Частные производные и полный дифференциал

Частной производной функции z = f(x, y по переменной х называется производная этой функции при постоянном значении переменной у, она обозначается или z'_х.

Частной производной функции z = f(x, y) по переменной у называется производная по у при постоянном значении переменной у; она обозначается или z'_у.

Частная производная функции нескольких переменных по одной переменной определяется как производная этой функции по соответствующей переменной при условии, что остальные переменные считаются постоянными.

Полным дифференциалом функции z = f(x, y) в некоторой точке М(Х, у) называется выражение

,

Где и вычисляются в точке М(х, у), а dx = , dy = у.

 

Пример 1

Вычислить полный дифференциал функции.

z = х³ – 2х²у² + у³ в точке М(1; 2)

Решение:

1) Находим частные производные:

2) Вычислим значение частных производных в точке М(1; 2)

()_М = 3 · 1² – 4 · 1 · 2² = -13

()_М = - 4 · 1² · 2 + 3 · 2² = 4

3) dz = - 13dx + 4 dy

 

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется первообразной? Перечислить свойства первообразной.

2. Что называется неопределенным интегралом?

3. Перечислить свойства неопределенного интеграла.

4. Перечислить основные формулы интегрирования.

5. Какие методы интегрирования вы знаете?

6. В чем заключается суть формулы Ньютона – Лейбница?

7. Дать определение определенного интеграла.

8. В чем суть вычисления определенного интеграла методом подстановки?

9. В чем суть метода вычисления определенного интеграла по частям?

10. Какая функция называется функцией двух переменных? Как она обозначается?

11. Какая функция называется функцией трех переменных?

12. Какое множество называется областью определения функции?

13. С помощью каких неравенств можно задать замкнутую область Д на плоскости?

14. Что называется частной производной функции z = f(x, y) по переменной х? Как она обозначается?

15. Что называется частной производной функции z = f(x, y) по переменной у? Как она обозначается?

16. Какое выражение называется полным дифференциалом функции

z = f(x, y)?

 

Тема 1.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференци­альные уравнения с разделяющимися переменными. Общие и частные ре­шения. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Ли­нейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффици­ентами.

Практическое занятие № 7 «Нахождение общих и частных решений дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными»*

Практическое занятие № 8 «Линейные и однородные дифференциальные уравнения»

Практическое занятие № 9 «Решение дифференциальных уравнений 2 - го порядка с постоянными коэффициентами»*

 

Л4, глава 15, стр. 243 – 256

 

Методические указания