Тема 1.3 Дифференциальные уравнения в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных.*

Л4, глава 15, стр 243 – 256

 

Тема 1.4 Ряды

Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов. Признак сходимости Даламбера. Знакопеременные ряды.* Абсолютная и условная сходимость рядов.* Функциональные ряды*. Степенные ряды*. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена*.

Практическое занятие № 10 «Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Признак Даламбера.»

Практическое занятие № 11 «Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость.»*

Практическое занятие № 12 «Нахождение радиуса и промежутка сходимости степенного ряда»*

Практическое занятие № 13 «Разложение функций в ряд Маклорена.»*

 

Л4, глава 27, стр. 391 – 417

 

Методические указания

Числовые ряды. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Основные понятия.

Числовым рядом называется сумма вида

(1)

где числа u₁, u₂, u₃, … u_n, … называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; член u_n называется общим членом ряда.

Суммы

S₁ = u₁,

S₂ = u₁ + u₂,

S₃ = u₁ + u₂ + u₃,

……………

S_n = u₁ + u₂ + u₃ + … + u_n

составленные из первых членов ряда (1), называются частичными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм S₁, S₂, S₃, …, S_n, …Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда S_n стремится к пределу S, то ряд называется сходящимся, а число S – суммой сходящегося ряда, т.е.

или

Эта запись равносильна записи

Если частичная сумма S_n ряда (1) при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела (в частности, стремится к + или к - ), то такой ряд называется расходящимся.

Если ряд сходится, то значение S_n при достаточно большом n является приближенным выражением суммы ряда S.

Разность r_n = S - S_n называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е. , и наоборот если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.

 

Геометрический ряд.

Рассмотрим несколько случаев нахождения частичной суммы первых n членов ряда , образованного из членов геометрической прогрессии.

1. |q| < 1. Для нахождения частичной суммы S_n воспользуемся формулой

суммы членов убывающей геометрической прогрессии:

.

где a₁ – первый член, a_n = a₁q^n-1 - n-й член, q – знаменатель прогрессии.

Следовательно

Находим сумму ряда

Поскольку первое слагаемое под знаком предела является постоянным, а

второе – бесконечно малой величиной ( при ). Таким образом, в

данном случае ряд сходится, а его сумма есть

 

2. |q| > 1. Частичную сумму S_n найдем по формуле суммы членов возрастающей геометрической прогрессии:

Тогда сумма ряда

так как первое слагаемое под знаком предела есть бесконечно большая

величина ( при ). В этом случае ряд расходится.

 

3. q = 1. Находим

S_n = а₁ + а₁ + а₁ + … + а₁ = а₁n

Следовательно, . Значит, в данном случае ряд

расходится.

 

4. q = -1. Имеем

S₁ = a

S₂ = a – a = 0

S₃ = a – a + a = f

S₄ = a – a + a – a = 0

…………………….

т.е. S_n = 0 при n четном и S_n = а при n нечетном.. Отсюда следует, что

последовательность частичных сумм не имеет предела и, значит, ряд

расходится.

Итак, данный ряд сходится при |q |< 1 и расходится при |q| ≥ 1. Ряд вида

будем называть геометрическим рядом.

 

Гармонический ряд.

Ряд вида

называется гармоническим.

Запишем частичную сумму этого ряда

S_n = (1 +

Сумма S_n больше суммы, представленной следующим образом:

S_n > (1 +

или

S_n > 1 +

Если , то

1 + , или S_n = 1 +

Следовательно, если , то S_n , т.е. гармонический ряд расходится.

 

Необходимый признак сходимости ряда .

Ряд может сходиться только при условии, что его общий член u_n при неограниченном увеличении номера n стремиться к нулю: .

Если , то ряд расходится – это достаточный признак расходимости ряда.