Практика 4. Обратная матрица.

Формула вычисления элементов обратной матрицы: .

Алгоритм нахождения .

1. Проверить невырожденность с помощью определителя.

2. Составить матрицу из дополняющих миноров M_ij.

3. Изменить знаки в шахматном порядке, то есть домножить на (-1)^i+j, где i,j - номера строки и столбца.

4. Транспонировать полученную матрицу.

5. Поделить на определитель исходной матрицы.

Задача 1. Найти обратную матрицу для .

Решение. 1). Проверяем определитель , так что обратная матрица существует.

2) Составляем матрицу из дополняющих миноров, то есть для каждой клетки вычёркиваем строку и столбец, остаётся подматрица порядка 1, то есть то число, которое напротив, как раз и является дополняющим минором. Получаем .

3) В шахматном порядке меняем знак там, где i+j нечётное.

Тем самым, мы переходим от к . Получили .

4) Транспонируем эту матрицу. .

5) Определитель был равен 1. Делить на 1 не обязательно, можно автоматически считать, что уже и так разделили.
Ответ. .

В качестве домашнего задания сделать проверку, и потренироваться умножать матрицы.

= = .

 

Матричные уравнения. Пусть А - квадратная матрица , - матрицы размера (чаще всего в таких задачах , то есть все рассматриваемые матрицы квадратные), причём - неизвестная матрица. Тогда определено умножение . Матрицу таким образом. Домножим всё равенство слева на обратную матрицу : . Тогда , то есть .

 

Задача 2. Решить матричное уравнение , где .

Решение. Требуетсянайти , заметим, что матрица А тут в точности такая, для которой мы искали обратную в прошлой задаче.

Так, можно использовать .

= = .

Ответ. .

 

Задача 3. Решить матричное уравнение .

Решение. Сначала найдём обратную матрицу

. Матрица из миноров: .

Матрица из алг. дополнений: .

Транспонируем её: .

Делим её на определитель, и получаем = .

= = .

Ответ. .

Задача 4. Найти обратную матрицу .

Решение. Сначала ищем определитель. Так как матрица треугольная, то достаточно перемножить числа по диагонали. .

Строим матрицу, состоящую из дополняющих миноров.

Зачёркиваем ту строку и тот столбец, где находится элемент, и остаётся минор 2 порядка из 4 элементов.

На схеме показано, что именно надо зачеркнуть:

= = .

Теперь надо сменить знаки в шахматном порядке, т.е. переходим от миноров к алгебраическим дополнениям. Обведено красным, где надо менять знак. Ясно, что 0 остаётся 0, там знак менять нет смысла.

Получили: = .

Транспонируем эту матрицу, то есть бывшие строки запишем по столбцам.

= . И осталось разделить на .

Ответ. .

Задача 5. Найти обратную матрицу .

Решение. Найдём определитель

.

Найдём матрицу из дополняющих миноров к каждой из 9 клеток.

= = .

Меняем знаки в шахматном порядке, то есть там, где i+j нечётное.

= .

Затем транспонируем эту матрицу.

= . Осталось только разделить на .

Ответ. .

Задача 6. Найти обратную матрицу .

Решение. Сначала находим определитель.

.

Найдём матрицу из дополняющих миноров.

= = .

Меняем знаки в шахматном порядке, там, где i+j нечётное.

= .

Затем транспонируем эту матрицу.

= . Затем делим на .

Ответ. = .

Задача 7. Матричным методом решить систему уравнений:

Решение. Запишем систему в виде: .

Обратите внимение, что основная матрица системы это та самая матрица, для которой мы нашли обратную в прошлой задаче.

Если у нас есть равенство , то , тогда .

= = .

Ответ. =1, =1, =0.

Задача 8. Найти обратную матрицу .

Решение. Сначала вычислим определитель: .

= = .

= , = .

Исходный определитель был равен 1, так что делить не нужно.

Ответ. .

Задача 9. Теоретическое упражнение на тему «единственность обратной матрицы». Доказать, чтоне существует различных обратной слева и справа, то есть, если и , то .

Решение. Пусть и . По закону ассоциативности, можно записать такое равенство: .

Но тогда получается , то есть .

Задача 10. Найти обратную матрицу .

Решение. Найдём определитель: .

= = .

= , = .

Осталось разделить на .

Ответ. .

 

Практика 5. Ранг матрицы.

Задача 1. Найти ранг матрицы. .

Решение.

Метод 1. Выбираем окаймляющие миноры, начиная от левого верхнего угла. Видно, что минор 2 порядка не равен 0, поэтому ранг больше или равен 2. .

Вычисляя минор 3 порядка (а он здесь единственный, это и есть сам определитель матрицы) видим, что он равен 0.

. Тогда раен не равен 3.

, но при этом . Остаётся единственный вариант: .

Метод 2. Преобразуем матрицу к треугольному виду.

Вычитаем из 2-й строки 1-ю, и из 3-й удвоенную 1-ю.

Теперь 2-ю строку, умноженную на 0,5, прибавим к 3-й.

Теперь видно, что 3-я строка состоит из нулей, поэтому ранг не может быть равен 3. Минор 2-го порядка тоже сразу виден, это .

Ответ. .

 

Задача 2. Найти ранг матрицы .

Решение. Поменяем 1-ю и 2-ю строки, так чтобы в верхнем левом углу было число 1. Это удобнее для преобразований к треугольной форме методом Гаусса. Ранг при этом не меняется. После этого, вычтем 1-ю строку с коэффициентом 1 либо 4 из последующих, так, чтобы обнулить всё ниде углового элемента.

Ещё мы поменяли 2 и 3 строку, чтобы продолжить метод Гаусса без излишних дробных коэффициентов.

Теперь 2-ю строку, домноженную на 10, прибавим к 3-й.

.

Итак, исходная матрица сводится к такой, в которой уже есть треугольная сруктура в первых трёх столбцах.

Очевидно, что обведённый минор равен 46, не равен 0. Он 3-го порядка, поэтому ранг равен 3.

Ответ: .

Задача 3. Найти ранг матрицы и базисный минор. .

Решение. Преобразуем матрицу:

Сначала из 2 строки вычитаем 1-ю, домноженную на 2, то есть вычитаем строку (2 4 6) а из 3-й 1-ю, домноженную на 5, т.е. строку (5 10 15). Затем к 3-й прибавляем 20ю с коэффициентом 7.

Видно, что базисный минор не может быть в левом верхнем углу, потому что во 2-й строке два нуля. Зато можно найти минор 2 порядка, состоящий из частей 10и 3 столбца, либо 2 и 3-го.

 

Минор порядка 3, то есть сам определитель всей этой матрицы, равен 0, так как третий столбец содержит только нули. Поэтому ранг равен 2, а не 3.

Ответ. .

Задача 4. Найти ранг матрицы .

Решение. Преобразуем матрицу. Ко второй строке прибавим 1-ю, а от 3-й отнимем удвоенную 1-ю.

теперь к третьей прибавим вторую, получим .

Ранг равен 3, так как есть невырожденный минор 3 порядка.

Ответ. .

 

Задача 4а (вариант с параметром).

Найти параметр , при котором ранг матрицы

равен 2.

Третья строка сосотяла бы из всех нулей, только если , то есть . То есть, если бы на месте a₃₃ изначально было число -2, то ранг был бы меньше, так как в итоге получилась бы третья строка из всех нулей.

Ответ. .

Задача 5. Доказать, что 3 столбец матрицы

является линейной комбинацией первых двух, и найти коэффициенты этой комбинации.

Решение. Во-первых, если вычислить определитель и обнаружить, что он равен 0, то этим самым уже доказана линейная зависимость столбцов. Однако требуется найти коэффициенты, поэтому запишем систему уравнений:

Прибавим удвоенное 1-е уравнение ко 2-му, и вычтем утроенное 1-е из 3-го.

отсюда видно, что , тогда .

Ответ. коэффициенты линейной комбинации равны 1 и 2.

Задача 6. Найти ранг матрицы .

Решение. Преобразуем методом Гаусса к треугольной форме.

.

Видно, что 4-я строка из нулей, поэтому ранг не равен 4, то есть . Минор порядка 2 легко находится в верхнем левом углу, но угловой минор порядка 3 равен 0. Однако это ещё не значит, что ранг равен 2, ведь можно отступить к правмому краю матрицы и взять минор с разрывом, из 1,2,4 столбцов, например такой:

Этот минор невырожденный, и он тоже является окаймляющим (ведь он полностью включает в себя квадрат, закрашенный жёлтым). Мы нашли базисный минор порядка 3. Также можно было рассматривать аналогичное в 1,2,5 столбцах, тоже минор порядка 3.

Ответ. .

 

Задача 7. Найти такие параметры , что ранг матрицы равен 1:

Решение. Преобразуем методом Гаусса к треугольной форме.

.

Если и , то две последних строки только из нулей, и равен будет равен 1.

Ответ. , .

 

Задача 8. Найти ранг матрицы (4*4, можно с произвольными элементами, заданными группой).

Решение. Для удобства преобразования методом Гаусса, сначала поменяем местами 1 и 3 строки. Ещё можно сразу прибавить 3-ю строку к 4-й.

Дальше стандартным методом, обнулим всё ниже угла.

Для удобства вычислений домножим 2 строку на (-1), ранг при этом не меняется. Затем прибавим к 3 строке удвоенную 2-ю.

Теперь осталось прибавить к 4 строке удвоенную 3-ю.

. Видно, что получилась треугольная матрица, то есть определитель 4 порядка невырожденный. Поэтому .

Ответ. .

 

Элементы векторной алгебры.

Задача 9. (8.16 [1]) Найти косинус угла между векторами .

Решение. Известно, что .

, .

, тогда , что приблизительно равно 0,5, то есть угол чуть больше 60⁰.

Ответ. cos = 9/19.

 

Задача 10. Найти скалярное и векторное произведение векторов:

и .

Решение. .

Для поиска векторого произведения запишем определитель.

= = .

Ответ. Скалярное: 16, векторное: (-13, -1, -8).

 

Задача 11. Дано: , , , , угол между векторами 45 градусов. Найти .

Решение. = = .

Примечание. Как видим, можно вычислять скалярное произведение, даже не зная коорднат векторов. Здесь фактически служат в качестве базисных векторов, и через них выражены , то есть (1,1) и (2,1) координаты относительно базиса .

Ответ. .