Изображения плоских и пространственных фигур в параллельной проекции. Позиционные и метрические задачи.

Изображения плоских и пространственных фигур в параллельной проекции. Позиционные и метрические задачи.

плоскость проекции

l – направление проектирования ()

А ^/ - произвольная точка пространства

Через точку А ^/ проведем прямую ∥ l

А – точка пересечения этой прямой с пл – параллельная проекция на пл в направлении l

Прямая АА ^/ - проектирующая прямая

0: Точки, имеющие одну и ту же параллельную проекцию назыв. конкурирующими

Свойства параллельного проектирования

При параллельном проектировании:

1⁰) Проекцией точки есть точка

2⁰)Проекцией прямой является прямая.

Доказательство:

Найдем проекцию А произвольной точки А ^/ прямой k ^/ и рассмотрим плоскость , проходящую через k ^/ и АА ^/. Плоскости пересекаются по некоторой прямой k. Докажем что k и есть проекция k ^/.

Возьмем произвольную точку В ^/ прямой k ^/ и в пл проведем прямую ВВ ^/ параллельную прямой АА ^/. Т.к АА ^/ ∥ l иАА ^/ ∥ ВВ ^/ ⇒ ВВ ^/ ∥ l ⇒В – проекция точки В ^/ на пл .

Т. о мы доказали что прямая k явл проекцией прямой k ^/ на пл

3⁰)Если точка лежит на линии, то ее проекция лежит на проекции этой линии

4⁰)Если прямые параллельны, то их проекции тоже параллельны

5⁰)сохраняются отношения отрезков, лежащих на одной прямой или на

параллельных прямых.

В св – вах ничего не говорится об углах ⇒ величина угла не сохраняется при параллельном проектировании

Изображение плоских фигур в параллельной проекции (треугольник, четырехугольник, правильный n-угольник, круг).

Изображение треугольника

За изображение треугольника можно принять любой треугольник ⇒ за равнобедренный, равносторонний и прямоугольный так же можно принять любой треугольник.

В треугольнике медиана в медиану переходит, а высота в высоту и биссектриса в биссектрису не переходит

Изображение четырехугольника

За изображение параллелограмма может быть принят любой параллелограмм ⇒ за изображение квадрата может быть принят любой параллелограмм

Трапеция перейдет в трапецию

Произвольный четырехугольник (без ∥ сторон) перейдет в произвольный четырехугольник (без ∥ сторон)

Но: трапеция перейдет не в любую трапецию и произвольный четырехугольник перейдет не в любой произвольный четырехугольник т.к должно сохраняться отношение отрезков.

Окружность

Построение изображения окружности основано на следующем утверждении:

В любом аффинном отображении эллипс (окружность) переходит в эллипс.

Т.е окружность переходит в эллипс.

Построение данной окружности сводится к построению какого-нибудь эллипса на плоскости.

Эллипс обычно задается двумя хордами AB и CD, принадлежащими сопряженным диаметрам. Их общей серединой является центр O эллипса. Ход построения изображения окружности:

Призма

Изображением n -угольной призмы на плоскости является фигура, состоящая из двух равных n –угольников (один получается из другого параллельным переносом), изображающих основания призмы, и n параллелограммов, для каждого из которых противоположными сторонами являются изображения параллельных сторон оснований

Пирамида

Изображением пирамиды является фигура, состоящая из многоугольника, изображающего основание пирамиды-оригинала, и нескольких треугольников с общей вершиной, изображающих боковые грани пирамиды

 

Для построения изображения правильной треугольной пирамиды следует учесть, что: Строим примерно тупым или прямым углом к себе. Строим медиану. Делим ее на 3 части, отмечаем середину треугольника и достраиваем пирамиду

.

Для построения изображения правильной четырехугольной пирамиды следует учесть, что: Сторону AD проводим не менее чем в 2 раза больше стороны АВ, угол А – наибольший. Центр О – точка пересечения диагоналей.

Цилиндр

В основании эллипс. Находим центр и проводим перпендикуляр. Отмечаем на нем точку, т.е центр нового верхнего эллипса ⇒эллипс приподнимается и проводим к ним общие касательные

Конус

Строим эллипс. Из вершины S проводим 2 касательных. (Точки M и N находятся на расстоянии от точек А и В)

Шар

Шар изображают в ортогональной ск и его очерк получается в виде окружности.

NS – диаметр шара. Точки N и S категорически нельзя брать на очерке шара.

Изображение прямой

Изображение плоскости

1) Пл может быть задана 3 точками, не принадлежащим одной прямой

2) Пл может быть задана 2 прямыми

3) Пл может быть задана прямой и не лежащей на не точкой

Пример решения позиционной или метрической задачи на плоском изображении.

Позиционные задачи

1) Найти след данной прямой

2) Найти след данной пл

3) Через данную прямую провести какую – нибудь пл

4) Построение сечения многогранников

Пример решения позиционной задачи

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки:

 

1) 2) ;3) ;4) ;5) ;6) ;

7) ;8) ;9) ;10) ;11) ;12) ;

13) искомое сечение.

 

Определения равносоставленности и равновеликости многоугольников.

Теорема Бояи – Гервина

Всякие два равновеликих многоугольника явл равносоставленными

 

Топологическое простраство

Опр: Пусть Х-некоторое не пустое множество будет называть пространство-носитель и пусть некоторое семейство множеств тогда будем говорить, что определяет топологическую структуру или топологию на множестве х, если выполняются следующие условия:

1) Объединение любой системы множеств из Î

2) Пересечение конечного числа множеств из Î

3) Пусть множество и само множество ХÎ

Множество Х вместе с заданной в нем топологией называется топологическим пространством (Х, )

Элементы из Х называются точками. Множество называется открытым множеством. Любое условие называется аксиомой топологического пространства. На одном том же пространстве можно вводить различные топологические пространства.

Пример:

1) – антидискретная, тривиальная, минимальной топологии;

2) = {всевозможные подмножества множества Х, Х}

называется дискретной или максимальной. Каждая точка пространства Х считается открытым множеством.

3) Каждое метрическое пространство является топологическим пространством.

Многообразие

Пусть (X, ) — топологическое пространство, k-мерной координат­ной системой в этом пространстве называется гомеоморфизм ф неко­торого открытого множества U X на открытое множество число­вого пространстваRⁿ. При этом пару (U, ф) называют k-мерной кар­той, а множество U — координатной окрестностью этой карты.

Если х U, то ф(х) = (х¹,..., x^k) Rⁿ. Вещественные числа х^k на­зываются координатами точки х в данной карте.

k-мерным топологическим многообразием (или просто k-мерным многообразием) называют отделимое топологическое пространство (X, ) со счетной базой, если это пространство можно покрыть коор­динатными окрестностями k-мерных карт.

В топологии доказывают, что число k (размерность многообра­зия) является топологическим инвариантом, т. е. не меняется при лю­бых гомеоморфизмах пространства

Клеточное разложение.

Обозначим через R+ множество тех точек из R^k(k = 1,2), у ко­торых координата x^k удовлетворяет условию x^k 0. Следователь­но, R+ — это замкнутое полупространство в R^k. Пространство (X, У) называется k-мерным многообразием с краем, если оно отделимо, имеет счетную базу и его точки можно разбить на два непустых класса так, что каждая из точек одного класса (точки внутренние) имеет окрестность, гомеоморфную простран­ству R\ а каждая из точек другого класса (точки краевые) имеет окрестность, гомеоморфную R+, но не имеет окрестности, гомеоморфной R^k.

Множество всех краевых точек называется краем многообра­зия (X, У).

Назовем клеткой любое многообразие с краем, гомеоморфное выпуклому многоугольнику. При этом предполагается, что для дан­ной клетки этот гомеоморфизм фиксирован. Образ вершины мно­гоугольника при этом гомеоморфизме мы назовем вершиной клетки, а образ стороны многоугольника — стороной клетки.

Мы скажем, что двумерное многообразие F разложено на ко­нечное множество клеток F₁, F ₂, ..., F_n, если выполняются два условия:

1.эти клетки образуют покрытие многообразия F;

2.пересечение любых двух клеток Fi и Fj(i j) либо пусто, либо является вершиной этих клеток, либо стороной каждой из них.

Пусть К — клеточное разложение двумерного многообразия. Точка х F называется вершиной клеточного разложения К, если х — вершина хотя бы од­ной клетки из К. Фигура F называется стороной разложения K, если она является стороной хотя бы одной клетки из К. Введем обозначения: — число вершин, — число сторон, — число клеток разложения K.

Число называется эйлеровой характеристи­кой многообразия F.

Топологическое многообразие.

В топологических преобразованиях меняются многие свойства фигур (длина, площади, прямолинейность). Некоторые более сильные сохраняются.

Теорема Эйлера: Если - число вершин, - число ребер, – число граней простого многогранника, то имеет место равенство:

Док-во: пусть многогранник внутри пустой. Пусть

Одну грань вырежем останется поверхность ее растянем на плоскости.

Число вершин и ребер не изменилось, а граней станет на 1 меньше.

Трианвумеруем (величина не меняется) диагоналями разбиваем на треугольники. 2 типа треугольника: 1. С границей одной стороной; 2) с границей 2 сторонами.

Если отрежем треугольник 1-го типа, число граней уменьшится на 1, вершин на 1.

Если 2-го типа – вершин и граней уменьшится на 1, ребер на 2.

Теорема Эйлера позволяет установить если правильные многогранники.

Существует 5 типов:

Многогранник называется правильным если в гранях его лежит равные правильные многоугольники, а в вершине правильные n-гранные углы, m-угольники в гранях.

- граней; – всего ребер

n-ребер.

- всего ребер;

1) - тетраэдр

2) - куб

3) - октаэдр

4) - икосаэдр

5) - додекаэдр

 

12. Линии и поверхности в Е₃. Первая основная квадратичная форма поверхности и её приложения.

Пусть точка М движется в евклидовом пространстве Е₃. Зада­дим в пространстве прямоугольную систему координат Oijk. Поло­жение частицы в момент времени t (из некоторого временного про­межутка J можно определить радиус-вектором r(t) точки М отно­сительно точки О. Когда t меняется в промежутке J, мы получаем

векторную функцию r(t) скалярного аргумента t, определенную в промежутке J. Эта функция имеет координаты x(t), y(t),z(t) в базисе i,j, k. Это значит, что r(t) = x(t)+ у (t)J+ z(t)k, причем x(t), y(t), z(t) — координаты точки М в момент времени t.

Простейшими линиями в пространстве Ез назовем любую прямую, отрезок и луч. Фигура Ез называется элементарной J линией (или элементарной кривой), если она гомеоморфна одной из простейших линий.

Если в пространстве Ез задана прямоугольная система координат Oijk, то элементарная линия определяется системой уравнений х = x(t), у = y(t), z = z(t), где t изменяется в некотором промежутке J, а правые части в форму­лах— непрерывные в промежутке J функции.

Уравнения называются параметрическими уравнениями дан­ной линии.

Линией (или кривой) называется фигура, которую можно по­крыть конечным или счетным множеством элементарных линий.

Пусть элементарная линия у₀ определена параметрическими урав­нениями x = x(t), y = y(t) z = z(t). Линия называется гладкой линией класса С^k, где k — некоторое натуральное число, если функции x(t) y(t) и z(t) имеют в промежутке J непрерывные производные до порядка k включительно.

Будем называть простейшей поверхностью в пространствеE3 лю­бую из следующих фигур: плоскость, замкнутую полуплоскость, квадрат.

Элементарной поверхностью называется фигура, гомеоморфная какой-либо из простейших поверхностей.

Зададим в пространстве прямоугольную систему координат

Oijk и рассмотрим тот гомеоморфизм f:G->Fo, который переводит область G в элементарную поверхность F₀. Если точка (u, v) G пе­реходит в точку М(х, у, z) F₀, то ясно, что х, у, z являются функция­ми x = х(u, v), у = у(u, v), z = z(u, v), определенными в области G. Уравнения называются параметри­ческими уравнениями поверхности F₀. Эти уравнения равносильны одному векторному уравнению r = x(u, v)i + у(u, v)j + z(u, v)k

Пусть F₀ — элементарная поверхность, заданная параметриче­скими уравнениями. Поверх­ность F₀ называется гладкой класса C^k (k — натуральное число), если правые части уравнений являются функциями, имеющими в области G непрерывные частные производные до порядка k вклю­чительно.

Дифференциал векторной функции r(u, v) в произвольной точке имеет вид dr = r_udu + r_vdv. Отсюда следует, что (dr)² = ф11 (du)² + ф12dudv + ф21 dvdu + ф22 (dv)²

где ф11 = r_u², ф12 = ф21 = r_ur_v, ф22 = r_v². Правая часть формулы является квадратичной формой.

Квадратичная форма ф11 (du)² + 2ф12dudv + ф22 (dv)² называется первой квадратичной формой поверхности Fo или ее линейным элементом.

Свойства.

1.Квадратичная форма положительно определенная, так как если du и dv не обращаются в нуль одновременно

2.Касательное векторное подпростран­ство Т_м к поверхности F₀ в ее точке М является двумерным евклидо­вым векторным пространством.

Приложения:

1. Длина дуги.

Рассмотрим на поверхности Fо гладкую линию : u = u(t) v = v(t), где параметр t изменяется в некотором промежутке J. Линия в про­странстве задается уравнением г =r(u(t), v(t)). Дифферен­цируя это уравнение поt, получаем:

Так как где s — длина дуги линии , то из этой формулы находим:

Отсюда следует, что

(ds)² = ф11 (du)² + 2ф12dudv + ф22 (dv)²

Таким образом, значение первой квадра­тичной формы поверхности представляет собой квадрат дифференциала длины дуги гладкой линии, лежащей на поверхности, при бесконечно малом смещении точки вдоль этой линии.

Получаем формулу для вычисления длины дуги линии ф с концами в точках M₁(t₁) и М₂(t₂), где t₁ < t₂.

Таким образом, значение первой квадра­тичной формы поверхности представляет собой квадрат дифференциала длины дуги гладкой линии, лежащей на поверхности, при бесконечно малом смещении точки вдоль этой линии.

2. Угол между линиями.

Пусть ф, ф1 — две гладкие линии на поверхности F_o, проходящие через точку М. Углом между линиями ф, ф1 называется угол между касательными к этим линиям в их общей точке М.

Обозначим через d и b символы дифференцирования вдоль линий ф, ф1. Значит, dr и bг — векторы касательных к линиям ф, ф1 в точке М. Угол ф между линиями 7, 7 можно вычислить как угол между векторами dr и бг:

3. Площадь куска поверхности

К внутренней геометрии гладкой поверхности относят такие свой­ства этой поверхности и фигур на ней, которые определяются только первой квадратичной формой. Можно сказать, что задачи о вычисле­нии длины дуги на поверхности, угла между линиями, площади поверхности) относятся к внутренней геометрии поверх­ности.

Полная кривизна поверхности.

Вектор нормали:

Вторая квадратичная форма поверхности:

Уравнение главных кривизн:

Теорема Гаусса.

Полная кривизна поверхности выражается только через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные.

Изображения плоских и пространственных фигур в параллельной проекции. Позиционные и метрические задачи.

плоскость проекции

l – направление проектирования ()

А ^/ - произвольная точка пространства

Через точку А ^/ проведем прямую ∥ l

А – точка пересечения этой прямой с пл – параллельная проекция на пл в направлении l

Прямая АА ^/ - проектирующая прямая

0: Точки, имеющие одну и ту же параллельную проекцию назыв. конкурирующими

Свойства параллельного проектирования

При параллельном проектировании:

1⁰) Проекцией точки есть точка

2⁰)Проекцией прямой является прямая.

Доказательство:

Найдем проекцию А произвольной точки А ^/ прямой k ^/ и рассмотрим плоскость , проходящую через k ^/ и АА ^/. Плоскости пересекаются по некоторой прямой k. Докажем что k и есть проекция k ^/.

Возьмем произвольную точку В ^/ прямой k ^/ и в пл проведем прямую ВВ ^/ параллельную прямой АА ^/. Т.к АА ^/ ∥ l иАА ^/ ∥ ВВ ^/ ⇒ ВВ ^/ ∥ l ⇒В – проекция точки В ^/ на пл .

Т. о мы доказали что прямая k явл проекцией прямой k ^/ на пл

3⁰)Если точка лежит на линии, то ее проекция лежит на проекции этой линии

4⁰)Если прямые параллельны, то их проекции тоже параллельны

5⁰)сохраняются отношения отрезков, лежащих на одной прямой или на

параллельных прямых.

В св – вах ничего не говорится об углах ⇒ величина угла не сохраняется при параллельном проектировании

Изображение плоских фигур в параллельной проекции (треугольник, четырехугольник, правильный n-угольник, круг).

Изображение треугольника

За изображение треугольника можно принять любой треугольник ⇒ за равнобедренный, равносторонний и прямоугольный так же можно принять любой треугольник.

В треугольнике медиана в медиану переходит, а высота в высоту и биссектриса в биссектрису не переходит