Определение прямых, лучей, отрезков, плоскостей.

Из анализа аксиоматики Вейля видно, что она в основном явл-ся векторной.

A, B – точки,

Опр. Множ-во точек M таких, что коллинеарен , т.е. будем называть прямой (

(AM) ={M: , где , A – нач.точка, - направляющий вектор прямой.

Если => M совпадает с A; Если => M=B.

Пусть даны 3 точки: M₁( M₂( M₃(

Опр. Буд.гов., что M₂ лежит между M₁ и M₃, если M₁ M₂ M₃ три различные точки и .

Имея понятие «между» мож.напис.понятие отрезка

Опр. Отрезком буд.наз-ть мн-во точек, сост.из M₁,M₃ и точек, лежащих между M₁ и M₃; M₁ и M₃ – концы отрезка

Опр. Отрезком AB явл-ся мн-во точек, значение параметра которых принадл.[0,1].

Опр. Лучом [AB) буд.наз-ть мн-во точек, знач-е параметра кот-х приним.лишь положит.знач-е.

Свойства прямой:

1. На прямой бесчисл.мн-во точек

2. Прямая определ-ся однозначно любыми 2-мя ее разл.точками

Пусть даны 3 разл.точки,не леж.на одной прямой.

Опр. мн-во точек M таких, что = u буд.наз. плоскостью (u,v

(A,B,C)={M: = u ; u,v }

 

если u,v =0 => M совпад.с A; если u=1,v =0 => M совпад. с B; если u =0,v =1 => M совпад.с C.

u,v – параметры, фиксир.точку М.; А-нач.точка; М-текущая точка

св-ва плоскости:

1. А,В,С принадл.пл-ти

2. На пл-ти сущ-т бесчисл.мн-во точек, среди них хотя бы одна тройка точек не лежит на одной прямой

3. Пл-ть вполне опред-ся любыми 3-мя ее неколлин-ми точками

опр. Если в ур-ии пл-ти u , v-произв.зн-е, то получ. полуплоскость с границей АС. (АС, В)

опр. Пересечение полуплоскостей (АС, В) и (АВ,С) буд. наз-ть углом ВАС

- векторно-парам.ур-е пл-ти.

 

Многоугольники. Площадь многоугольника. Теорема существования и единственности. Равновеликость и равносоставленность.

Понятие простого многоугольника

Основная фигура – многоугольник.

0:Многоугольник будем называть простым, если все его вершины различные, ни одна вершина не явл внутренней точкой стороны и никакие две стороны не пересекаются во внутренней точке

Будем говорить что многоугольник Р разбит на 2 многоугольника– Р₁ и Р₂ и он является суммой Р=Р₁ + Р₂

Определение площади многоугольника.

0: Пусть каждому многоугольнику Р поставлено в соответствие положительное число S(H)>0 так что при этом выполняются следующие аксиомы:

1) Равным многоугольникам соответствуют равные числа

P=Q ⇒S(P)=S(Q)

2) Если многоугольник разбит на 2 многоугольника Р₁ и Р₂ то многоугольнику Р ставится в соответствие число, равное сумме чисел поставленных в соответствие многоугольникам

Р=Р₁ + Р₂ ⇒S(P)=S(Р₁) + S(Р₂)

3) Квадрату, сторона которого равна единице длины ставится в соответствие число равное 1

Тогда число S(P) будем называть площадью многоугольника, а квадрат 3) будем называть единицей площади

Теорема существования и единственности площади простого многоугольника.