Задачи на поиск собственных чисел и векторов.

Задача 3. Найти собственные числа и векторы линейного оператора, заданного матрицей: .

Решение. Сначала построим харакреристическое уравнение, то есть отнимем по главной диагонали, и приравняем этот определитель к нулю. . Вычислим определитель, чтобы свести всё к уравнению. . Характеристические корни , .

Теперь поочерёдно подставляем каждое конкретное из найденных , и формируем однородную систему.

система:

Здесь есть единственная информация: . Переменной в системе нет, но это значит, что она может принимать любое значение, она не влияет на систему уравнений. Распространённая ошибка в данном случае - думать, что если коэффициенты при нулевые, то . На самом деле является свободной неизвестной. Если вспомнить тему «ранг матрицы», то увидим, что базисный минор матрицы это минор 1-го порядка, и расположен именно во втором столбце (любая клетка размера 1 на 1), где есть число. Невырожденного минора 2-го порядка здесь нет. Таким образом, 1-я переменная свободная, и пусть даже 2-я через неё здесь не выражена, а просто равна 0, но всё равно свободной переменной мы можем присвоить любое значение, например 1. Итак, ФСР в данном случае (1,0), и именно это и является собственным вектором. Проверка: .

Замечание. Любой вектор на этой прямой, то есть вида (с,0) тоже является собственным.

система состоит из одного уравнения: . Ранг системы равен 1, а вот базисный минор можно выбрать как в 1-м так и во 2-м столбце, поэтому любую переменную можно считать свободной. Неважно, какую выразить через другую, всё равно одна и та же информация:

или . Задавая одну, получаем вторую. Вектор (1,1).

Проверка: . Действительно, мы нашли такой вектор, который при умножении на эту матрицу становится больше в 3 раза.

Ответ. вектор (1,0), вектор (1,1).

 

Задача 4. Найти собственные числа и векторы для матрицы .

Решение. .

. Корни , то есть и 5.

Ищем собственный вектор для каждого из этих чисел.

система состоит из двух одинаковых уравнений

Одну переменную выразим через вторую . ФСР .

система состоит из пропорциональных уравнений

Одну переменную выразим через вторую . ФСР .

Ответ. вектор , вектор (1,1).

 

Проверка. , .

Задача 5. Найти собственные числа и векторы для матрицы .

Решение.

Здесь хар. корень кратности 2: .

Ищем собственные векторы.

Однородная система состоит всего лишь из одного уравнения .

При этом формально свободная переменная, так как базисный минор 1-го порядка во втором столбце, а 1-й столбец тогда не базисный. То есть можно присваивать любое значение, например 1.

Итак, собственный вектор (1,0). Двух линейно-независимых собственных векторов для этого оператора нет.

Ответ. , собственный вектор (1,0).

Замечание. Вообще, количество собственных векторов меньше или равно кратности корня.

А если бы матрица изначально была то система уравнений получилась бы только из уравнений вида 0 = 0, то есть обе переменные свободные, ФСР было бы (1,0) и (0,1) и тогда собственные векторы - вся плоскость.

Задача 6. Найти собственные числа и векторы .

Решение. сводится к уравнению

, корни которого .

Найдём собственные векторы.

. Вычтем 2 по диагонали, получим систему уравнений

то есть .

Из этих уравнений следует, что , про нет информации, это свободная переменная. ФСР: вектор (1,0,0).

 

. Вычтем 3 по диагонали, получим систему уравнений

то есть .

Из этих уравнений следует , ФСР: вектор (1,1,0).

Базисный минор здесь во 2 и 3 столбцах, так что могло считаться свободной переменной.

 

. Вычтем 4 по диагонали, получим систему уравнений

то есть .

Базисный минор можно найти, например, в левом верхнем углу, тогда считаем свободной переменной и все остальные выразим именно через неё. Из 2-го , а затем из 1-го , то есть .

ФСР: вектор (1,1,1).

Ответ.

Собст. число собст. вектор (1,0,0),

собст. число собст. вектор (1,1,0)

собст. число собст. вектор (1,1,1).

Задача 7. Найти собственные числа и векторы

Решение.

разложим по 2-й строке:

= что сводится к

, первый корень и так виден и равен 1, у второго выражения найдём корни, например, через дискриминант, получаем 1 и 2. Итак, , корни 1,1,2, они же собственные числа. Два характеристических корня совпали (1 это корень кратности 2). Теперь ищем собственные векторы.

.

, если в такой системе уравнений вычесть из 3-го уравнения утроенное 1-е, то 3-е обнулится, и в итоге ранг системы равен 1. То есть мы видим, что в случае корня кратности 2, ранг понизился сразу на 2 пункта, здесь будет 2 свободных неизвестных.

Итак, система из 1 уравнения с 3 неизвестными: .

Тогда , свободные переменные поочерёдно принимают значение 1, ФСР из двух векторов: (1,0,2) (0,1,2).

 

 

.

, при этом сразу замечаем, что из 2-го уравнения будет следовать , поэтому в остальных уравнениях его сразу не пишем. Однородная система:

Ещё два уравнения в ней пропорциональны, так что в итоге, у нас есть такое общее решение: . ФСР вектор (1,0,3).

Ответ. Кратный корень два вектора: (1,0,2) (0,1,2),

Корень вектор (1,0,3).

Проверка. , , .

Задача 8. Доказать, что линейный оператор не имеет собственных векторов.

Решение. .

, действительных корней нет, то есть корни комплексные, они .

Замечание. Если линейный оператор в 3-мерном пространстве, то характеристический многочлен 3 степени, и в том случае есть по крайней мере хотя бы один действительный корень.

 

Задача 9. Доказать, что для оператора поворота в общем случае нет собственных векторов, и найти такие углы , при которых собственные векторы есть.

Решение. , , , получили многочлен вида , где

. .

так как . Лишь для углов 0 и получается D = 0, и тогда собственные векторы есть. При матрица линейного оператора примет вид , тогда все векторы плоскости являются собственными, и соответствуют числу .

При матрица , все векторы собственные, соответствуют .

Задача 10. Найти собственные числа и векторы .

Решение. сводится к уравнению

, корни которого: .

.

, система

откуда , ФСР это вектор .

.

, система

откуда , ФСР это вектор .

 

.

, система

откуда , а значит и , свободная переменная.

Тогда ФСР это вектор (1,0,0).

Ответ.

Собст. число собст. вектор ,

собст. число собст. вектор ,

собст. число собст. вектор (1,0,0).

 

Домашнее задание. (9.6 из [1]). Найти собственные числа и векторы для линейного оператора .

Ответ.

Собст. число собст. вектор ,

собст. число собст. вектор (0,1,1),

собст. число собст. вектор .

Практика 10

Задача 1. Найти собственные числа и векторы

Решение. Найдём собственные числа с помощью характеристического уравнения.

сводится к

Видно, что есть по крайней мере один корень .

Затем разделим многочлен на , получим крадратичное уравнение и там найдём ещё 2 корня.

Итак, разделилось без остатка. Таким образом,

= .

Для многочлена 2 степени: . Корни , т.е. 3 и 4.

Итак, собственные числа: , , .

Теперь ищем вектор для каждого из этих чисел.

Пусть . Составим однородную систему

здесь сразу видим, что 2 и 3 строка одинаковы, то есть 3-е уравнение копия 2-го, так что в системе фактически не 3, а 2 уравнения.

Запишем систему, заодно при этом поделив 1-е уравнение на 2.

Из 1-го сразу , подставляя во 2-е, можно также и выразить через : , т.е. . При этом свободная переменная. Общее решение . ФСР это вектор (1,2,3).

 

Пусть теперь . Составим однородную систему:

Из 1-го уравнения сразу очевидно .

Система: Если учесть , то так что очевидно, что и . ФСР (1,1,1).

 

Пусть теперь . Составим однородную систему:

Система:

из 1-го уравнения , подставим эту информацию во 2-е и 3-е.

значит . ФСР (2,1,1).

Ответ. собственный вектор (1,2,3),

собственный вектор (1,1,1),

собственный вектор (2,1,1).

 

Квадратичные формы.

Задача 2. Построить матрицу квадратичной формы:

.

Решение. По диагонали коэффициенты при квадратах, а остальные должны быть разделены поровну, то есть .

Таким образом мы добиваемся, чтобы матрица была симметрической.

Ответ. Матрица .

Проверка.

= .

Задача 3. Квадратичную форму привести к главным осям.

Решение. Сначала построим её матрицу: .

Характеристическое уравнение , собственные числа . Ищем собственные векторы для каждого из них.

: , , собственный вектор (1,1).

Нормируем этот вектор, то есть делим на его длину, которая составляет . Получаем .

: , , собственный вектор .

Нормируем его: .

 

Как видим, эти векторы ортогональны. Это потому, что матрица оператора симметрична (что и так следует из теоремы 7, см.лекции).

Обратите внимание, что этот новый базис - повёрнутый на 45⁰ декартов базис, то есть (1,0) и (0,1). Синим цветом нарисованы векторы (1,0) и (0,1) а красным и .

При таком преобразовании плоскости не искажаются площади фигур. Если бы мы не нормировали векторы, то при линейном преобразовании искажались бы площади, коэффициенты квадратичной формы в новом базисе не получились бы равны собственным числам . Причём если это именно 2-й а не 1-й, то преобразование плоскости получается без зеркального отражения, т.е. просто поворот.

Запишем связь старых и новых координат, новые мы обозначаем .

здесь надо вспомнить, что для нахождения новых координат мы решали систему уравнений, где основная матрица - это «матрица перехода», у которой в столбцах векторы нового базиса.

Итак, верны такие формулы: , .

В записи квадратичной формы заменим по этим формулам. Мы увидим, что после приведения подобных сократятся все произведения, содержащие разные переменные, вида , и останутся только квадраты, причём коэффициентами как раз и окажутся собственные числа.

= = = .

Ответ. Кв.форма: , новый базис и .

Задача 4. Квадратичную форму привести к главным осям.

Решение. Матрица квадратичной формы .

Найдём собственные числа и векторы. Характеристическое уравнение = = =

Собственные числа 5 и 1.

Решаем две однородные системы, для каждого по отдельности.

: , , ранг системы = 1, остаётся одно уравнение , собственный вектор (1,1).

Аналогично,

: , , ранг системы = 1, остаётся одно уравнение , собственный вектор (-1,1).

Затем нужно нормировать их, то есть поделить на длину. Итак получили новый ортонормированный базис:

и .

Обозначим новые координаты , тогда взаимосвязь старых и новых координат через матрицу перехода выглядит так:

- отсюда, умножив матрицу на столбец, можно записать формулы связи старых и новых координат: , .

Если мы подставим эти в исходную квадратичную форму , то увидим, что в ней не будет произведений типа , а коэффициенты при квадратах - это и будут ранее найденные собственные числа. Покажем это подробнее:

= =

=

= .

Собственные числа, как видим, как раз и оказались в роли коэффициентов при квадратах.

Ответ. , новый базис и .

 

Задача 5. Привести к главным осям квадратичную форму:

Q(x,y) = 14 +24 +21 .

Решение. Матрица: . Ищем собственные числа и векторы.

= = .

, , корни 30 и 5.

Ищем собственные векторы.

Пусть . ,

уравнения в такой системе пропорциональны, ранг равен не 2, а 1.

Фактически, здесь одно уравнение: .

Можно в качестве ФСР принять вектор (3,4).

Однако его ещё надо нормировать. Длина равна = 5.

Итак, нормированный собственный вектор .

 

Пусть . ,

уравнения пропорциональны, ранг равен 1.

Фактически, здесь одно уравнение: .

Можно в качестве ФСР принять вектор . Длина равна 5. Нормированный собственный вектор .

Итак, новый базис состоит из векторов и .

Переход к новым координатам:

, т.е. , .

Если подставить эти выражения в 14 +24 +21 и привести подобные, получим 30 +5 .

+ 24 + 21 =

+ +

=

+ + =

+ + = 30 +5 .

Ответ. 30 +5 , новый базис: и .

 

Аналитическая геометрия.