Тема 16. «Финансово-математические основы кредитования»

16.1 Концепция стоимости денег во времени

Для оценки инвестиционных проектов применяются финансо­вые вычисления, которые базируются на понятии временной сто­имости денег.

Основная идея формулируется следующим образом: рубль, полученный сегодня, стоит больше, чем рубль, который будет получен в будущем. При этом параметр «временная ценность де­нег» рассматривается в двух аспектах: первый связан с обесцени­ванием денежной наличности с течением времени: второй — с обращением капитала (денежных средств).

Различие между равными по абсолютной величине суммами денежных средств, получаемых в различные периоды времени, называется временной стоимостью денег.

Основная причина данного экономического феномена кроется в уменьшении покупательной способности денежных средств. Од­нако наряду с инфляционным обесцениванием денег существуют и другие причины.

1. Немедленное удовлетворение потребностей для человека важ­нее, чем удовлетворение их в будущем.

2. Существует риск неполучения «завтрашних» денег, и этот риск будет тем выше, чем больше промежуток времени, отделя­ющий получателя денег от этого «завтра».

3. Располагая денежными средствами «сегодня», экономический субъект может их разместить на финансовом рынке (вложить в какое-нибудь доходное предприятие) и получить дополнитель­ный доход.

4. Разумный человек стремится выбрать наиболее ликвидную форму имеющихся у него финансовых активов, а любые обяза­тельства, получаемые им взамен денег, имеют более низкую лик­видность. Таким образом, у кредитора возрастает риск потери лик­видности.

Естественно, большинство владельцев денег не согласны бесплатно принимать на себя дополнительные риски. Платой за риск должна стать дополнительная прибыль. Поэтому предоставляя кредит, владельцы денег устанавливают такие условия его возврата, которые возместят им все возникающие неудобства.

Количе­ственной мерой величины этого возмещения является процентная ставка.

Экономисты выделяют два типа экономического мышления и соответствующих им подходах к анализу явлений и процессов:

•статический подход, который не учитывает фактор време­ни. Здесь возможно оперирование денежными показателями, от­носящимися к различным периодам времени, и их суммирова­ние;

•динамический подход, который учитывает фактор времени. Здесь неправомерно суммировать денежные величины, относящиеся к различным моментам времени.

В рамках динамического подхода одну и ту же сумму денег не­обходимо рассматривать с двух позиций: с позиции ее настоящей и будущей стоимости. С помощью процентной ставки может быть определена как будущая стоимость «сегодняшних» денег (та сум­ма, в которую превратятся инвестированные в настоящий мо­мент денежные средства через определенный период времени с учетом определенной процентной ставки), так и настоящая — современная, текущая или приведенная стоимость «завтрашних» денег, т.е. сумма будущих денежных поступлений, приведенных к настоящему моменту времени с учетом определенной процент­ной ставки.

Поскольку инвестирование представляет собой обычно дли­тельный процесс, в инвестиционной практике применяется ди­намический подход.

 

16.2 Элементы теории процентов

Основу коммерческих вычислений составляют ссудозаемные операции, в которых ярче всего проявляется необходимость учета временной ценности денег.

Процентные деньги или просто проценты в финансовых расче­тах представляют собой абсолютную величину дохода (прираще­ние денег) от предоставления денег в долг в любой его форме (причем эта финансовая операция может реально и не состоять­ся). Проценты можно рассматривать как абсолютную «цену дол­га», которую уплачивают за пользование денежными средствами. Однако, являясь абсолютным показателем, проценты чаще всего не подходят для сравнения и оценки ввиду их несопоставимости в пространстве и во времени. Поэтому в финансово-коммерческих расчетах широко пользуются относительными показателями. Базовым относительным показателем является процентная ставка.

Различают следующие виды процентных ставок:

- простая

- сложная

- плавающая

- фиксированная

- постоянная

- переменная

Процентная ставка (норма процента) — относительная вели­чина, характеризующая интенсивность начисления процентов и показывающая, на сколько процентов изменится стоимость за определенный интервал времени.

Процентные ставки — наиболее часто используемые финансо­вые показатели. Существует большое разнообразие процентных ставок, которые отличаются не только по величине, но и по ме­тоду их начисления.

Простая процентная ставка — ставка, при которой доход каж­дый раз начисляется на первоначально вложенную сумму. Форму­ла простых процентов имеет следующий вид:

FV= PV(1+in)

где FV— сумма, которую владелец получит спустя определенное время, или будущая стоимость PV — сумма, которой владелец обладает сегодня, или современная (текущая) стоимость; i — про­центная ставка; п — период начисления процентов в годах.

Так, если разместить 10000 тыс. р. на 2 года под 12% годовых (проценты начисляются по простой ставке), то наращен­ная сумма после 2 лет. будет равняться

FV = 10000 * (1 + 0,12*2) = 12400 тыс. рублей

 

Таким образом, при начислении дохода по простой процент­ной ставке, деньги со временем растут по линейному закону.

В процессе анализа инвестиционных ре­шений принято использовать сложные про­центы. При начислении дохода по сложной процентной ставке деньги со временем ра­стут по степенному закону.

Сложная процентная ставка применя­ется к наращенной сумме долга. При этом накопленные проценты добавляются к ос­новной сумме и полученная увеличенная сумма является исходной для начисления процентов в следующем периоде. Формула сложных процентов имеет следующий вид:

FV= PV(1+i) ⁿ

Простейшая интерпретация этой формулы — определение величины депозитного вклада в банк при депозитной ставке i в какой-либо бизнес (предприятие). Главное, чтобы вложение де­нег обеспечивало доход, т.е. увеличение вложенной суммы.

Например, если разместить 10000 тыс. р. на 2 года под 12 %годовых (проценты начисляются по сложной ставке), то на­ращенная сумма после 2 лет будет равняться:

FV= 10000(1 + 0.12)²= 12544 тыс. р.

 

Поскольку стандартным временным интервалом в финансовых операциях является один год, наиболее распространен вариант, когда процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки, подразумевающей однократное начисление процентов по истече­нии года после получения ссуды. Такая процентная ставка назы­вается эффективной.

Однако проценты могут начисляться несколько раз в году, например, ежеквартально, ежемесячно, при этом в контрактах фиксируется годовая ставка, а не ставка за период. В этом слу­чае следует говорить о сложной номинальной процентной ставке. Если указывается номинальная процентная ставка, то всегда уточняется, сколько раз в году происходит начисление процен­тов.

Наращенная сумма при использовании номинальной процент­ной ставки наращения определяется по формуле:

FV= PV(1+ i)^m*n

^m

где т — число начислений процентов (число капитализаций) в году.

Например, если разместить 10000 тыс. р. на 2 года под 12% годовых (проценты начисляются по сложной ставке поме­сячно), то наращенная сумма после 2 лет. будет равняться:

FV= 10000 (1+ 0,12)^12*2 = 12697.33 тыс.рублей

¹²

Достаточно часто на практике возникают ситуации, когда не­обходимо произвести сравнение по выгодности условий различ­ных финансовых операций и коммерческих сделок. Для сопостав­ления альтернативных вариантов ставки, используемые в услови­ях контрактов, приводят к единообразному показателю.

Эквивалентными процентными ставками называют ставки, ко­торые при замене одной на другую приводят к одинаковым финансовым результатам.

(1+i) ⁿ = (1+ i)^{m* n,}

^m

i=(1+ i)^m - 1

^m

Пример. Необходимо определить эквивалентную процентную ставку

APR = (1+ 0,10\4)⁴ – 1=0, 103813

Таким образом, помещение суммы на депозит под 10% годовых при ежеквартальном начислении процентов эквивалентно помещению суммы на депозит с начислением процентов ежегодно по ставке 10,3813%.

Операция может проводиться в течение определенного срока тогда эквивалентная ставка исчисляется следующим образом

APR = i* t/365,

где I – номинальная процентная ставка назначенная на операцию, t- срок операции в днях.

 

При этом не имеет значения, какая из приведенных ставок указывается в финансовых условиях, поскольку использование их дает одну и ту же наращенную сумму.

Фиксированная процентная ставка — это ставка, зафиксиро­ванная в виде определенного числа в финансовых контрактах.

Плавающая процентная ставка — ставка, привязанная к опре­деленной величине, изменяющейся во времени, включая надбав­ку к ней (маржу), которая определяется целым рядом условий (сроком операции и т.п.). Основу процентной ставки составляет базовая ставка, которая является начальной величиной. Приме­ром базовой ставки для зарубежных финансовых рынков могут служить лондонская межбанковская ставка Л И БОР (LIBOR — London Interbank Offered Rate) или ставка ЛИБИД (LIBID — London Interbank Bid Rate). Для России это ставка МИ БОР (MIBOR — Moscow Interbank Offered Rate) или ставка МИБИД (MIBID — Moscow Interbank Bid Rate). В данном случае значение ставки определяется как сумма базовой ставки (например, LIBOR) и надбавки к ней (маржи), уровень которой показывает уровень несистематического риска, который несет в себе данное соглаше­ние. Маржу можно рассматривать как премию за риск.

 

16.3 Понятие дисконтирования

Расчет будущей ценности исходной денежной суммы (увели­чение суммы долга в связи с присоединением к ней процентных денег) называется наращением, а увеличенная сумма — наращен­ной суммой.

На практике часто приходится решать задачи, обратные определению наращенной суммы: по уже известной наращен­ной сумме (FV) следует определить неизвестную первоначаль­ную сумму долга {РV)- Процесс приведения будущей стоимости денег к современной стоимости называется дисконтированием. Понятие «дисконтирование» относится к числу ключевых в теории инвестиционного анализа, поскольку процесс инвестирования имеет, как правило, продолжительность.

В зависимости от условий проведения финансовых операций и наращение, и дисконтирование могут осуществляться с применением простых, сложных или непрерыв­ных процентов.

Исходя из методики начисления процентов применяют два вида дисконтирования:

• математическое дисконтирование по процентной ставке;

• коммерческое дисконтирование или банковский учет по учет­ной ставке.

Различие в процентной ставке и учетной ставке заключается в различии базы для начислений процентов:

• в процентной ставке в качестве базы берется первоначальная сумма долга:

i = FV – PV

PV

· в учетной ставке за базу принимается наращенная сумма долга:

d = FV – PV

FV

Математическое дисконтирование — определение первоначаль­ной суммы долга, которая при начислении процентов по задан­ной величине процентной ставки (i) позволит к концу срока по­лучить указанную наращенную сумму.

Для простых процентов расчет текущей стоимости произво­дится следующим образом:

PV= FV = Kn * FV

1+ i*n

 

Kn = 1

1+ i*n

 

где Kn — дисконтный множитель (коэффициент приведения, дис­конт-фактор).

Дисконтный множитель показывает, какую долю составляет первоначальная сумма долга в величине наращенной суммы (сколь­ко стоит I р. в заданный момент времени, если его привести к начальному моменту). Поскольку дисконтный множитель (мно­житель приведения) зависит от двух факторов (процентной став­ки и срока ссуды), то его значения легко табулируются, что об­легчает финансовые расчеты.

Современная величина и процентная ставка, по которой про­водится дисконтирование, находятся в обратной зависимости: чем выше процентная ставка, тем при прочих равных условиях мень­ше современная величина.

В той же обратной зависимости находятся современная вели­чина и срок финансовой операции: чем выше срок финансовой операции, тем меньше при прочих равных условиях современная величина.

Например, если через 100 дней с момента подписания кон­тракта необходимо уплатить 500 тыс. р. исходя из 12% годовых и временной базы 360 дней, то первоначальная сумма долга будет равняться:

 

PV = 500000 =483870,97 руб.

1+ 0,12 * (100/360)

 

На практике обычно используется условный, или финансовый год, состоящий из 360 дней (12 мес. по 30 дней). Исчисляемые по такой базе проценты называют обыкновенными, или коммерческими. Если учитывается точное число дней в году (365 или 366 дней), то говорят о точных процентах.

Обыкновенные проценты — проценты, при подсчете которых в качестве временной базы принимается год, равный 360 дням.

Точные проценты — проценты, при подсчете которых в каче­стве временной базы принимается год, исчисляемый исходя из фактического числа дней — 365 или 366.

Для сложных процентов расчет текущей стоимости проводится по формуле

PV= FV = Kn * FV

(1+ i)ⁿ

 

Kn = 1

(1+ i)ⁿ

Предположим, что через пять лет организации потребуются денежные средства в размере 10 000 тыс. р. Какую сумму необходи­мо сегодня поместить в банк под 12 % годовых, чтобы через пять лет получить требуемую сумму? Рассчитаем современную сто­имость:

PV= 10000 = 5674,27 тыс.рублей

(1+ 0,12)⁵

Если начисление процентов производится т раз в год, исполь­зуется формула

PV= FV = Kn * FV

(1+ i/ m)^mn

 

Kn = 1

(1+ i/m) ^mn

Методы дисконтирования используются при необходимости сопоставления величин денежных поступлений и выплат, разне­сенных во времени. Предположим, что требуется определить, ка­кая сумма предпочтительнее при ставке 12% годовых; 2000 р., полученные через год, 2500 р., полученные через два гола, или 3000 р., полученные через четыре года.

Для первого варианта современная стоимость рассчитывается следующим образом:

 

PV= 2000 = 1785,71 руб.

1+ 0,12

 

Для второго варианта современная стоимость рассчитывается следующим образом:

PV= 2500 = 1992,98 руб.

(1+ 0,12)²

 

Для третьего варианта современная стоимость рассчитывается следующим образом

 

PV= 3000 = 1906,55 руб.

(1+ 0,12)⁴

 

Таким образом, наибольшую современную ценность имеет вто­рой вариант, и, следовательно, именно ему нужно отдать пред­почтение.

Коммерческое дисконтирование или банковский учет — вид дисконтирования, при котором исходя из известной суммы в бу­дущем определяют сумму в данный момент времени за вычетом Дисконта.

Сумма получаемого кредитором дохода рассчитывается исходя из заранее известной величины будущей суммы. Считается, что эта сумма и является величиной предоставляемого кредита или ссуды, хотя заемщик получает ее за вычетом дохода кредитора, так как в данном случае проценты начисляются «впереди, предварительно в начале каждого интервала начисления. Операция предварительного начисления процентов называется дисконтированием по учетной ставке или банковским учетом.

Банковский или коммерческий учет применяется в основном при учете векселей или других денежных обязательств, а также финансовых инструментов долгового характера. Операция учета (учет векселей) заключается в том, что банк или другая финансо­вая организация до наступления платежа по векселю покупает его у предъявителя по цене ниже суммы векселя, т.е. приобретает его с дисконтом. Сумма, которую получает векселедержатель при до­срочном учете векселя, называется дисконтированной величиной векселя. При этом банк удерживает в свою пользу проценты (дис­конт) от суммы векселя за время, оставшееся до срока его пога­шения. Подобным образом (с дисконтом) государство продает большинство своих ценных бумаг.

Для расчета дисконта используется учетная ставка:

· простая учетная ставка:

PV=FV(l-dn), (3.18)

где величина 1 - dn — банковский дисконтный множитель (ее не следует путать с величиной дисконтного множителя 1/ 1+ in)

Так, например, если простой вексель на сумму 80 000р. с опла­той через 120 дней учитывается в банке немедленно после полу­чения (учетная ставка банка равна 12 %), то сумма полученная владельцем векселя будет равняться:

 

PV= 80000 * (1 – 0,12 * 120/360)= 76800 тыс.рублей.

 

При этом банк удержал в свою пользу 3200 р. (т.е. дисконт составил D = FV~PV= 80000 - 76800 = 3 200 р.):

 

· сложная учетная ставка:

PV=FV(1 -d)ⁿ

Так, например, для определения величины суммы, выдавае­мой заемщику при условии, что он обязуется вернуть ее через три года в размере 100000 тыс. р. (учетная ставка банка — 20%), ис­пользуется формула

PV= FV{ 1 - d) ⁿ = 100 000 (1 - 0,2)³ = 51 200 тыс. р

Таким образом, заемщик может получить ссуду в размере 51 200 тыс. р., а через три года вернет 100000 тыс. р.

Дисконтирование — очень важная процедура при проведении финансовых расчетов. С помощью методов наращения и дискон­тирования оцениваются потоки платежей, дисконтирование ис­пользуется во многих задачах анализа инвестиций.

Так как инвестиции — это долгосрочные финансовые вложе­ния экономических ресурсов с целью создания и получения вы­годы в будущем, которая должна быть выше начальной величины вложений, то при анализе потоков платежей используются рас­смотренные выше обобщающие показатели: наращенная сто­имость, приведенная стоимость, норма доходности.