Практика № 6 (23 сентября у обеих групп).

45 минут - продолжение темы «скалярное, векторное, смешанное проиведение». Повторение перед контрольной.

Задачи 1,2,3.

Векторы a,b выражены через p,r: , . , угол между ними 45 град.

Задача 1. Найти . Задача 2. Найти | [a,b] |.

Задача 3. Найти

Решение задачи 1.

= = .

Это мы раскрыли скобки, используя свойства скалярного произведения. Далее, так как то объединим их, и получим .

Это можно выразить так:

и получаем . Ответ. 29.

Решение задачи 2.

= =

Несмотря на то, что скобки мы раскрыли похожим образом, дальше будет существенное отличие, т.к. свойства векторного произведения совсем другие, чем скалярного. Так, , но . Кроме того, чтобы объединить в одно слагаемое, здесь надо сначала у одной из них сменить знак.

= =

= . Модуль векторного произведения и это площадь параллелограмма, где эти векторы являются сторонами, поэтому далее можно продолжить так:

= = = 50. Ответ. 50.

Решение задачи 3.

= = = =

= =

= = 257. Ответ. 257.

 

Задача 4. (8.19 [1]) Вычислить площадь параллелограмма, образованного векторами , если , , угол между p,q равен .

Решение. Вычислим площадь с помощью векторного произведения. = = =

= = = 92. Ответ 92.

Задача 5. Вывод формулы проекции вектора на ось .

Во-первых, .

 

(чертёж с доски)

Во-вторых, длина проекции это катет, гипотенуза треугольника, поэтому . Получается, что , то есть , откуда и следует .

 

Задача 6. (8.18 [1]) Найти проекцию вектора на ось .

Решение. = = . Ответ. 2.

 

Задача 7. Найти смешанное произведение трёх векторов:

.

Решение. Вычислим определитель:

= = . Ответ. .

Домашнее задание. Векторы a,b выражены через p,q: , . , угол между ними 60⁰.

№ 1. Найти . № 2. Найти | [a,b] |.

 

 

45 минут - контрольная работа. Темы:

1. Умножение матриц

2. Определитель (3-го порядка).

3. Обратная матрица (3-го порядка).

4. Ранг матрицы.

Практика № 7

(Подробный разбор домашних задач по скалярному и векторному произведению).

Задача 1. Векторы a,b выражены через p,q: , . , угол между ними 60⁰. Найти .

Решение. = = = =

= =

= 1227.

Ответ. 1227.

 

Задача 2. Векторы a,b выражены через p,q: , . , угол между ними 60⁰. Найти | [a,b] |.

Решение. | [a,b] | = =

= =

= = = .

Ответ. .

 

Системы линейных алгебраических уравнений.

Сначала решим задачи с помощью матричного метода и с помощью метода Крамера.

Задача 3. Решить систему линейных уравнений:

Решение.

А. Матричным методом.

Запишем систему в виде: .

Домножим на обратную матрицу слева обе части равенства, для этого сначала найдём обратную матрицу.

 

Выполним действия, необходимые для поиска обратной матрицы

Умножим .

= = = .

Итак, получили .

Б. Методом Крамера.

= = .

Ответ. .

Задача 4. Решить систему линейных уравнений:

Решение.

А. Матричным методом.

Запишем систему в виде: .

Найдём обратную матрицу для А.

.

= = = .

Б. Методом Крамера.

= = .

Ответ. .

Метод Гаусса.

Задача 5. Решить систему уравнений

Решение.

Построим расширенную матрицу системы и преобразуем её.

чтобы обнулились коэффициенты ниже левого верхнего угла, то есть чтобы исчезла переменная из всех уравнений кроме первого, надо:

а) из 2-й строки вычесть 1-ю;

б) из 3-й строки вычест удвоенную 1-ю.

=

Теперь, чтобы обнулить ниже чем , нужно к 3-й строке просто прибавить 2-ю, так как знаки там противоположны. При этом структуру из нулей, которые уже получились слева, мы на последующем шаге всё равно никак не испортим, ведь там к 0 будет прибавляться 0 либо вычитаться 0, то есть ступенчатая структура там уже всё равно будет сохраняться.

=

Когда в основной матрице уже получена треугольная структура, снова перепишем в виде системы

В первом уравнении 3 неизвестных, а в каждом следующем всё меньше и меньше, а в последнем вообще только одна неизвестная. Именно этой цели мы и хотели добиться, приводя к треугольному виду: из последнего уравнения можно теперь сразу выразить . Затем с этой информацией мы поднимаемся в предпоследнее уравнение, где две неизвестных, впрочем, одна из них уже известна.

.

А теперь уже две последних неизвестных стали известны, и с этой информацией поднимаемся в 1-е уравнение, подставляя туда и . Итак, .

Ответ. =2, =1, =1.

Можно ответ записать и в виде вектора: .

 

Задача 6. Решить систему уравнений

Решение. Во-первых, можно всё 2-е уравнение сократить на 2, так удобнее для решения, числа будут меньше. Затем обнуляем ниже углового элемента: вычитаем из 2-го уравнения удвоенное 1-е, а также 3-го 1-е.

=

треугольная структура уже получилась.

Перепишем снова в виде системы:

из 3-го уравнения , подставляем во 2-е, там получается .

А из 1-го .

Ответ. , , .

Задача 7. Решить систему уравнений

Решение.

При построении расширенной матрицы, сразу же домножим 2-е и 3-е уравнения на такие коэффициенты, чтобы в начале строки были числа, кратные угловому элементу. А именно, 2-ю строку на 2, а 3-ю строку на 4. Так надо, чтобы потом в методе Гаусса можно было не домножать на дробные коэффициенты при вычитании строк.

Теперь вычтем из 2-й строки 1-ю, домноженную на 3,

а из 3-й строки 1-ю, домноженную на 5.

=

Если теперь поменять местами 2 и 3 строки, получится:

система:

И хотя матрица не выглядит как матрица треугольного вида, тем не менее, основная идея метода Гаусса уже реализована: чем ниже, тем меньше переменных, а в последнем уравнении всего одна, а именно . Здесь тоже можно последовательно выразить все переменные, просто начинаем не с последней, а в другом порядке. К треугольному виду в этом случае можно до конца и не приводить.

Итак, из третьего: , то есть .

Подставляем во второе уравнение. , т.е. , .

Из первого: , откуда , .

Ответ. , , .

 

Координаты в новом базисе.

Любой вектор можно выразить не только как комбинацию базисных векторов, расположенных на осях, например (1,0) и (0,1), но и как комбинацию какой-то другой линейно-независимой системы.

Так, , в ведь то же время и .

В декартовом базисе координаты (3,2) (пройти 3 шага вправо и 2 вверх), а в новом базисе, состоящем из векторов (1,1) и (1,0) координаты (2,1) (пройти 2 шага по диагонали и 1 шаг вправо).

Найти новые координаты можно так. Запишем их сначала как неизвестные в векторном равенстве:

а это очевидно, преобразуется к системе: . Ответ: координаты (2,1).

Матрица, где векторы нового базиса записаны по столбцам, а именно для этого примера, называется матрицей перехода от старого к новому базису, обозначается . Именно она и есть основная матрица системы, которую надо решить. Правая часть это старые координаты. Верно равенство , т.е. новые координаты можно найти и так: умножив обратную матрицу на старые координаты. Впрочем, это то же самое, что решить систему с квадратной матрицей матричным методом.

Задача 8. Найти новые координаты вектора (3,2).

Решение.

Векторное равенство для этой ситуации: ,

получается система .

Вычитая из 1-го уравнения 2-е, сразу видим , а тогда и .

Ответ. Координаты в новом базисе равны (1,1).

 

Задача 9. Найти новые координаты вектора (5,4).

Решение.

Векторное равенство: , система .

Видно из 2-го уравнения, что , тогда .

Ответ. Координаты в новом базисе (4,1).

Задача 10. Дан базис в пространстве: .

Найти новые координаты вектора (0,3,4).

Решение.

система:

=

= .

Система: . Из 3-го уравнения .

Тогда из 2-го: , т.е. .

Из 1-го уравнения: , то есть .

Ответ. Координаты в новом базисе .

 

Практика № 8

Неопределённые системы ().

Задача 1. Решить неоднородную систему

Решение. Построим расширенную матрицу и преобразуем её.

=

Это равносильно такой системе уравнений

Базисный минор в первых двух столбцах, 3-й столбец соответствует свободной переменной , её надо перенести вправо.

теперь надо выразить через .

фактически и так уже почти выражено, во 2-м уравнении.

. Подставим теперь эту информацию в 1-е уравнение.

, откуда .

Вот эти два выражения ,

как раз и составляют общее решение системы. Задавая любое значение , можно вычислить , и получится конкретная тройка чисел, то есть частное решение.

Общее решение можно записать также в виде такого вектора: .

Частные решения, например:

частное решение .

частное решение .

Ответ. Общее решение .

Задача 2. Решить неоднородную систему

Решение. Запишем расширенную матрицу системы, впрочем, сразу при этом удобно будет поменять местами 1-ю и 3-ю строки, чтобы угловой элемент содержал именно число 1.

обнулим всё ниже углового элемента, для этого:

из 2-й строки вычтем 1-ю, из 3-й удвоенную 1-ю, из 4-й 1-ю, домноженную на 4.

теперь можно поменять местами 2 и 3 строки, а также домножить на три последних уравнения (там почти везде были знаки минус)

затем из 4-й строки вычитаем 2-ю, чтобы продолжить стандартную процедуру метода Гаусса, потом видим что 3-я и 4-я стали одинаковы, тогда из 4-й вычитаем 3-ю. Получается, что 4-е уравнение 0 = 0.

Итак, осталось 3 уравнения, базисный минор легко заметить в первых трёх столбцах (там треугольная структура матрицы, и этот определитель явно отличен от 0). 4-й столбец не входит в базисный минор, то есть 4-я переменная свободная, т.е. когда будем записывать систему, переносим её через знак равенства во всех уравнениях.

Из последнего уравнения , подставляя это выражение во 2-е уравнение, выразим . = ,

. Далее из 1-го уравнения:

= ,

. Итак, общее решение:

, , .

Можно записать в виде вектора: .

Если задать, например, получим частное решение: .

Ответ. Общее решение: .

 

Задача 3. Решить неоднородную систему

Решение. Запишем расширенную матрицу, вычтем из 2-й строки 1-ю.

Здесь всего две строки, так что метод Гаусса проводится достаточно коротко.

Видим, что базисный минор можно выбрать в первых двух столбцах. Получается, что 3-я переменная свободная. Перепишем снова в виде системы, а не матрицы.

переносим вправо:

Выражаем , а затем поднимаемся в 1-е уравнение и ,через константы и . Впрочем, фактически и так уже выражено:

. Подставим это выражение в 1-е уравнение

, тогда

общее решение симстемы:

Также записывается в виде вектора: .

Задавая какое-либо значение , всякий раз можем вычислить остальные переменные, и получить тройку чисел. Частные решения: (1,1,0) или (2,-1,1) или (3,-3,2)... их бесконечно много.

Ответ. Общее решение .

 

Однородные системы.

Задача 4. Решить однородную систему:

Решение.

Видим, что отличие от предыдущей задачи в том, что справа нулевые константы. Если преобразовывать расширенную матрицу, то получим:

Видим, что справа всё равно как был, так и остаётся столбец из нулей, так что в будущем для однородных систем можно использовать только основную матрицу, ведь расширенная не несёт никакой новой информации, всё равно там справа нулевой столбец, и он не меняется при преобразованиях строк.

Итак, получили систему базисный минор можно заметить в первых двух столбцах, так что свободная переменная, переносим её вправо: . Теперь последовательно выражаем через свободную переменную две базисные переменные.

Из 2-го: , а подставляя в 1-е, получим

, т.е. .

Общее решение системы: .

Также записывается в виде вектора: .

Отличие от прошлой задачи в том, что на всех местах, где там были константы, здесь 0. Все переменные преобразовывались точно так же.

Частные решения здесь отличаются тем, что задавая в k раз больше, мы и все остальные получим тоже в k раз больше:

, , , и так далее.

То есть все тройки чисел будут пропорциональны какой-то одной.

Если для неоднородной системы представить эти тройки чисел как точки в пространстве, то там они образовывали прямую,не проходящую через начало координат, а для однородной системы - проходящую через начало координат. Поэтому разумно выбрать для этой прямой всего 1 вектор, который задаёт её. Это как раз и есть ФСР (фундаментальная система решений). ФСР .

Ответ. Общее решение , ФСР .

Задача 5. Решить однородную систему .

Решение. Можно записать основную матрицу и там вычесть 1-ю строку из 2-й, впрочем, можно для небольшой системы сделать это и сразу в системе, вычесть 1-е уравнение из 2-го. Получится:

Ранг равен 2, а неизвестных 3, 3-я неизвестная свободная, переносим вправо. Тогда:

Из 2-го уравнения , тогда , а значит .

Общее решение: , . В виде вектора: .

Присвоим , получим остальные неизвестные.

ФСР состоит всего из одного вектора: . Все остальные решения пропорциональны этому.

Если бы, например, присвоили , получили бы . Это потому, что всего одна свободная переменная.

Ответ. Общее решение: , ФСР .

Задача 6. Решить однородную систему

Решение. Запишем основную матрицу, преобразуем её.

снова представим в виде системы:

базисный минор порядка 2, можно обвести в левом углу, поэтому 3-я и 4-я переменная - свободные. Здесь их уже две, так как , поэтому . Перенесём их через знак равенства.

здесь уже выражено: , подставим это в первое уравнение, чтобы выразить и .

, .

Общее решение: , .

В виде вектора: .

Если поочерёдно присвоить значение 1 каждой из свободных переменных (а другая в это время 0) то получим гарантированно 2 линейно-независимых вектора, они не пропорциональны, так как число 1 в них на разных местах.

, получим

, получим .

Эти 2 вектора { , } и есть ФСР. Это частных решений, из которых можно составить любые другие частные решения. Любые их линейные комбинации будут частными решениями однородной системы.

Ответ. Общее решение: .

ФСР это множество из 2 векторов: { , }.

Задача 7. Решить однородную систему, найти ФСР.

Решение. Запишем основную матрицу системы и преобразуем её методом Гаусса.

Ранг матрицы равен 2, базисные столбцы 1-й и 2-й. Несмотря на то, что сначала могло показаться, что здесь будет одна свободная переменная (4 переменных и 3 уравнения), на самом деле здесь будет две свободных переменных, ведь 3-е уравнение оказалось линейной комбинацией первых двух. .

Снова возвращаемся от матрицы к системе уравнений.

перенесём свободные неизвестные вправо:

из 2 уравнения , подставим это в 1-е,

будет , то есть .

Общее решение: , .

В виде вектора:

Построим ФСР из 2 векторов.

, получим

, получим .

Так как здесь есть дроби, то для того, чтобы векторы в ФСР содержали только целые координаты, можно задавать не только 1, но и другое число, главное только чтобы в 3 и 4 координатах помещался невырожденный минор. Если мы задаём поочерёдно каждой свободной переменной какое-то число (не обязательно 1) а остальным 0, то линейная независимость этой системы векторов всё равно заведомо обеспечена.

Ответ. Общее решение: , .

ФСР из 2 векторов: .

Задача 8. Решить однородную систему, найти ФСР.

Решение. Преобразуем методом Гаусса основную матрицу системы.

Треугольная структура продолжилась до самой последней строки, и не проявилась строка из нулей, то есть ранг равен 3. Здесь всего одна свободная переменная. Развернём обратно эту матрицу, т.е. запишем в виде системы, а затем перенесём свободные переменные вправо.

Из последнего, , это подставим во 2-е и получим .

Затем это всё в 1-е уравнение, получим .

ФСР: один вектор .

Ответ. Общее решение: . ФСР:

 

Задача 9. Решить однородную систему, найти ФСР.

Решение. Преобразуем методом Гаусса основную матрицу системы.