Дисперсия дискретной случайной величины

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, к которая должна быть поражена.

На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т. е. М(Х _ М(Х)), для любой случайной величины равно нулю. Это свойство объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие – отрицательны; в результате их взаимного погашения среднее значение отклонения равно нулю. Эти соображения говорят о целесообразности заменить возможные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами. Так и поступают на деле. Правда, в случае, когда возможные отклонения заменяют их абсолютными значениями, приходится оперировать с абсолютными величинами, что приводит иногда к серьезным затруднениям. Поэтому чаще всего идут по другому пути, т.е. вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называют дисперсией.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Д(Х) = М(Х - М(Х))²

Пусть случайная величина задана законом распределения

Х х₁ х₂ … х_n

Р р₁ р₂ … р_n

Тогда квадрат отклонения имеет следующий закон распределения

(Х – М(Х))² (х₁ – М(Х))² (х₂ – М(Х))² … (х_n – М(Х))²

Р р₁ р₂ … р_n

По определению дисперсии

Д(Х) = М(Х – М(Х))² = (х₁ – М(Х))²р₁ + (х₂ – М(Х))²р₂ + … +(х_n – М(Х))²р_n

Таким образом, для того чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.

Из определения следует, что дисперсия дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

 

Пример 43

Найти дисперсию случайной величины Х из следующего закона распределения:

Х 1 2 5

Р 0,3 0,5 0,2

Решение:

Найдем математическое ожидание:

М(Х) = 1 · 0,3 + 2 · 0,5 + 5 · 0, 2 = 2,3

Найдем все возможные значения квадрата отклонения:

(х₁ – М(Х))² = (1 – 2,3)² = 1,69

(х₂ – М(Х))² = (2 – 2,3)² = 0,09

(х₃ – М(Х))² = (5 – 2,3)² = 7,29

Напишем закон распределения квадрата отклонения:

(Х – М(Х))² 1,69 0,09 7,29

Р 0,3 0,5 0,2

По определению

Д(Х) = 1,69 · 0,3 + 0,09 · 0,5 + 7,29 · 0,2 = 2,01

Вычисление, основанное на определении дисперсии, оказалось относительно громоздким. Далее будет указана формула, которая приводит к цели значительно быстрее.

 

Формула для вычисления дисперсии

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой

Теорема Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания.

Д(Х) = М(Х²) – М(Х))²

 

Пример 44

Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

Х 2 3 5

Р 0,1 0,6 0,3

Решение:

Найдем математическое ожидание М(Х):

М(Х) = 2 · 0,1 + 3 · 0,6 + 5 · 0,3 = 3,5

Напишем закон распределения случайной величины Х²:

Х² 4 9 25

Р 0,1 0,6 0,3

Найдем математическое ожидание М(Х²):

М(Х²) = 4 · 0,1 + 9 · 0,6 + 25 · 0,3 = 13,3

Искомая дисперсия

Д(Х) = М(Х²) – М(Х))² = 13,3 – (3,5)² = 1,05

 

Казалось бы, если Х и У имеют одинаковые возможные значения и одно и то же математическое ожидание, то и дисперсии этих величин равны (ведь возможные значения обеих величин одинаково рассеяны вокруг своих математических ожиданий). Однако в общем случае это не так. Дело в том, что одинаковые возможные значения рассматриваемых величин имеют, вообще говоря, различные вероятности, а величина дисперсии определяется не только самими возможными значениями, но и их вероятностями. Например, если вероятности «далеких» от математического ожидания возможных значений Х больше, чем вероятности этих же значений У, и вероятности «близких» значений Х меньше, чем вероятности тех же значений У, то, очевидно, дисперсия Х больше дисперсии У.

Пример 45

Сравнить дисперсии случайных величин, заданных законами распределения:

Х -1 1 2 3 У - 1 1 2 3

Р 0,48 0,01 0,09 0,42 р 0,19 0,51 0,25 0,05

Легко убедиться, что

М(Х) = М(У) = 0,97 Д(Х) 3,69 Д(У) 1,21

 

Таким образом, возможные значения и математические ожидания Х и У одинаковы, а дисперсии различны, причем Д(Х) > Д(У). Этот результат можно было предвидеть без вычислений.

Свойства дисперсий

1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

Д(С) = 0

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

Д(СХ) = С²Д(Х)

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

Д(Х + У) = Д(Х) + Д(У)

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины:

Д(С + Х) = Д(Х)

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

Д(Х – У) + Д(Х + Д(У)