Практика 12 (21 октября у обеих групп).

Задача 1. Найти расстояние от точки M₀ (1,3,5) до плоскости .

Решение. По формуле получаем, что

= = .

Это значит, что точка принадлежит плоскости.

Ответ. .

Задача 1а. Найти расстояние от точки M₀ (7,15,22) до плоскости .

Решение. По формуле получаем, что

= = .

Ответ. .

Задача 2. (На плоскости). Даны точки , , .

Вывести уравнение прямой, содержащей А₁В₁, и найти расстояние от точки С₁ до этой прямой (то есть высоту треугольника).

Решение. Вектор А₁В₁ равен , и это есть направляющий на прямой. В то же время вектор А₁М до произвольной точки , который равен , пропорционален А₁В₁. Тогда , то есть , и уравнение прямой: .

Теперь по формуле найдём расстояние от этой прямой до точки . = = .

Ответ. Прямая , расстояние 3.

Задача 3. Найти угол между двумя плоскостями: и .

Решение. Нормали к этим плоскостям: и .

Нормали не коллинеарны, то есть плоскости не параллельны, значит, они действительно пересекаются по какой-то прямой, и между ними есть какой-то угол.

= = .

Кстати, константа в уравнении одной из плоскостей никак не влияет на ответ, так как параллельный перенос плоскости не влияет на угол, который она образует с другой плоскостью.

Ответ. , что приблизительно составляет 83,6 градусов.

Прямая в пространстве

Задача 4. Построить уравнение прямой в пространстве (каноническое, параметрическое) по точке и направляющему .

Решение. Если отложить вектор от к произвольной точке , то вектор коллинеарен вектору , то есть их координаты пропорциональны. Тогда:

(это мы сейчас получили канонические уравнения).

Обратите внимание, что в знаменателях здесь оказались именно координаты направляющего вектора!

Чертёж:

Как мы видим, прямая в пространстве задаётся не одним уравнением, а системой уравнений. Здесь как минимум 2 знака равенства. 1-я дробь равна 2-й, а 2-я равна 3-й. На самом деле здесь даже 3 уравнения, ведь ещё и 1-я равна 3-й.

Если теперь каждую такую дробь приравнять к некоторому параметру , то: , , , следовательно:

, , .

Тогда - параметрические уравнения.

Можно их записать ещё и в векторной форме: .

Они задают движение точки по этой прямой во времени. Здесь при мы как раз оказались бы в исходной точке, а при в конце направляющего вектора.

Ответ. ,

Задача 5. Построить уравнение прямой в пространстве (каноническое, параметрическое) по точке и направляющему (с произвольными случайно взятыми параметтрами, которые придумает группа).

 

Задача 6. Построить уравнение прямой, лежащей в пересечении двух плоскостей и .

Решение. Векторное произведение нормалей это направляющий вектор, вычислим его. =

= .

Итак, направляющий вектор .

Теперь нужно найти хотя бы одну точку на этой прямой. Чтобы взять произвольную точку из пересечения плоскостей, можно положить и решить систему, вычислив .

Два уравнения, без , приводят к такой системе: .

Выразим из 2-го и подставим в 1-е.

Получим . Тогда , т.е. .

Но тогда . Итак, получили точку .

Вектор от этой точки к произвольной точке равен и он попорционален направляющему вектору. Тогда

канонические уравнения этой прямой.

Приравнивая все эти дроби к , можно вычислить и параметрические уравнения .

Ответ. , .

Задача 7. Доказать, что прямая пересекает ось и найти точку пересечения.

Решение. Если прямая пересекает ось , то точка пересечения имеет вид . Если в первые две дроби вместо подставить 0, то получим . Тогда , т.е. .

Если бы первые две дроби после такой подстановки оказались не равны, то это бы означало, что нет пересечения с осью .

Ответ. (0,0,1).

Задача 8. Найти угол между прямой

и плоскостью .

Решение. Формула, выведенная в лекциях: .

Направляющий к прямой , нормаль к плоскости .

Их скалярное произведение равно 9.

Модули векторов равны и . .

Приблизительно представим, какой это угол. Если бы было

вместо то было бы = 90.

Но в данном случае дробь чуть меньше, а угол составляет около 79 градусов. Ответ. .

 

Задача 9. Найти параметрические и канонические уравнения прямой, перпендикулярной к плоскости треугольника с вершинами , , и проходящей через вершину А.

Решение. Направляющие АВ и АС это (3,3,0) и .

Их векторное произведение:

= = .

Итак, вектор . Но можно в том же направлении выбрать вектор короче в 3 раза (для удобства вычислений) ведь направление от этого не изменится. Итак, пусть направляющий для прямой , точка . Вектор от к произвольной точке имеет вид

. Он коллинеарен , есть пропорциональность координат. Тогда . Это и есть канонические уравнения. Перейти к параметрическим можно так же, как и в прошлых задачах: приравнять все дроби к и выразить всё через .

Ответ. Канонические ,

параметрические .

 

Задача 10. Доказать, что две прямые в пространстве

и пересекаются, и найти точку пересечения.

Решение. Если у них естьь общая точка, то можно приравнять из первых и вторых равенств. Но неизвестно, при каком параметре достигаются эти значения в каждом случае, поэтому нужно решить систему уравнений, положив в первых равенствах , а во вторых .

перенесём все , в одну сторону, а константы в другую, чтобы система была записана в стандартной форме.

расширенная матрица:

Преобразуем методом Гаусса. От 2-й строки отнимем утроенную 1-ю, а к 3-й прибавим 4-кратную 1-ю.

т.е. то есть сразу же из 2-го и 3-го уравнений, и они не противоречат друг другу. Кстати, эта система совместна, равнги основной и расширенной матриц совпадают, так как равны 2. Из 1-го затем , т.е. .

Затем подставить в первые уравнения либо во вторые,

получим одни и те же значения для .

, т.к. и

Ответ точка пересечения (1,1,2).

Задача 11. Доказать, что две прямые в пространстве:

и скрещивающиеся, и найти расстояние между ними.

Решение. Решая систему уравнений, как в прошлой задаче, здесь мы обнаружим, что система несовместна.

матрица:

прибавим ко 2-й строке 1-ю, а от 3-й отнимем 1-ю.

получили систему

2-е и 3-е уравнения противоречат друг другу. Система не имеет решений, значит, эти 2 прямые не имеют ни одной общей точки.

Так как направляющие векторы и не коллинеарны, то прямые не параллельные, а скрещивающиеся.

Найдём расстояние между ними. Точку на каждой прямой можно найти, присваивая . , . Вектор, соединяющий две прямых, .

Вычисляем по формуле .

Смешанное произведение с помощью определителя.

 

= (прибавили 2-ю строку к 1-й)

= = , а по модулю получается 4.

= = .

Модуль векторного произведения равен = .

= . Ответ. .

Дом. задача 1. (12.22 [1]) Доказать, что прямые

и пересекаются и найти точку.

Ответ. (3,7,-6).

Дом. задача 2. (12.35 [1])

Вычислить расстояние между скрещивающимися прямыми:

и

Ответ 13.

Практика 13. Прямая в пространстве. Кривые и поверхности.

 

Задача 1. Вычислить расстояние от точки (4,4,-2) до прямой в пространстве.

Решение. Применим формулу .

Точка на прямой ищется из таких соображений: все дроби в каноническим уравнении приравняем к 0, тогда , , .

. . Направляющий вектор состоит из чисел в знаменателях в канонических уравнениях: .

Его модуль равен . Векторное произведение:

= = .

Модуль этого вектора равен . Ответ. .

Задача 2. Даны три точки А(1,1,1),В(2,2,3),С(2,1,2). Вывести уравнение прямой, содержащей АВ, и найти расстояние от точки С

до этой прямой (высота треугольника АВС).

Решение. Вектор АВ (1,1,2) можем принять в качестве направляющего для этой прямой. Он отложен от точки А(1,1,1).

Тогда канонические уравнения прямой: .

Расстояние в данной ситуации, в пространстве, надо искать по формуле в данном случае .

Здесь точки А,С играют ту же роль, что в прошлой задаче.

2-я сторона параллелограмма: АС=(1,0,1). .

Векторное произведение:

= = .

Модуль вектора равен . Тогда результат: .

Ответ. .

Задача 3. Найти точку пересечения плоскости и прямой .

Решение. Запишем прямую с помощью параметрических уравнений:

, , .

Подставим эти выражения в уравнение плоскости, чтобы найти, при каком значении оно выполняется.

. Тогда .

Ответ. Точка пересечения .

Задача 4. Через точку и ось Ох проходит одна плоскость, через эту же точку и ось Оу вторая. Найти косинус тупого угла между этими плоскостями.

Решение. Если плоскость содержит ось и точку, то в ней по крайней мере содержится начало координат, и 2 такие направляющих: один проведён от (0,0,0) к точке , а второй - это просто базисный вектор оси, то есть для Ох вектор (1,0,0), а в случае оси Оу (0,1,0). Таким образом, уравнения каждой плоскости можно построить.

А затем мы найдём угол между их нормалями. Эти плоскости можно представить так: две наклонные части крыши. Плоскость, перпендикулярная линии ОМ, не горизонтальна, так что угол между двумя частями такой крыши вовсе не 90 градусов. Чем более пологая крыша, тем ближе этот угол к 180, а чем более крутая, тем ближе к 90. Плоскость, перпендикулярная стыковочной линии крыши, а именно линии ОМ, показана жёлтым цветом.

 

Строим уравнение 1-й плоскости. Возьмём 3-й вектор, проведённый к какой-то произвольной точке от начала координат. Тогда 3 радиус-вектора, проведённых из начала координат, а именно , , должны образовать линейно-зависимую систему.

= = .

Нормаль к этой плоскости .

Строим уравнение 2-й плоскости. Аналогично, только (0,1,0).

= = .

Нормаль к этой плоскости .

Известно, что .

Тогда , т.е. .

Замечание. Если бы надо было найти косинус наименьшего угла, то есть острого, то должны были бы рассматривать модуль , чтобы угол получился именно в 1-й четверти, т.е. с положительным cos.

Вообще же, всегда имеется два угла, и . В зависимости от того, острый или тупой угол надо рассматривать, его косинус вычисляется как либо . Ответ.

Задача 5. Заданы 2 прямые в пространстве, одна - своими параметрическими уравнениями, а другая как пересечение пары плоскостей:

и .

Доказать, что эти прямые параллельны, и найти уравнение плоскости, содержащей их.

 

Решение. Сначала найдём направляющие векторы этих прямых и докажем, что они коллинеарны. Для 1-й прямой надо просто выбрать коэффициенты при , получим .

Для 2-й прямой надо искать направляющий как векторное произведение нормалей к двум плоскостям.

= = .

Векторы и коллинеарны, это видно, если вынести множитель . Значит, прямые действительно параллельны.

Теперь, чтобы построить уравнение плоскости, нужна какая-то точка и два линейно-независимых направляющих вектора в плоскости. При этом два направляющих для этой пары прямых линейно-зависимы, то есть с помощью них построить уравнение не получится. Один из них можем использовать, а 2-й направляющий в плоскости надо ещё найти. Для этой цели можно взять какой-нибудь вектор, соединяющий пару точек на этих прямых.

Точка на 1-й прямой: присвоим в параметрических уравнениях, и получим . Точку на 2-й прямой можно найти так: в системе из двух уравнений присвоить и вычислить . Система станет из 2 уравнений с 2 неизвестными, и она решится.

. Чертёж:

 

Вторым направляющим вектором в плоскости может служить или , что кстати удобнее, потому что меньше минусов при вычислении (координаты положительны).

Итак, есть точка и 2 направляющих и на плоскости. Построим уравнение плоскости. Третий вектор, проведённый к какой-либо произвольной точке в этой пллоскости, и 2 направляющих, образуют ЛЗС:

сократим на

.

Ответ. Плоскость .

Задача 6. Доказать, что кривая

является эллипсом, найти каноническое уравнение, центр и полуоси.

Решение. Выделим полный квадрат по каждой переменной.

в каждой скобке можно получить такое выражение, чтобы затем использовать формулы сокращённого умножения (ФСУ): . Надо прибавить константы в скобках, так чтобы всё сворачивалось, но для компенсации за скобками вычесть эти константы.

это каноническое уравнение.

Чертёж:

Ответ. Центр , полуоси и .

Задача 7. Доказать, что кривая

является эллипсом, найти каноническое уравнение, центр и полуоси, построить чертёж.

Решение. Здесь в уравнении есть произведение , то есть надо сначала привести к главным осям квадратичную форму: . Строим её матрицу: .

Находим собственные числа и векторы.

.

Собственные числа 1 и 9. Ищем собственные векторы.

 

. , оба уравнения пропорциональны, т.е. есть только такая информация: , т.е. . ФСР: вектор (1,1).

Нормируем его, то есть делим на длину, которая здесь . Получаем

- собственный вектор для .

Это единичный вектор в 1-й четверти, получающийся поворотом (1,0) на 45 градусов.

 

. , оба уравнения пропорциональны, фактически оно одно: , т.е. . ФСР: вектор .

Нормируем его, получаем собственный вектор для .

Это вектор во 2-й четверти, получающийся поворотом (0,1) на 45 градусов.

Запишем формулы перехода от одного базиса к другому:

Если подставить эти выражения в исходное уравнение, то после приведения подобных исчезнут выражения, содержащие разные переменные и :

 

 

в линейной форме полностью сократились, тоже сократятся.

.

Итак, как мы видим, коэффициентами как раз и оказались 9 и 1, то есть собственные числа матрицы этой квадратичной формы.

Заметим, что 1-й степени здесь нет, так что выделение полного квадрата надо делать только по .

, т.е. . Полуоси 1 и 3, то есть размеры эллипса: 2 на 6.

Центр , но это центр в новых координатах, а для чертежа надо найти центр именно в старых координатах . Их мы найдём по формулам взаимосвязи этих координат:

.

Если , то .

Итак, центр - точка (1,1). В направлении первого вектора нового базиса, а именно , полуось длины 1, а в направлении второго вектора полуось длины 3.

Ответ. Центр , полуоси 1 и 3.

Чертёж:

 

Задача 8. Доказать, что однополостный гиперболоид содержит прямолинейные образующие.

Решение. В горизонтальном сечении при получается эллипс: . Его вершины: , , , . Рассмотрим вертикальную плоскость, проходящую через его вершину, например, . Эта плоскость имеет уравнение . Тогда в уравнении гиперболоида , т.е. . Получается , т.е. в вертикальной плоскости две прямых:

и , или можно записать так: и .

Это пара пересекающихся прямых.

 

Чертёж: эта пара прямых показана красным цветом.

Домашняя Задача 1. (13.16 [1]). Доказать, что кривая является эллипсом, найти каноническое уравнение, центр и полуоси.

Ответ. Центр (3,-1), полуоси 3 и .

 

Домашняя задача 2. (14.3 а [1]). Доказать, что кривая является эллипсом, найти каноническое уравнение, центр и полуоси, построить чертёж.

 

Практика 14. Повторение и контрольная работа.

Векторы a,b выражены через p,r: , . , угол между ними 45 град.

Задача 1. Найти . Ответ. 29.

Задача 2. Найти | [a,b] |. Ответ. 50.

Задача 3. Решить систему уравнений

Ответ. =2, =1, =1.

Задача 4. Найти собственные числа и векторы .

Ответ. Собст. число собст. вектор (1,0,0),

собст. число собст. вектор (1,1,0),

собст. число собст. вектор (1,1,1).

 

Задача 5. Построить уравнение прямой (на плоскости) по точке с координатами (1,2) и перпендикуляру (3,5). Ответ. .

Задача 6. Построить уравнение прямой (на плоскости) по точке с координатами (1,2) и направляющему l (3,5). Ответ. .

Задача 7. Построить уравнение плоскости, проходящей через точку А (1,2,3) перпендикулярно вектору (1,4,2). Ответ. .

Задача 8. Построить уравнение плоскости по точке и двум направляющим (4,2,3) и . Ответ. .