Практика 3. (9 сентября у обеих групп).

Определители, разложение по строке (столбцу).

Задача 1. Найти произведение , где

, , .

Решение. Вычислим , сначала умножим первые две матрицы:

= . Теперь умножим на третью матрицу.

= . Ответ. .

Замечание. Если вычислять , то получается точно такой же результат, т.к. выполняется закон ассоциативности.

 

Замечание. При умножении квадратной матрицы на вектор-столбец получается снова вектор-столбец, то есть квадратная матрица фактически выступает в роли функции, отображающей векторы в пространстве (или на плоскости, если n = 2).

 

Задача 2. Умножение квадратной матрицы порядка 3 на вектор-столбец из 3 координат (параметры произвольные, задаёт группа).

Задача 3. Найти параметр , при котором определитель равен 0:

.

Решение. Вычислим определитель и решим получившееся уравнение:

, , , .

Ответ. .

Задача 4. Найти объём тетраэдра, вершины которого

A(1,1,1), B(2,1,3), C(2,2,4), D(1,2,4).

Решение. Объём тетраэдра ровно в 6 раз меньше объёма параллелепипеда с рёбрами AB, AC, AD.

Найдём эти векторы, и сначала вычислим объём параллелепипеда с помощью определителя, затем поделим на 6.

AB = (1,0,2), AC = (0,1,3), AD = (1,1,3).

= , .

Ответ. Объём тетраэдра равен .

Задача 5. Вычислить определитель с помощью разложения по первой строке.

Решение. Выберем дополняющий минор для каждого элемента 1-й строки, и домножим на

=

= = 8. Ответ. 8.

Задача 6. Вычислить определитель методом Гаусса (приведением к треугольной форме).

Решение. Вычитаем из 2-й строки удвоенную 1-ю, и из 3-й 1-ю.

= затем вычитаем из 3-й строки 2-ю.

получили = 2. Ответ. 2.

Задача 7(а,б). Вычислить определитель 4 порядка двумя способами: а) разложением по 1-й строке. б) с помощью преобразований матрицы, т.е. приведением к треугольной форме.

Решение. Первый способ.

Разложение по 1-й строке:

Очевидно, что последние 2 минора 3-го порядка вычислять не надо, так как они умножаются на 0. Осталось вычислить два минора 3 порядка, то есть мы свели определитель 4 порядка к определителям 3 порядка.

= .

Ответ. 0.

Второй способ. Из 2-й строки вычтем удвоенную 1-ю, а из 4-й утроенную 1-ю.

Здесь мы добиваемся того, чтобы под левым верхним углом были только нули. В 3-й строке слева и так 0, из неё ничего вычитать не надо.

Теперь к 3-й строке прибавим 2-ю, а из 4-й вычтем удвоенную 2-ю. Этим самым мы обнулим элементы ниже .

Теперь надо к 4-й строке прибавить 3-ю, и мы получим 0 под элементом , этим как раз и завершится процесс приведения к треугольному виду.

Но получилось так, что вся 4 строка состоит из нулей, а тогда определитель равен 0. Итак, получили точно такой же ответ.

Задача 8. Вычислить определитель .

Решение. Здесь можно применить старый, давно известный способ, то есть достроить 2 столбца и перемножить по трём параллельным линиям. А можно и преобразования строк. Но для этого удобно, чтобы в левом верхнем углу было число 1. Мы можем поменять местами строки, учтём, что при этом сменится знак.

= .

В принципе, можно ещё и поменять местами 2 и 3 строки, чтобы знак снова исчез. . А вот теперь уже вычитать из 2-й строки (удвоеннную 1-ю) и из 3-й (утроенную 1-ю).

= . Дальше можно и не преобразовывать, а просто разложить по 1 стролбцу, там всего лишь одно число, остальные нули. = 24. Ответ. 24.

Задача 9. Вычислить определитель .

Решение. Прибавим 1-ю строку ко 2-й, 3-й и 4-й.

. Эта матрица треугольная, определитель равен произведению чисел по диагонали, то есть 24.

Ответ. 24.

Задача 10. Вычислить определитель .

Решение. Можно просто добавить копии 1,2 столбцов и применить старый способ, а можно разложить по 3 строке, где есть всего одно ненулевое число. Сделаем именно так.

= = = 28.

Ответ. 28.

Задача 11. Вычислить определитель .

Решение. Приведём к треугольному виду.

= теперь разложим по 1-му столбцу

= 50. Ответ. 50.