Среднее квадратичное отклонение суммы взаимно независимых случайных величин.

Пусть известны средние квадратичные отклонения нескольких взаимно независимых случайных величин. Как найти среднее квадратичное отклонение суммы этих величин? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема:

Теорема: Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратичных отклонений этих величин.

 

 

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины?

2. Чему равно математическое ожидание числа появления события в одном испытании?

3. В чем заключается вероятностный смысл полученного результата?

4. Сформулировать свойства математического ожидания.

5. Что называется отклонением случайной величины от ее математического ожидания?

6. Что называется дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины?

7. Какой формулой пользуются для вычисления дисперсии?

8. Сформулировать свойства дисперсии.

9. Что называется средним квадратичным отклонением случайной величины?

10. Как найти среднее квадратичное отклонение суммы взаимно независимых случайных величин

 

Примечание. Разделы, темы, дидактические единицы, отмеченные символом *, отводятся на самостоятельное изучение студентами

Тематика лекционных занятий

 

Тематика обзорных лекций	Количество аудиторных часов
Тема 1.1 Неопределенный и определенный интегралы. Частные производные, кратные интегралы
Тема 1.2 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Тема 2.1 Основные понятия комбинаторики. Понятия события и вероятность события. Классическое определение вероятностей
Всего часов

Тематика практических занятий

 

№ п/п	Тематика практических занятий	Количество аудиторных часов
	Неопределенный и определенный интегралы
	Линейные и однородные дифференциальные уравнения
	Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Признак Даламбера.
	Теорема сложения и умножения вероятностей.
	Всего часов

4. Общие требования к выполнению контрольной работы

Контрольная работа должна выполняться в отдельной тетради на клетчатой бумаге чернилами. Работа, выполненная небрежно, будет возвращаться студенту без проверки.

На первой странице тетради надо записать наименование предмета, номер контрольной работы, фамилию и инициалы, шифр, название учебного заведения и адрес.

В тетради надо оставлять поля шириной 4-5 см.

Условия всех задач писать обязательно. Если по характеру задачи требуется построение чертежа, то он должен быть выполнен карандашом с помощью чертежных инструментов (циркуля, линейки, угольника).

При построении чертежа необходимо соблюдать масштаб.

Решение задачи или примера должно быть записано в тетради со всеми вычислениями, с записью применяемых формул, с краткими пояснениями и обоснованиями.

В каждом контрольном задании содержится 10 вариантов. Вариант контрольного задания выбирается в зависимости от последней цифры личного дела (шифра) студента. Например, шифр личного дела 1534, последняя цифра – 4.

Если работа выполнена неудовлетворительно, то студент исправляет ее и представляет вторично.

Работы, не соответствующие своему шифру, не зачитываются и возвращаются студенту без оценки.

 

 

Методические указания по выполнению контрольных работ

Задание 1

а)

 

б)

Задание 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями: х + 2у – 4 = 0,

у = 0, х = - 3 и х = 2

Решение:

х + 2у – 4 = 0

Выпазим у через х: 2у = 4 – х

- линейная функция, график – прямая.

Строим прямую по двум точкам А(4; 0) и В(0; 2)

Ответ: 11,25 кв. ед.

Задание 3

 

Задача: Найти общее решение дифференциального уравнения

у²dx + (x - 2)dy = 0

Решение: Имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными у²dx + (x - 2)dy = 0.

Разделяем переменные

Интегрируем

общее решение

Задача: Найти частное решение уравнения cos x dy+y sin x dx = dx, если у=1 при х=0.

Решение: Разделив все члены данного уравнения на cos x dx, получим уравнение

, которое является линейным.

Положим у = uv, y' = u'v + uv' подставим в уравнение u'v + uv' + uv tg x =

v(u' + u tg x) + uv' =

Получим уравнение u'+u tg x =0

ln u =ln cos x

u = cos x

Подставив значение u = cos x в уравнение uv' =

v=tg x + C

y = cos x(tg x + C) – общее решение.

Используя начальные условия у =1 при х=0 имеем

1= cos 0 (tg 0 + C)

1 = 1×C Þ C = 1

y=cos x (tgх +1) – частное решение уравнения

Задача: Решить уравнение у'' - 8у' + 16у = 0

Решение: Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: r²-8r+16=0

r₁ = r₂ = 4

По формуле y=e^rx(C₁+C₂x)

y=e^4x(C₁+C₂x) – общее решение уравнения

 

Задание 4

Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:

Решение:

Подставив в общий член ряда вместо n число n + 1, получим . Найдем предел отношения (n + 1) – го члена к n – му члену при :

Следовательно, данный ряд сходится

 

Задание 5

Задача: Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность, что оба шара окажутся черными?

Решение: А – оба шара черные

Число возможных случаев

Число случаев благоприятствующих событию А, составляет

Значит,

 

Задания для контрольной работы

 

Задание 1

Вычислить неопределенный интеграл

1. а)

б)

2. а)

б)

3. а)

б)

4. а)

б)

5. а)

б)

6. а)

б)

7. а)

б)

8. а)

б)

9. а)

б)

10. а)

б)

 

Задание 2

Вычислить площадь фигуры ограниченной указанными линиями

1. x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = - 3, x = 2

2. x - 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0, y = 0

3. y = x², y = 0, x = 2, x = 3

4. y = - x² + 4, y = 0

5. x – y + 2 = 0, y = 0, x = - 1, x = 2

6. 2x - 3y + 6 = 0, y = 0, x = 3

7. x – y + 3 = 0, x + y – 1 = 0, y = 0

8. x - 2y + 4 = 0, x + 2y – 8 = 0, y = 0, x = - 1, x = 6

9. y = x², y = 0, x = 0, x = 3

10. y = 3x², y = 0, x = - 3, x = 2

 

Задание 3.

Решить дифференциальные уравнения:

а) Найти частные решения, удовлетворяющие данным условиям

б) Найти общее решение

1. а) у dx + ctg x dy = 0, y=-1 при x=p/3

б)

2. а) у = 2 при х = 1

б) у'' - 8у' + 15у = 0

3. а) у = 1 при х = 0

б) у'' + 5у' + 6 = 0

4. а) (ху + х)dx – (x²y+y)dy = 0, у = 0 при х =

б) у'' - 10у' + 25у = 0

5. а) (1 + х²)dy - 2хуdx = 0, у = 1 при х = 0

б) у'' - 2у' - 3у = 0

6. а) (1 - х²)у' + ху = 0, у = 4 при х = 0

б) у'' + 4у' + 7у = 0

7. а) х²dy - (2ху + 3у)dx = 0, у = е³ при х = -1

б) у'' - 2у' + 5у = 0

8. а) (у + ху)dx + (х - ху)dy = 0, у = 1 при х = 1

б) у'' - 4у' + 5у = 0

9. а) , у = 1 при х = 0

б) у'' - у' - 2у = 0

10. а) , у = 1 при х = 0

б) у'' + 2у' - 8у = 0

 

Задание 4.

1. Пользуясь признаком Даламбера, исследовать на сходимость ряд

2. На основании признака Даламбера, исследовать на сходимость ряд

3. Исследовать на сходимость ряд

4. Исследовать на сходимость ряд

5. Пользуясь достаточным признаком расходимости, показать, что ряд

расходится.

6. Найти область сходимости степенного ряда

 

1- -

7. Найти область сходимости степенного ряда х+2!х²+3!х³+….+n!xⁿ+…

8. Найти область сходимости степенного ряда

1+

9. Исследовать сходимость ряда

10. Исследовать на сходимость ряд

 

Задание 5

1. Восемь различных книг расставляются наугад на одной полке. Какова вероятность того, что три определенные книги окажутся поставленными рядом?

2. В урне 7 красных и 6 синих шаров. Из урны наугад вынимаются два шара. Найдите вероятность того, что они разного цвета.

3. Карточка «Спортлото» содержит 36 чисел. В тираже участвуют 5 чисел. Какова вероятность того, что верно будет угадано 4 числа?

4. Из группы, состоящей из 10 юношей и 8 девушек, выбирают по жребию 4 дежурных. Какова вероятность того, что в числе избранных окажутся двое юношей и две девушки?

5. Экзаменационные билеты пронумерованы от 1 до 35. Какова вероятность того, что наудачу взятый билет имеет номер, кратный пяти?

6. Из семи одинаковых карточек разрезной азбуки «а», «к», «н», «о», «с», «у», «ф» наудачу выбирают 5 карточек и складывают их в ряд в порядке извлечения. Какова вероятность получить при этом слово «конус»?

7. Карточка «Спортлото» содержит 36 чисел. В тираже участвуют 5 чисел. Какова вероятность того, что верно будет угадано 3 числа?

8. Из числа шаров, занумерованных всеми двузначными числами, наудачу берется один. Какова вероятность того, что номер взятого шара оканчивается нулем?

9. В партии из 20 лампочек 3 бракованных. Из партии выбираются наугад 5 лампочек. Найти вероятность того, что среди этих пяти лампочек окажется две бракованных.

10. В урне лежат 12 одинаковых шаров: 3 белых, 3 черных, остальные красные. Какова вероятность того, что наугад выбранный шар окажется не бел

 

Литература

 

Основные источники:

1. Дадаян А.А. «Математика»: Учебник. – 2-е издание. – М.: ФОРУМ: ИНФА – М.2009 – 544 с. – (Профессионально техническое образование)

 

Дополнительные источники:

2. Богомолов Н.В. Математика: Учеб. для ссузов/Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – 2-у изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2004. – 400 с.: ил.

3. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике: Учебное пособие для ссузов. – М.: Дрофа, 2013. – 208с.: ил.

4. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие. –

4-е. изд., стер, – М.: Высш. шк., 1999. – 495с.