Непротиворечивость системы аксиом Вейля 3-х мерного евклидового пространства.

К любой системе аксиом пред след требования: непротиворечивость, независимость, полнота. Непротивор главное, т.к. все аксиомы получ далее должны удовл ему.

Система аксиом называется непротиво­речивой, если существует база, на которой можно задать рассматри­ваемую структуру рода Т. Чтобы доказать непротиворечивость систе­мы аксиом, достаточно построить какую-либо интерпретацию этой системы аксиом. При построении интерпретации мы должны исполь­зовать «достаточно надежные» понятия, относительно которых у нас есть уверенность, что их система внутренне непротиворечива. Только в этом случае можно утверждать, что наша система аксиом А₁,А₂, …, А_n внутренне непротиворечива, и, значит, в теории Г(Т) мы не получим двух теорем, отрицающих одна другую, как бы далеко мы ни развивали эту теорию.

Вопрос о внутренней непротиворе­чивости системы аксиом может быть решен только средствами мате­матической логики.

При построении интерпретаций систем аксиом, определяющих структуры, изучаемые в геометрии, мы используем различные число­вые множества, считая «наиболее надежными» понятия, взятые из арифметики вещественных чисел. Поэтому при исследовании непро­тиворечивости системы аксиом А₁,А₂, …, А_n, не прибегая к средствам математической логики, мы в лучшем случае можем прийти к ут­верждению такого вида: система аксиом А₁,А₂, …, А_n непротиворечи­ва, если непротиворечива арифметика вещественных чисел.

Теорию действит.чисел будем считать непротиворечивой. Из объектов этой теории необходимо построить модель, т.е. основным отношениям придать конкретный смысл.

Докажем сначала непротиворечивость 3-х мерного евклид.пр-ва (I-IV).

Под вектором будем понимать упорядоченную тройку вещественных чисел, взятых в определ.порядке и заключенных в фигурную скобку( {x₁,x₂,x₃}).

Точка – это упорядоченная тройка вещественных чисел, заключенных в круглую скобку(M(x₁,x₂,x₃)).

В скобках записана координата точки или вектора.

Основные отношения: дано {x₁,x₂,x₃}, {y₁,y₂,y₃}.

1. + = { x₁+y₁, x₂+y₂, x₃+y₃}

2. ={ x₁, x₂, x₃}

3. = { x₁ y₁+ x₂ y₂+ x₃ y₃}

4. A(a_i), B(b_i), {x₁,x₂,x₃}

Пара AB и вектор инцендентны, если = - , =1,2,3

 

{a₁,a₂,a₃}, {b₁,b₂,b₃}, {c₁,c₂,c₃}

I₁. ( ={ ) ; ) ; ) }= { +( +( +() – выполняется.

I₂ –вып-ся

I₃ : ,

I₄: , + = {

III₁: покажем, что векторы линейно зависимы,т.е.

Разложение векторов в базис однозначно => => лин.независ.

III₂. {a₁,a₂,a₃}, {b₁,b₂,b₃}, {c₁,c₂,c₃}, {d₁,d₂,d₃}

=> число неизвестных больше числа

уравнений => имеет бесчисл.мн-во решений =>лин.завис.

IV. {x₁,x₂,x₃}, {y₁,y₂,y₃}.

IV₁: , {

IV₂- вып-ся(ассоциат.закон)

IV₃ – вып-ся (по дистриб.закону)

IV₄: ={ => вып-ся

= => { => =

V. 1-4–вып-ся

V₃. A(a₁, a₂, a₃), {x₁,x₂,x₃}

( B) ()

{b₁-a₁, b₂-a₂, b₃-a₃} – вып-ся

V₄. A(a_i), B(b_i), C(c_i), i=1,2,3

{b₁-a₁, b₂-a₂, b₃-a₃}, {c₁-b₁, c₂-b₂, c₃-b₃}, {c₁-a₁, c₂-a₂, c₃-a₃}

{c₁-a₁, c₂-a₂, c₃-a₃}= ч.т.д

След-но все 18 аксиом – справедливые теоремы теории действ-х чисел. Мы построили модель.