом совпадает с построением гистограммы, только вместо столбиков на пересечении середины интервалов и частоты ставится точка, а потом точки соединяются прямыми отрезками. Кроме того, полигон заканчивается соединением точек, представляющих наивысший и наинизший разряды, с координатной осью на серединах следующих интервалов. Самое важное условие построение полигона распределения частот состоит в том, что разрядные интервалы должны быть представлены в ранговой, интервальной шкале или шкале отношений, при этом быть упорядочены. Приведен пример построения полигона распределения частот для одной выборки (рис. 5).

Рис.5. Выраженность показателей оптимального темпа детей 5-7 лет.

 

При построении полигона распределения частот для двух и более выборок линии, соединяющие точки первого и второго распределения, имеют разный цвет, или одна линия сплошная, а другая пунктирная. Приведем пример построения данного вида графика для двух выборок в случае задачи изучения аналогий учащихся 6 и 8 классов (таблица 8).

Рис. 6. Соотношение баллов по тесту аналогии учащихся 6, 8 классов.

3) Сглаженная кривая. Данная кривая подобна полигону, только точки соединяются плавной линией и крайние точки не соединяются с осью абсцисс, а плавно к ней стремятся.

Рис.7. Выраженность показателей оптимального темпа детей 5-7 лет.

 

Разновидностью сглаженной кривой является процентильная кривая. Строится данная кривая непосредственно рядом с таблицей расчетов (рис.8). Точки, определяющие кривую процентилей, расположены на горизонталях у верхней границы каждого разряда, в позиции, которая указывает по горизонтальной шкале процент всех оценок, входящих в этот разряд.

Интер- валы	f	fcum	cum% 0	Шкала процентилей
10	20	30	40	50	60	70	80	90	1100
42-49
34-41
26-33
18-25
10-17

Рис. 8. Процентильная кривая показателей оптимального темпа детей 5-7 лет.

 

Круговая диаграмма.

Наиболее эффективно применение данного вида графика для случая, когда необходимо представлять результаты одной или двух выборок. Самое важное условие состоит в том, что в выборке, представленные категории (например, уровни, полюса, выраженность и не выраженность параметра) можно было бы представить в виде процентной доли.

Пример. С детьми 5 лет проводилась методика «Классификация геометрических фигур» до и после коррекционной программы. Результаты представлены в таблице 11.

Таблица 11

Результаты исследования классификации

геометрических фигур

Этап Уровень	Констатирующий этап	Контрольный этап
f	%	f	%
Высокий
Средний
Низкий

Представим эти данные в виде круговой диаграммы.

Рис. 9. Процентное соотношение уровней классификации геометрических фигур детьми 5 лет на констатирующем и контрольном этапе.

Задачи:

1.1. С учащимися 5 класса проводился тест на необычное применение предмета (автомобильной покрышки). Результаты представлены в табл. 12. Необходимо:

а) протабулировать данные;

б) проранжировать данные;

б) найти 50-й процентиль;

в) представить эти данные графически в виде гистограммы, полигона распределения частот и процентильной кривой.

Таблица 12

Результаты по тесту «Необычное применение предмета» учащихся 5 класса

Имя	Оценка	Имя	Оценка	Имя	Оценка	Имя	Оценка
А.А.		С.К.		В.У.		Э.Ф.
В.Б.		А.К.		М.Ф.		В.Е.
О.Б.		Н.Н.		А.Ф.		Р.О.
А.Д.		А.О.		Э.Х.		О.К.
С.Д.		А.О.		Р.Х.		Ч.Ю.
А.Е.		П.П.		А.Ц.		А.Ю.
Л.Ж		Н.С.		Р.Ч.		А.Я.
Д.И.		А.Т.		Р.В.		Р.Я.
Е.К.		Т.Т.		Ю.А.		Ф.Я.

1.2. У учащихся старшего подросткового возраста исследовалось пространственное мышление (50 человек). Результаты представлены в таб. 13.

Таблица 13

Результаты по исследованию пространственного мышления учащихся старшего подросткового возраста

№	Оцен-ка	№	Оцен-ка	№	Оцен-ка	№	Оцен-ка	№	Оценка

Необходимо:

а) сгруппировать данные в удобное количество разрядных интервалов;

б) найти 60-й процентиль для сгруппированных данных;

в) представить эти данные графически в виде гистограммы, полигона распределения частот и процентильной кривой.

1.3. У студентов 1 курса педагогического колледжа 30 человек проводилась методика. Результаты уровней по параметрам методики представлены в таблице 14. Представить данные в виде гистограммы и круговой диаграммы.

Таблица 14

Выраженность уровней у студентов 1 курса по параметрам методики

Параметр   Уровень	Тревожность	Познавательная активность	Негативные эмоциональные проявления
Высокий
Средний
Низкий

1.4. Со студентами, обучающимися на факультетах естественно-научного (120 ч.) и гуманитарного цикла (115 ч.), проводилась проективная методика Е.С.Романова и О.Ф. Потемкина на представление о картине мира. Результаты представлены в таблице 15. Представить данные графически.

Таблица 15

Распределение студентов по характеру отображения картины мира на рисунке

Характер отображения	Количество студентов
Естественно-научного	Гуманитарного
Планетарная
Пейзажная
Непосредственное окружение
Метафорическая
Схематическая

1.5. В 5 и 6 классах проводилось исследование продуктивной классификации. Результаты даны в таблице 16. Представить эти данные графически в виде гистограммы, полигона распределения частот и процентильной кривой

Таблица 16

Результаты исследования продуктивной классификации учащихся 5 и 6 классов

5 класс	6 класс
№	Оценка	№	Оценка	№	Оценка	№	Оценка

1.6. Студентам (113 ч.) предъявлялось 6 картин разного содержания (проективная методика Х. Хекхаузена).

Таблица 17

Распределение словесных формулировок, отражающих мотивы «надежды на успех» и «боязни неудачи»

Название картины	Количество вербальных реакций, отражающих мотив
«надежда на успех»	«боязнь неудачи»
Мастер измеряет деталь
Преподаватель и ученик
В цеху у машины
У двери директора
Человек в бюро
Улыбающийся юноша

Испытуемые сначала рассматривали картину в течение 20 сек., а затем в течение 5 мин. писали по ней рассказ, стараясь, в соответствии с инструкцией, проявить «максимум фантазии и воображения» (Сидоренко Е.В., 1996). В ходе анализа рассказов были выявлены словесные формулировки, отражающие мотивы «надежды на успех» и «боязни неудачи». Результаты представлены в таблице 17. Представить данные графически.

Таблица 18

Выраженность уровней параметров по рисунку группы у детей 5-6 лет

Симптомокомплексы	Уровни	В	С	Н
Дружелюбие	Демократический стиль
Авторитарный стиль
Тревожность	Демократический стиль
Авторитарный стиль
Конфликтность	Демократический стиль
Авторитарный стиль
Неполноценность в группе	Демократический стиль
Авторитарный стиль
Враждебность	Демократический стиль
Авторитарный стиль

1.7. С детьми 5-6 лет, воспитывающихся у воспитателя с демократическим и авторитарным стилем общения (по 25 человек в каждой группе) проводилась методика «Рисунок группы». Результаты выраженности уровней по симтокомплексам представлены в таблице 18. Представить данные в виде гистограммы и круговой диаграммы.

Таблица 19

Результаты исследования обобщения у учащихся 5, 6 и 7 классов

5 класс	6 класс	7 класс
Оценки	Оценки	Оценки	Оценки	Оценки	Оценки

1.8. В 5, 6 и 7 классах проводилось исследование обобщения. Результаты даны в таблице 19. Сгруппировав данные в удобное количество групп, представить их графически.

Тема 2. Меры измерения

Цель: Научиться вычислять основные меры измерения, используемые в психолого-педагогических исследованиях.

Задачи:

1. Познакомиться с основными мерами центральной тенденции и усвоить правила их нахождения.

2. Познакомиться с основными мерами изменчивости и усвоить правила их нахождения.

3. Выработать умение распределять данные на уровни относительно среднего арифметического и среднего квадратического отклонения выборки.

4. Познакомиться с понятием «нормальное распределение» и возможностями проверки распределения на нормальность.

Теория по каждому вопросу

1. К мерам центральной тенденции относятся: мода, медиана и среднее арифметическое значение.

Мода – это такое значение в множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто. Обозначается М_о

Совокупность значений может иметь одну моду (унимодальная выборка).

Примеры:

1) Совокупность значений

5, 6, 6, 8, 9, 11, 11, 11, 11, 12, 15, 15, 16 имеет М_о=11;

2) В случае, когда два соседних значения имеют одинаковую наибольшую частоту, то мода есть среднее арифметическое этих значений. Так совокупность значений 2, 2, 4, 5, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 10, 11 имеет М_о=(6+8)/2=7.

Совокупность значений может иметь две моды (бимодальная выборка), в случае, когда два несмежных значения в выборке имеют наибольшую одинаковую частоту. Например, совокупность значений 3, 4, 4, 4, 5, 8, 9, 9, 9, 11 имеет М_о1=4 и М_о2=9.

Совокупность значений может и не иметь моды, в случае, когда все значения в группе встречаются одинаково часто (или достаточно большое количество значений имеют наибольшую одинаковую частоту).

Медиана – представляет собой 50-й процентиль в группе данных. Это значение, которое делит упорядоченное множество пополам. Обозначается М_d.

Вычисление лучше выполнять не на сгруппированных данных. Если данные определены с точностью до десятой доли (сотой и так далее), то значения лучше умножить на 10 (100 и так далее), а результат потом поделить на 10 (100 и так далее). Вычисление выполняется по тем же правилам, что и вычисление любой другой процентили (см. стр.9-10).

Среднее арифметическое значение – это сумма всех значений выборки, поделенная на количество этих значений.

Обозначается Х и вычисляется по формуле:

хi- i-е значение выборки; i – порядковый номер значения в выборке; n – объем выборки.

Например, найдем среднее арифметическое значение для данных, представленных в таблице 1. Выпишем их в упорядоченном виде:

6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 14

Можно формулу преобразовать для случая, когда значения повторяются.

yi – i-я варианта выборки, fi – частота i-й варианты, k – количество вариант.

Так, для нашего случая мы получаем:

2. К мерам изменчивости относятся размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, асимметрия, эксцесс.

Размах – это расстояние на числовой шкале, в пределах которого изменяются оценки. Обозначается R и вычисляется по формуле:

max – максимальное значение; min – минимальное значение;

прибавляется 1 или 0.1, или 0.01 и так далее в зависимости от того, с какой точностью определено значение.

Например, в совокупности значений

7, 9, 3, 6, 6, 2, 5 – R=9-2+1=8;

в совокупности значений

4.3, 2, 5.1, 6.2, 8.1, 5, 3.8 – R=8.1-2+0.1=6.2

Дисперсия – мера разброса данных вокруг среднего арифметического значения. Обозначается S²_x и вычисляется по формуле:

или .

Первая формула удобна, когда вычислено среднее арифметическое значение, а вторая - когда нет необходимости вычислять это значение.

Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) – данная мера тесно связана с дисперсией, так как является квадратным корнем из нее. Обозначается s и вычисляется по формуле:

или

Вторая формула используется в тех случаях, когда многие значения повторяются.

Распределение на уровни. На основании вычисления среднего арифметического значения и среднего квадратического отклонения можно значения выборки распределить на уровни: высокий (В), выше среднего (ВС), средний (С), ниже среднего (НС) и низкий (Н). Так, к высокому уровню относятся все значения, которые больше или равны Х+s т.е.

В: x_i³X+s;

ВС: X+0,5s<x_i<X+s;

C: X-0,5s£x_i£X+0,5s;

НС: X-s<x_i<X-0,5s;

Н: x_i£X-s.

Так, например, для данных

2, 4, 8, 3, 5, 6, 2, 5, 5, 7, 5, 3, 1, 4, 3, 3, 4, 3, 5, 1, 6, 4, 2, 5

X=4, s=1,8 (n=24), тогда

В: x_i³5,8 это x_i равные 6, 7, 8 (n_в=4 – 16,7%);

ВС: 4,9<x_i<5,8 это x_i равные 5 (n_вс=6 – 25%);

C: 3,1£x_i£4,9 это x_i равные 4 (n_с=4 – 16,7%);

НС: 2,2<x_i<3,1 это x_i равные 3 (n_нс=5 – 20,8%);

Н: x_i£2,2 это x_i равные 1, 2 (n_н=5 – 20,8%).

Рис. 7. Симметричный и асимметричные распределения.

Асимметрия – мера, показывающая степень и направление асимметричности графика. Обозначается А и находится по формуле:

.

Для симметричных распределений А=0 (рис.7 а); при левосторонней асимметрии А<0 (рис.7 б) – в распределении чаще встречаются более низкие значения признака; при правосторонней асимметрии А>0 (рис.7 в) – более высокие.

Эксцесс – греческое слово, обозначающее свойство остроконечности кривой. Обозначается Е и находится по формуле:

.

В тех случаях, когда какие-либо причины способствуют преимущественному проявлению средних или близких к средним значений, образуется распределение с Е>0 (рис.8 а). Если же в распределение преобладают крайние значения, причем одновременно и более низкие и более высокие, то такое распределение характеризуется Е<0 (рис 8 б). В распределениях с нормальной выпуклостью Е=0 (рис. 8, а и б, серая линия).

Рис. 8. Распределения с разным эксцессом.

3. Нормальное распределение – это график уравнения:

u – высота кривой прямо над всяким заданным значением Х на графике распределения частот; m - среднее арифметическое значение; s - среднее квадратическое отклонение.

График данного уравнения является симметричным и средневершинным.

Приведем пример графика с m=0 и s=1 (рис. 9).

Нормальная кривая – это изобретение математики, довольно хорошо описывающая полигон частот измерений нескольких различных переменных. В практике же получение такое кривой нереально. Чаще всего в ходе исследования мы получаем лишь приближенное к нормальному распределение. Существуют способы проверки распределения на нормальность. Приведем один из них.

Рис. 9. График нормального распределения.

 

Для этого необходимо подсчитать асимметрию и эксцесс, а также их ошибки репрезентативности (m_a m_e) по формулам:

и .

Если отношение асимметрии и эксцесса к своим ошибкам репрезентативности меньше трех, то данное распределение не отличается от нормального, т.е. должны выполняться одновременно следующие условия:

и .

Задачи:

2.1. Найти моду, медиану и среднее арифметическое значение следующего множества:

1.2, 1.5, 1.6, 2.1, 2.4, 2.4, 2.7, 2.8, 3.0, 3.0, 3.0, 3.1, 3.1, 3.1, 3.4.

2.2. Найти размах, среднее квадратическое отклонение, асимметрию и эксцесс для следующего множества значений:

8, 5, 14, 8, 9, 11, 10, 15, 16, 9, 7, 13, 17, 13, 10.

2.3. Найти моду и медиану для следующего множества:

15, 18, 18, 19, 16, 17, 14, 18, 12, 15, 16, 15, 19, 13, 18, 15.

2.4. Найти дисперсию, используя обе формулы ее вычисления для следующего множества значений:

6, 9, 4, 6, 5, 2, 8, 3, 7, 8, 10, 4, 8, 4, 8.

2.5. Проверить распределение на нормальность:

2, 5, 9, 9, 8, 10, 6, 8, 4, 6, 7, 5, 4, 5, 6.

2.6. Распределить в задаче 1.1. (табл.9) данные на уровни высокий, выше среднего, средний, ниже среднего и низкий.

Тема 3. Основные понятия теории вероятностей

Цель: Научиться находить вероятность событий.

Задачи:

1. Познакомиться с понятием вероятности и ее вычислением.

2. Решение задач на вычисление вероятностей.

Теория

Событием называется всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Например, опыт – решение тестовой задачи; события: А₁ – задача решена; А₂ – задача не решена.

Вероятностью события называется численная мера степени объективной возможности этого события.

Вероятность события А обозначается Р(А).

Достоверным называется событие U, которое в результате опыта непременно должно произойти:

Р(U)=1.

Например, в некоторой группе испытуемых с предложенной тестовой задачей справляются все ее члены, тогда вероятность события «задача решена» в данной группе равна 1.

Невозможным называется событие V, которое в результате опыта не может произойти:

P(V)=0.

В предыдущем примере вероятность события «задача не решена» равна 0.

Вероятность любого события А заключена между нулем и единицей:

0£Р(А)£1.

Полной группой событий называется несколько таких событий, из которых в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них.

Например, полную группу образуют события: «появление герба» и «появление цифры» в опыте бросание монеты, а неполную группу событий «появление карты червонной масти» и «появление карты бубновой масти» в опыте вынимания карты из колоды.

Несколько событий в данном опыте называются несовместимыми, если два из них не могут появиться вместе.

Например, несовместимыми событиями являются «появление герба» и «появление цифры» в опыте бросания монеты. И совместимыми могут быть события «появление герба на первой монете» и «появление цифры на второй монете» при опыте бросания двух монет.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии опыта нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое.

Например, равновозможными событиями являются события «появление герба» и «появление цифры» в опыте бросания монеты, но являются не равновозможными «появление герба» и «появление цифры» в опыте бросания погнутой монеты.

Если несколько событий образуют полную группу, несовместимы и равновозможны, то они называются случаями.

Случай называется благоприятным событию, если появление этого случая влечет за собой появление события.

Если результат опыта сводится к схеме случаев, то вероятность события вычисляется по формуле:

,	n – общее число случаев, m – число случаев, благоприятных событию А.

Например, опыт – постановка цвета из 8 предложенных на первую позицию (по тесту Люшера); событие А – красный цвет испытуемый поставил на 1 позицию.

В этом случае n=8, m=1.

Следовательно, P(A)=0,125.

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и В.

Теорема сложения вероятностей:

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятности этих событий:

.

Например, опыт – постановка цвета из 8 предложенных на первую позицию (по тесту Люшера); событие А – красный цвет испытуемый поставил на 1-ю позицию и событие В – синий цвет испытуемый поставил на 1-ю позицию.

Вероятность того, что хотя бы одно из этих событий произойдет, будет вычислена по данной формуле, так как эти события несовместимы. Следовательно:

Р(А+В)=0,125+0,125=0,25.

В случае, когда события А и В совместимы, вероятность их суммы находится по формуле:

.

Условной вероятностью события А при наличии В называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Эта вероятность обозначается Р(А|В).

События А и В называют независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Для независимых событий

Р(А|В)=Р(А); Р(В|А)=Р(В).

Теорема умножения вероятностей:

Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:

P(AB)=P(A)P(B|A), или P(AB)=P(B)P(A|B).

Для независимых событий А и В

P(AB)=P(A)P(B).

Например, опыт – постановка двух цветов, из 8 предложенных, соответственно на первую и вторую позицию (по тесту Люшера); событие А – красный цвет испытуемый поставил на 1-ю позицию и событие В – синий цвет испытуемый поставил на 2 –ю позицию.

Р(А)=1/8=0,125; P(B)=1/7=0,143, т.к. n=7, потому что один цвет уже выбран и общее количество случаев сокращается на 1. Следовательно, Р(АВ)=0,125×0,143= 0,017875.

Задачи:

3.1. Образуют ли полную группу события:

а) Опыт – выстрел по мишени;

События: А₁ – одно попадание;

А₂ – один промах.

б) Опыт – решение двух экспериментальных задач;

События: А₁ – решены правильно две задачи;

А₂ – не решены правильно две задачи.

в) Опыт – решение задачи на классификацию с изменяющимся признаком, где классификацию можно выполнить на основании признака формы, и признака количества и признака величины;

События: В₁ – при решении задачи выбраны поочередно все признаки;

В₂ – при решении задачи выбран только признак формы;

В₃ – при решении задачи выбран только признак количества;

В₄ – при решении задачи выбран только признак величины;

В₅ – задача не решена.

г) Опыт – выполнение теста, где предлагается ответить на 2 вопроса либо «да», либо «нет»;

События: С₁ – хотя бы один раз есть ответ «да»;

С₂ - хотя бы один раз есть ответ «нет».

3.2. Являются ли несовместимыми следующие события:

а) Опыт – выявление определенного страха у испытуемого;

События: В₁ – данный страх выявлен;

В₂ – данный страх не выявлен.

б) Опыт – два выстрела по мишени;

События: А₁ – ни одного попадания;

А₂ – один промах и одно попадание;

А₃ – два попадания.

в) Опыт – последовательный выбор цветов в 8 -цветовом тесте Люшера;

События: В₁ – на первой позиции зеленный цвет, на второй красный;

В₂ – на четвертой позиции желтый цвет;

В₃ – на третьей позиции синий цвет.

г) Опыт – выполнение теста, где предлагается ответить на 2 вопроса либо «да», либо «нет»;

События: С₁ – хотя бы один раз есть ответ «да»;

С₂ - хотя бы один раз есть ответ «нет».

3.3. Являются ли равновозможными следующие события:

а) Опыт – решение экспериментальной задачи;

События: D₁ – задача решена;

D₂ – задача не решена.

б) Опыт – бросание игральной кости;

События: А₁ – появление не менее трех очков;

А₂ – появление не более четырех очков.

в) Опыт – выбор цвета на первую позицию в 8 - цветовом тесте Люшера;

События: В₁ – выбор желтого цвета;

В₂ – выбор синего цвета;

В₃ – выбор красного цвета.

3.4. Являются ли случаями следующие группы событий:

а) Опыт – исследование стереотипов мужественности (всего 4 типа: мифологический, национальный, современный, религиозный);

События:

А₁ – на первой позиции мифологический тип;

А₂ - на первой позиции национальный тип;

А₂ - на первой позиции современный тип;

А₂ - на первой позиции религиозный тип;

б) Опыт – выстрел по мишени;

События: В₁ – попадание;

В₂ – промах.

в) Опыт – бросание игральной кости;

События: С₁ – появление не более двух очков;

С₂ – появление трех и четырех очков;

С₃ – появление не менее пяти очков.

г) Опыт – решение задачи на классификацию с изменяющимся признаком, где классификацию можно выполнить на основании признака формы, признака количества и признака величины;

События: В₁ – при решении задачи первоначально выбран признак формы;

В₂ – при решении задачи первоначально выбран признак количества;

В₃ – при решении задачи первоначально выбран признак величины;

3.5. В урне 4 белых и 6 черных шаров. Из урны наугад вынимают один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

3.6. Игральная кость бросается один раз. Найти вероятность следующих событий:

А – появление четного числа очков;

В – появление не менее 5 очков;

С – появление не более 5 очков.

3.7. От пункта А до пункта В две одинаковые по расстоянию и рельефу дорожки: правая и левая. Какова вероятность того, что будет испытуемым выбрана правая дорожка.

3.8. На девяти карточках написаны цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Две из них вынимаются наугад и укладываются на стол в порядке появления, затем читается полученное число, например 07 (семь), 14 (четырнадцать) и т.п. Найти вероятность того, что число будет четным.

3.9. Опыт состоит в последовательном бросании двух монет. Рассматриваются события:

А – выпадение герба на первой монете;

В – выпадение хотя бы одного герба;

С – выпадение хотя бы одной цифры;

D – выпадение герба на второй монете.

Определить Р(С); Р(СïА); Р(А); Р(АïD); Р(В); Р(ВïС); Р(ВïD).

3.10. В 8 - цветовом тесте Люшера необходимо последовательно выбрать цвета. Найти вероятность следующих событий:

А – выбран первым желтый цвет;

В – выбраны последовательно 1 и 2 раз синий и красный цвета;

С - выбраны последовательно 1, 2 и 3 раз зеленый, фиолетовый, желтый цвета;

D - выбраны последовательно красный, желтый, зеленый, фиолетовый, серый, синий, коричневый, черный цвета.