Понятие о дифференциальном уравнении.

 

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связыва­ющее независимую переменную, искомую функцию, ее производную (или дифференциал аргумента и диффе­ренциал функции).

Если дифференциальное уравнение содержит произ­водную или дифференциал не выше первого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка. Общий вид такого уравнения F(x, у, у') =0, где y=f(x)-искомая неизвестная функция

у' = f'(х) - ее производная по х, a F-заданная функция переменных х, у, у'.

Общим решением дифференциального уравнения пер­вого порядка называется функция у = j(х, с) от х и про­извольной постоянной С, обращающая это уравнение в тождество по х.

Общее решение, записанное в неявном виде Ф(х, у, С) =0, называется общим интегралом.

Частным решением уравнения F(x, у, у')=0 назы­вается решение, полученное из общего решения при фик­сированном значении С: y=j(x, С₀), где С₀ — фиксиро­ванное число.

Частным интегралом уравнения F(x, у, у')=0 назы­вается интеграл, полученный из общего интеграла при фиксированном значении С: Ф(х, у, С₀) =0.

График любого частного решения дифференциально­го уравнения F(x, у, у')=0 называется интегральной кривой. Общему решению (и общему интегралу) этого уравнения соответствует семейство интегральных кри­вых, зависящих от одного параметра.

Задача нахождения частного интеграла дифференци­ального уравнения n-го порядка (n=1, 2, 3,...), удовлет­воряющего начальным условиям вида у(х₀) = у₀, у'(х₀) = y'₀, y"(х₀)=y"₀…y^(n-1)(х₀) =yо^(n-1)₀ называется зада­чей Коши.

Задача Коши для дифференциального уравнения пер­вого порядка состоит в том, чтобы найти решение, удов­летворяющее начальному условию у(х₀) = у₀. Другими словами, из всех интегральных кривых данного дифференциального уравнения тре­буется выделить ту, которая прохо­дит через данную точку (x₀, y₀).

 

Пример 2.

Составить уравнение кривой y = f(x), если угловой коэф­фициент касательной, проведенной в любой точке кривой, равен 2х.

Решение.

Так как на основа­нии геометрического смысла произ­водной y'=k_кас, то получим диффе­ренциальное уравнение первого порядка:

Чтобы найти искомую функцию y=f(x), надо про­интегрировать обе части уравнения òdy = ò2xdx. Отсюда получим общее решение дифференциального уравнения:

у = х² + С. Геометрически это решение представляет со­бой семейство парабол с вершиной на оси Оу, симмет­ричных относительно этой оси (рис. 68).

Чтобы из общего решения выделить частное решение, надо задать начальные условия. Пусть у = - 1 при х = 1; тогда общее решение примет вид -1 = 1 + С, отку­да С = - 2. Геометрически частное решение у = х² - 2 представляет собой параболу, проходящую через точку (1,-1) (рис. 68).

 

Дифференциальные уравнения с разделяющимися пе­ременными.

 

Общий вид такого уравнения

X(х)Y(у)dx + Х₁(х)У₁(у)dy=0,

где Х(х), X₁(x) - функции только от х, Y(y), Y₁ (y) - функции только от у.

Поделив обе части уравнения на произведение Х₁ (х) Y(y)≠0, получим уравнение с разделенными пе­ременными:

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

Замечание. Если произведение X₁(x)Y(y)=0 при х = а и у = b, то эти функции х=а и у=b являются ре­шениями дифференциального уравнения при условии, что при этих значениях х и у уравнение не теряет число­вого смысла. Геометрически эти решения представляют собой прямые, параллельные осям координат.

 

Пример 3.

Решить уравнение у dy = x dx. Найти част­ное решение, удовлетворяющее условию у = 4 при х = - 2.

Решение.

Это уравнение с разделенными перемен­ными. Интегрируя, находим общее решение уравнения:

Для получения более простого по форме общего ре­шения постоянное слагаемое в правой части представ­лено в виде С/2. Тогда

у² = х² + С

Подставив в общее решение значения у = 4 и х = - 2, получим 16 = 4 + С, откуда

С = 12.

Итак, частное решение уравнения, удовлетворяющее данному условию, имеет вид у² = х² + 12.

 

 

Пример 4.

Решить уравнение (1+е^х)уу' = е^х. Найти частное решение, удовлетворяющее условию у= 1 при х = 0.

Решение.

Так как , то

, откуда (1+е^х)уdy = е^хdx

Разделим обе части уравнения на 1 + е^х:

Интегрируя, находим

или

После потенцирования получим решение

При у = 1 и х = 0 имеем е^1/2 = С(1 + е⁰), = 2С, отку­да С = /2.

Итак, частный интеграл уравнения, удовлетворяющий данному условию, имеет вид

 

Линейные дифференциальные уравнения первого по­рядка.

 

Общий вид такого уравнения

у' =f(x)y+q(x) (1)

где f(x) и q(x) - заданные функции от х. Это уравне­ние является линейным относительно искомой функции и ее производной.

Если q(x)=0, то линейное дифференциальное урав­нение (1) называется однородным. Оно имеет вид у' =f(x)y и решается методом разделения переменных:

где F(х)-некоторая первообразная функции f(x), a C = ±C₁ - произвольная постоянная.

Если f(x)=0, то уравнение (1) принимает вид у' = q(x) и решается методом разделения переменных:

где Q(x) - некоторая первообразная функции q(x), a С - произвольная постоянная.

Существуют различные приемы решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Рассмот­рим два из них.

1. Этот прием решения основан на применении следу­ющей теоремы: если у=j(х) - некоторое решение уравнения (1), то все решения этого уравнения задают­ся формулой

еде - общее решение однородного уравнения. Ины­ми словами, для нахождения общего решения уравнения (1) достаточно найти хотя бы одно его частное решение.

 

Пример 5.

Найти общее решение дифференциального уравнения

у' – у ctg х = sin x.

Решение.

Данное уравнение является линейным. Полагаем y=uv, тогда у'=u'v+v'u и уравнение преоб­разуется к виду

u'v+v'u-uv ctg х = sin x, или u'v+u(v'-v ctg x) = sin x.

Так как один множитель можно выбрать произвольно, то выберем в качестве v какой-либо частный интеграл уравнения v'-v ctg x=0. Тогда для отыскания u полу­чим уравнение u'v = sin х.

Решим уравнение v'-v ctg x=0; имеем

В качестве v выбран частный интеграл уравнения при С = 0.

Подставляя значение v во второе уравнение и решая его, найдем u, как общий интеграл этого уравнения:

u' sin х = sin x, u' = 1, du = dx, u = x + С.

Зная u и v, находим искомую функцию у:

у = (x + С) sin x.

 

Пример 6.

Найти частное решение дифференциально­го уравнения у'+2ху=2х² , удовлетворяющее усло­вию у=0 при x=0.

Решение.

Положим y = uv; тогда y' = u'v+v'u и данное уравнение примет вид

u'v + uv' + 2xuv = 2х²

или

u'v + u (v' + 2xv) = 2х² . (*)

Положим v'+2ху = 0; тогда

Проинтегрировав, получим частное решение ln v =-х², или v = - . При v= уравнение (*) примет вид

u' =2x² ,

du = 2x²dx, откуда

Общее решение данного дифференциального уравне­ния:

Подставив в это равенство начальные условия, полу­чим 0 = е⁰(0+С), откуда С = 0.

Итак, частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному условию, имеет вид