Пл-ть Лобачевского. Взаимн. Распол-е прямых на пл-ти лоб-кого. Непротиворечивость системы аксиом пл-ти лоб-кого.

Проблема V постулата Евклида и ее решение.

5 постулат: если прямая, пересекающая 2 прямые, образует с ними внутр. одностор. углы, сумма кот меньше 2 прямых углов, то эти 2 прямые при неогр-ом продолжении пересекутся с той стороны, где эта сумма меньше. 5 постулат лежит в основе теории параллельных линий и теории подобия. Бол-во сочинений по геометрии после Евклида пытались доказать 5 постулат. И выбросить его из системы постулатов. Это фактич теорема и требует доказательства. Особенности определения 5 постул (громоздкость, большое кол-во вх понятий, лишен наглядности), расположения (Евклид в начале долго откладывал применение постулата, все геом рав-ва связ с углами и сторонами треуг, с рав-вом треуг доказывал без него). Решение проблемы связ с именами Гаусса, Бойяи, Лобачевского.

Аксиоматика геометрии Лобачевского.

1829 г. Лобачевский объявил о создании собственной геометрии (воображаемой). Осн методом док 5 постулата в 18-19в.-метод от противного. Лобачевский рассматривал возможность проведения через точку, не леж на прямой, не менее 2 прямых не пересек данную. Аксиома Лобач.: пусть на плоскоти дана прямая а и т А непринадл а. тогда в плоскости через А можно провести не менее 2 прямых не пересек прямую а. Исходя из этого строилась геометрия Лобач.

Аксиомы Гильберта. 20 аксиом разбиты на 5 групп.

Осн объекты: точка прямая плоскость. Осн отнош: лежать на, лежать между, быть равным.

I группа (аксиомы принадлежности): 1.каковы бы не были две точки А и В существует прямая проход через А и В. 2. каковы бы не были две различные точки А и В существует не более 1-й прямой проход через каждую из точек А и В. 3. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки(сущ по крайней мере 3 т не леж на одной прямой). 4.каковы бы не были 3 т А,В,С не леж на одной прямой сущ плоскость проходящая через каждую из точек А,В,С(на каждой плоскости лежит по крайней мере 1 т). 5. каковы бы не были 3 т А,В,С не леж на одной прямой сущ не более 1-й плоскости проходящая через каждую из точек А,В,С. 6. Если две т прямой лежат на плоскости, то каждая т прямой лежит на этой плоскости. 7. Если две плоскости имеют одну общую точку, то они имеют по крайней мере еще одну общую точку. 8. Сущ по крайней мере 4 т не лежащие на одной плоскости.

II группа (аксиомы порядка): точка В лежит между А и С=М(АВС) 1.М(АВС)=М(СВА), А,В,С-3различ т одной прямой. 2. Каковы бы не были 2 т А и В сущ по крайней мере т С на прямой АВ что М(АВС). 3. Среди любых 3-х т прямой существует не более одной т лежащей между 2-мя другими. 4. Отрезком АВ наз-ся множ т лежащих между т А и В. Пусть на плоскости имеются 3 точки А В С не леж на одной прямой и прямая а леж в плоскости но не проходящая не через одну из точек. Тогда если прямая прох через внутр т отрезка АВ то она прох либо через внутр т отрезка ВС либо через внутр т отрезка АС.

Определ: будем говорить что т О прямой а вместе с некоторой другой т А прямой определ луч. Определ: пара лучей выходящ из т О и не принадлежащих одной прямой образуют угол.

III группа (аксиомы конгруэнтности(равенства)): 1. Пусть А и В т на прямой а. А1 т на той же прямой или на другой пр а1,то всегда можно найти на прямой а или а1 по данную от т А1 сторону одну и только одну т В1, так4ую что [АВ]=[А1В1]. При этом счит что отрезки конгруэнтны. 2. Если [АВ]=[А1В1] и [АВ]=[А2В2], то [А1В1]=[А2В2] (равные порознь третьему равны между собой). 3. Если М(АВС) и М(А1В1С1) и [АВ]=[А1В1], [ВС]=[В1С1] то [АС]=[А1С1]. 4. Пусть дан выпуклый угол АОВ. И задана прямая а1, определяемая прямой полуплоскость Р1 и т О1 принадлеж а1. Тогда сущ в полупл Р1 единствен луч k проход через О1, такой что угол а1О1k конгруэнтен углу АОВ. 5. Пусть есть два треуг АВС и А1В1С1 и пусть [АВ]=[А1В1], [АС]=[А1С1] и угол ВАС конгруэн углу В1А1С1 тогда угол АВС конгруэн А1В1С1.

IV группа (аксиомы непрерывности): 1.(Архимеда) пусть АВ и СД какие либо отрезки, тогда на прямой АВ сущ конечная послед т удовл след условиям(1. М(АА1А2))…М(Аn-2An-1An).2.[АА1]=[А1А2]=…=[Аn-1An]=[СД].3.М(АВАn).) 2.(кантора) пусть на какой либо прямой а дана бесконеч послед отрезков удовл условиям(1. Каждый послед отрезок есть часть предыдущего. 2. Для любого наперед заданного отрезка СД найдется такое значение n что [AnBn]<[СД] тогда на прямой а сущ т М, принадлеж каждому из отрезков этой послед-ти.)

V группа (аксиома параллельности): 1.Пусть дана прямая и т не лежащ на этой прямой. Тогда в плоскости определ данной прямой и т, сущ не более одной прямой проход через т А и не пересек прямую а.

Аксиоматика лобач.: из 1гр 1-3 акс, 2-4гр, 5 акс заменяется на акс Лобач.

1.Равные порознь третьему равны между собой.

2.И если к равным прибавить равные, то получим равные.

3.И если от равных отнимем равные, то получим равные.

Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского.

Теорема. Через т А не леж на прямой а можно провести бесчисленное множ прямых не пересек а. Опред: все прямые не пересек а и не парал ей наз-ся сверхпараллельными.

Параллельные и сверх параллельные прямые на плоскости Лобачевского и их свойства.

Прямые парал прямой а и сверхпарал прямой а определены нами для конкретной т А. будет ли прямая а1 парал а в другой т отличной от А? Теорема. Прямая линия сохраняет признак параллельности для всех своих точек. Теорема. 2 прямые линии всегда взаимнопараллельны. Теорема. 2 прямые параллельные в одном и только одном направлении 3-ей прямой параллельны между собой. Основное свойство парал прямых(теорема): 2 парал прямые на плоскости Лобач неограниченно сближаются в сторону параллельности и неограниченно расходятся в противопол направлении.

Сверхпарал. Теорема. 2 перпендик к одной прямой явл сверхпарал прямыми. Теорема. Если при пересеч 2-х прямых третьей одностор углы равны, соответственные углы равны, то прямые явл сверхпарал. Осн св. сверхпарал(теорема):2 сверхпарал прямые имеют один и только один общий перпендик, по обе стороны от которого они неогранич расх.

Требования непротиворечивости системы аксиом.

К любой системе аксиом пред след требования: непротиворечивость, независимость, полнота. Непротивор главное, т.к. все аксиомы получ далее должны удовл ему.

Система аксиом называется непротиво­речивой, если существует база, на которой можно задать рассматри­ваемую структуру рода Т. Чтобы доказать непротиворечивость систе­мы аксиом, достаточно построить какую-либо интерпретацию этой системы аксиом. При построении интерпретации мы должны исполь­зовать «достаточно надежные» понятия, относительно которых у нас есть уверенность, что их система внутренне непротиворечива. Только в этом случае можно утверждать, что наша система аксиом А₁,А₂, …, А_n внутренне непротиворечива, и, значит, в теории Г(Т) мы не получим двух теорем, отрицающих одна другую, как бы далеко мы ни развивали эту теорию.

Вопрос о внутренней непротиворе­чивости системы аксиом может быть решен только средствами мате­матической логики.

При построении интерпретаций систем аксиом, определяющих структуры, изучаемые в геометрии, мы используем различные число­вые множества, считая «наиболее надежными» понятия, взятые из арифметики вещественных чисел. Поэтому при исследовании непро­тиворечивости системы аксиом А₁,А₂, …, А_n, не прибегая к средствам математической логики, мы в лучшем случае можем прийти к ут­верждению такого вида: система аксиом А₁,А₂, …, А_n непротиворечи­ва, если непротиворечива арифметика вещественных чисел.

Метод доказательства непротиворечивости. Достигается созданием модели системы аксиом из объектов некоторой непротиворечивой теории.

Доказательство непротиворечивости системы аксиом плоскости Лобачевского.

Построение модели плоскости Лобачевского дает 2 результата: 1. Док-во непротив геом Лобач. 2. Док-во независ 5 постулата от остал аксиом.

Чертим прямую а. верхнюю евклидову полуплоскость, будем называть плоскостью лобач-го. Точки прямой в плоскость не входят. Точки лобач(т в верхней полупл образ а). Прямые лобач(или полуокр с центром в верхней полуплос или полупрямые в верхней полуплос перпендикуляр а). Определ. Будем говор что точка инциндентна прямой, если соответствующая евклид т лежит на соотв полуокр или евклид полупрямой.

Через 2 различ точки можно провести одну и только одну прямую. Док-во: 1.серединный перпендик к отрезку MN выше прямой а пересек а в т О. проводим окр с ц в т О радиусов OM и ON. 2. Если середин перпендик параллелен а, это возмож если MN перпендик а, значит M и N лежат на одной прямой. 3. Если середин перпендик совпадает с а, такого быть не может.

На каждой прямой лежат по крайней мере две точки.

Сущ по крайней мере 3 т не лежащ на 1 прямой. Два отрезка наз равными, если сущ конечное число инверсий переводящих один отрезок в другой. 5-я аксиома параллельности: пусть задна прямая с. Через т С можнопровести прямые не пересек с. Все прямые проход внутри заштрих области(между прямыми изображ в виде полуокр.) пересек с. Получили множ прямых пересек и непересек с. Пограничные прямые изначально провед через т С(они и явл парал в разных направлениях).