Спільним перпендикуляром до двох мимобіжних прямих називається відрізок з кінцями на цих прямих, перпендикулярний до кожної із них.

Дві мимобіжні прямі мають спільний перпендикуляр і до того ж тільки один. Він є спільним перпендикуляром до паралельних площин, які проходять через ці прямі.

Теорема 1. Відстань між мимобіжними прямими дорівнює відстані від однієї із прямих до паралельної їй площини, що містить іншу пряму.

Теорема 2. Відстань між мимобіжними прямими дорівнює відстані між паралельними площинами, кожна з яких містить одну із цих прямих.

Теорема 3. Відстань між мимобіжними прямими дорівнює відстані між ортогональними проекціями цих прямих на площину, перпендикулярну одній із цих прямих.

Задачі на готових кресленнях

Дано куб. Знайдіть відстань між прямими:

1) АА1 і DС;	2) АВ1 і DС;
3) АА1 і В1 D;	4) АС і А1 В;
5) С1 Е и D1 F, де Е – середина А1 В, F - середина АС;	6) ВD і О1 М, де М-середина АО; О - точка перетину діагоналей АС і ВD, О1 – точка перетину діагоналей А1С1 і В1D1
7) АС1 і ВДD;	8) АD і Д1 Р, де Р - середина DС.

 

А

В

С

S

Побудувати перпендикуляр від точки S до прямої АВ.

а) Трикутник АВС – рівносторонній, SС ^ (АВС).

 

А

В

С

S

б) Трикутник АВС – прямокутний, Ð В = 90°,

S

С

В

А

D

SС ^ (АВС).

 

в) АВСД – квадрат, SС ^ (АВС).

В

С

D

S

А

 

г) АВСД – прямокутник, SС ^ (АВС).

 

С

S

А

В

D

О

д) АВСД – ромб, SС ^ (АВС). е) Трикутник АВС – рівносторонній, ВО = СО, SС ^ (АВС).

А

В

С

S

О

 

№1. Нехай точка О є серединою гіпотенузи АВ прямокутного рівнобедреного трикутника АВС; ОР – перпендикуляр до площини трикутника АВС, ОР=АВ=4см. Знайдіть відстані:

а) від точки Р до сторони АС;

б) від точки А до площини СОР;

в) від площини, що проходить через середини сторін АС і ВС паралельно ОР, до площини АОР;

г) від точки О до площини РАС.

№2. Нехай OS – перпендикуляр до площини рівностороннього трикутника АВС з центром в точці О; АВ= OS=2.

а) Знайдіть кут між прямою СS і площиною АВС.

б) Знайдіть кут між прямою АО і площиною SОВ.

в) Визначте взаємне розміщення площин АВС і SОС

г) Знайдіть кут між прямою АО і площиною SВС.

д) Знайдіть відстань від точки В до прямої СS.

№3. Нехай точка О є серединою гіпотенузи АВ прямокутного рівнобедреного трикутника АВС; ОР – перпендикуляр до площини трикутника АВС, ОР=АВ=4см. Знайдіть відстані:

а) від точки Р до сторони АС;

б) від точки А до площини СОР;

в) від площини, що проходить через середини сторін АС і ВС паралельно ОР, до площини АОР;

г) від точки О до площини РАС.

№4 Нехай OS – перпендикуляр до площини рівностороннього трикутника АВС з центром в точці О; АВ= OS=2.

а) Знайдіть кут між прямою СS і площиною АВС.

б) Знайдіть кут між прямою АО і площиною SОВ.

в) Визначте взаємне розміщення площин АВС і SОС

г) Знайдіть кут між прямою АО і площиною SВС.

д) Знайдіть відстань від точки В до прямої СS.

Завдання для самоконтролю

Усього 6 карток, в кожній 3 завдання. Найбільш простим є перше завдання. Другим завданням є задача на доведення. Третє завдання - довести теорему. Четверте завдання - задача на побудову.

Картка №1

1. Сформулюйте визначення паралельності прямої і площини; ознаку паралельності прямої і площини.

2. У основі піраміди MABCD- квадрат. Доведіть, що АВII(MCD).

3. Доведіть ознаку паралельності прямої і площини.

4. Виконайте побудову прямої, яка паралельна даній площині.

Картка №2

1. Сформулюйте визначення перпендикулярності прямої і площини; ознаку перпендикулярності прямої і площини.

2. Дано куб АВС . Знаючи, що всі грані куба квадрати, доведіть, що А перпендикулярна до (АВС).

3. Доведіть ознаку перпендикулярності прямої і площини.

4. Виконайте побудову площини, перпендикулярної до даної прямої.

 

Картка №3

1. Сформулюйте визначення паралельності площин; ознаку паралельності площин.

2. Дано куб АВС . Знаючи, що всієї грані куба - квадрати, доведіть, що (АВС) II(.

3. Доведіть ознаку паралельності площин.

4. Побудуйте площину, паралельну даній площині.

Картка №4

1. Сформулюйте властивість про лінії перетину двох паралельних площин третьою площиною.

2. Площини основ куба перетинаються площиною по прямих MK і PE. Доведіть, що MK II PE.

3. Доведіть властивість про лінії перетину двох паралельних площин третьою площиною.

4. Побудуйте переріз куба АВС площиною, що проходить через точки D,K, , де точка К належить середині ребра А . Визначити вид перерізу.

Картка №5

1. Сформулюйте визначення перпендикулярності площин; ознаку перпендикулярності площин.

2. Дано куб АВС . Доведіть, що будь-яка площина, що проходить через пряму А , перпендикулярна до (АВС).

3. Доведіть ознаку перпендикулярності площин.

4. Точка О- точка перетину діагоналей трапеції АВС. SO перпендикуляр до площини трапеції. Побудуйте площину, що проходить через SO, перпендикулярно до площини трапеції.

Картка №6

1. Сформулюйте теорему про три перпендикуляри.

2. Дано куб АВС . Доведіть, що DC перпендикулярна до D.

3. Доведіть теорему про три перпендикуляри.

4. Дано прямокутний трикутник АВС із прямим кутом С. ВМ- перпендикуляр до площини трикутника АВС. Побудуйте трикутник МАС і визначте його вид.