Формула полной вероятности. Формула Брайеса.

Пусть события (гипотезы) В₁, В₂, …, В_n образуют полную группу событий и при наступлении каждого из них, например В_i, событие А может наступить с некоторой условной вероятностью Р (А). Тогда вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А:

Р(А) = Р(В₁) · Р (А) + Р(В₂) · Р (А) + …+Р(В_n) · Р (А) (10)

где Р(В₁) + Р(В₂) + … + Р(В_n) = 1

Формула (10) называется формулой полной вероятности.

Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) В₁, В₂, …, В_n, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Брайеса (формуле вероятности гипотез):

Р_А(В_i) = (11)

где Р_А(В_i) – вероятность каждой из гипотез после испытания, в результате которого насупило событие А; Р _i(а) – условная вероятность события А после наступления события В_i; а Р(А) находится по формуле полной вероятности (10)

 

Пример 26

На склад поступили детали с трех станков. На первом станке изготовлено 40% деталей от их общего количества, на втором – 35% и на третьем – 25%, причем на первом станке было изготовлено 90% деталей первого сорта, на втором - 80% и на третьем – 70%. Какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта?

Решение:

Введем следующие обозначения:

В₁ – деталь изготовлена на первом станке

В₂ – на втором станке

В₃ – на третьем станке

Событие А – деталь оказалась первого сорта.

Из условия следует, что Р(В₁) = 0,4, Р(В₂) = 0,35, Р(В₃) = 0,25, Р (А) = 0,4,

Р (А) = 0,8, Р (А) = 0,7. Следовательно,

Р(А) = Р(В₁) · Р (А) + Р(В₂) · Р (А) + Р(В₃) · Р (А) =

= 0,4 · 0,9 + 0,35 · 0,8 + 0,25 · 0,7 = 0,815

 

Повторение испытаний. Формула Бернулли.

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна р (где 0 < р < 1), событие А наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), находится по формуле Бернулли:

Р_n(k) = , где q = 1 – p (11)

Пример 27

Вероятность попадания в цель при одном выстреле составляет р = 0,8. Найти вероятность четырех попаданий при шести выстрелах.

Решение:

Здесь n = 6, k = 4, h = 0,8, q = 0,2. По формуле Бернулли находим

Р₆(4) =

 

Вопросы для самоконтроля

1. Какие соединения называются размещениями?

2. Назвать формулу для числа размещений из n элементов по m.

3. Какие соединения называются перестановками?

4. Называть формулу для числа перестановок из n элементов.

5. Какие соединения называются сочетаниями?

6. Назвать формулу для числа сочетаний из n элементов по m.

7. Какие случайные события называются достоверными и какие невозможными?

8. Какие события называются несовместными?

9. Какие события называются совместными?

10. Какие события называются противоположными?

11. Дать классическое определение вероятности.

12. Сформулировать теорему сложения вероятностей совместных событий.

13. Сформулировать теорему сложения вероятностей несовместных

14. событий.

15. Чему равна сумма вероятностей двух противоположных событий?

16. Что называется условной вероятностью события?

17. Какие события в совокупности называются независимыми?

18. Сформулировать теорему умножения вероятностей независимых

19. событий.

20. Сформулировать теорему умножения вероятностей зависимых

21. событий.

22. Назвать формулу полной вероятности.

23. Назвать формулу Брайеса.

24. Какие события называются независимыми относительно события А?

25. Сформулировать формулу Бернулли.