Практика 2. Действия над матрицами, сложение, умножение.

Задача 1. Найти произведение матриц , .

Решение. Запишем эти матрицы. Если первую разбить на строки, а вторую на столбцы, то видно, что есть всего 4 варината скалярно умножить друг на друга вектор-строку их первой на вектор-столбец из второй.

Например, если умножаем строку номер 1 на столбец номер 2, то и число, которое при этом получается, ставим в 1 строку 2 столбец новой матрицы. Итак,

= . Ответ. .

Задача 2. Даны матрицы

, , . Найти .

Решение. Так как матрица С находится справа во всех слагаемых, то для удобства можно использовать приведение подобных = - тогда умножение надо будет проводить всего один раз, а не два.

Сначала запишем .

= = .

Теперь умножим на матрицу С. Точно так же, как и в прошлом примере, мысленно обведём строку из 1-й матрицы на столбец из 2-й.

Есть 4 варианта это сделать:

= = = .

Ответ. .

Задача 3. Дана матрица найти .

Решение. Умножим матрицу саму на себя, то есть две её копии напишем рядом и умножим их.

= =

= . Ответ. .

Как видно из этого примера, для матриц, в отличие от чисел, возможно, что получается нулевой объект в ответе, притом что в исходной матрице вообще ни одного нуля не было. Это из-за особенностей её строения: правый столбец в 2 раза меньше, чем левый, а нижняя строка в минус 2 раза больше, чем верхняя. И вообще, если взять пару матриц, где у первой будет пропорциональность строк (в k раз больше) а у второй - столбцов (в минус k раз меньше) получим такой же эффект.

Домашняя задача №1.

Найти произведение матриц .

Ответом здесь тоже будет служить нулевая матрица.

 

Задача 4. Даны матрицы . Найти .

Решение. = = .

= = .

Ответ. .

 

Задача 5. Даны матрицы:

Найти .

Решение.

= = .

Теперь поставим их наоборот, но при этом произведением будет уже не матрица 2 порядка, а матрица 3 порядка: теперь у первой 3 строки, но более коротких, а у второй 3 столбца. Вариантов умножить строку на столбец будет 9.

= = .

Ответ. , .

Задача 6. Даны матрицы . Найти .

Решение.

= = .

= = .

Ответ. , .

Задача 7. Дана матрица . Найти .

Решение. Сначала умножим две, и найдём .

= = .

Теперь домножим ещё на одну матрицу А, чтобы найти .

= = .

Ответ. .

Домашняя задача № 2. Найти для этой же матрицы. Замечание. Здесь есть 2 метода решения: либо умножить , полученную в прошлой задаче, ещё раз на , либо взять , полученную на первом этапе, и её умножить саму на себя. Ответ. .

 

Задача 8. Вычислить матрицу для какой-нибудь матрицы 3-го порядка. (Операции типа понадобятся изучении следующих тем: собственные числа линейного оператора).

= =

= .

 

Задача 9. Решить уравнение для матрицы .

Решение. = .

Найдём определитель 2 порядка.

= .

Уравнение , что равно , имеет 2 корня 0 и 7.

 

Ответ. Параметр может принимать значения 0 и 7.

Замечание. Фактически, здесь мы нашли все такие числа, что если их вычесть из главной диагонали, то строки будут пропорциональны. Одно из них 0 только потому, что строки и так изначально пропорциональны, т.е. можно вычесть 0. А если вычесть 7, получим:

тоже как строки, так и столбцы пропорциональны. Никакого третьего числа, обладающего таким свойством, для матриц 2 порядка нет, так как соответствующее уравнение (в будущем будем называть его характеристическим уравнением) 2 степени, и количество корней максимум 2. А вот для матрицы 3 порядка могло быть и 3 корня.

 

Задача 10. Найти определитель .

Решение. = .

Ответ. 18.

Замечание. Если построить пару векторов в плоскости, то площадь получившегося параллелограмма будет 18.

Задача 11. Найти определитель .

Решение. Допишем копии первых двух столбцов, проведём 3 параллельных линии (главная диагональ и ещё две). Перемножим все эти тройки элементов и внесём в общую сумму с их исходным знаком. А вот для побочной диагонали и линий, ей параллельных, со сменой знака.

=

.

Ответ. .

Замечание. Модуль этой величины равен объёму параллелепипеда, построенного на 3 векторах, если в качестве векторов рассматривать строки либо столбцы.

Так, эквивалентная формулировка этой задачи может быть: найти объём параллелепипеда, одна из верших которого (0,0,0), и 3 ребра расположены по радиус-векторам (1,0,2), (2,4,5), (3,1,1). Ответ: 21.

Если надо найти объём тетраэдра, то дополнительно разделить на 6.

Найти объём тетраэдра с вершинами (0,0,0), (1,0,2), (2,4,5), (3,1,1).

Ответ: 21 / 6 = 3,5. Дело в том, что площадь основания тетраэдра в 2 раза меньше, чем для параллелепипеда, а кроме того, в формуле объёма таких фигур, как пирамида, конус, тетраэдр есть коэффициент 1/3, итого в 6 раз меньше, чем для параллелепипеда.

 

Задача 12. Найти определитель .

Решение проводится аналогичным образом,

То, что перемножено по зелёным линиям, включим в сумму со знаком плюс, а по красным - со знаком минус.

= .

Ответ. 5.

Задача 13. Найти определитель .

Решение.

.

Ответ. .

Задача 14. Найти определитель .

Решение.

.

Ответ. 11.