Философия и математика пифагорейцев.

Пифагор (ок. 570 - 500 гг. до Р. Х.) основал философскую школу, которая в то же время была своеобразным монашеским орденом, религиозно-философским союзом, в центре деятельности которого стояли две взаимосвязанные проблемы: очищение души (приобщение к божественному) и осмысление числа (постижение устройства Космоса или мировой гармонии). Исходя, видимо, из открытия музыкальной гармонии, т. е. из того, что гармоническое созвучие получается при отношениях длин колеблющихся струн, выражающихся в точности отношениями целых чисел: 1:2 (октава), 2:3 (квинта), 3:4 (кварта) и т.д., пифагорейцы пришли к общей мысли, что сущность каждой вещи и Космоса в целом раскрывается числом и отношением чисел (гармонией). Числа создают порядок космоса тем, что ограничивают и тем самым определяют неопределенное (апейрон). Материя – принцип множественности, число – принцип единства. В этом смысле все вещи «состоят из чисел», так как «сущность» вещей - это их строение, их строй, структура, т.е. воплотившаяся в бесформенной самой по себе материи «гармония», или форма. Таким образом и у пифагорейцев единство в многообразии связывается уже не с материей, а с нематериальным принципом, рассматривается как «идеальное» (хотя этого термина у них ещё нет). «Единица» при этом стоит выше всех чисел как порождающее их «первоначало», так как все числа получаются последовательным присоединением единицы к себе самой.

Зачатки философского идеализма появляются у пифагорейцев не случайно. Дело в том, что они впервые в истории создали чистую математику, а именно – математику не как искусство вычислений и решения ряда конкретных практических задач по определению площади или объёма, но как науку о числах (арифметику), а также о точках, линиях и фигурах (геометрию). Математика для пифагорейцев – это «феория», созерцание сущности Космоса, созерцание вечного и божественного. Они создали также своеобразную математическую физику, концепцию Космоса, согласно которой все небесные светила движутся строго по окружности вокруг неподвижного центра на расстояниях, находящихся в гармонических числовых отношениях. «Космос», собственно, и есть числовая гармония, которую чувства воспринимают воплощённой в материи, а разум способен мыслить в чистом виде, как идеальную числовую структуру. Благодаря трению при движении небесные тела издают звук, высота которого пропорциональна расстоянию от центра мира, вследствие чего в Космосе вечно звучит космическая музыка («хор светил»). Понятие «гармонии» определяет и этику пифагорейцев, вплоть до того, что различные добродетели человека отождествляются ими с определенными числами. Исследования в области математики и теории музыкальной гармонии погружены у пифагорейцев в религиозно-мистический контекст, они подчинены главной цели, определяемой их учением о перевоплощении души - очищению и освобождению души от всего телесного, чувственного, преходящего, изменчивого и слиянию души с божественным – вечным, бестелесным, неизменным. Именно в числах и их отношениях пифагорейцы усматривали эти свойства истинного и божественного бытия. Познавая вечные, неизменные и бестелесные числа, душа постепенно освобождается от чувственного и телесного, привыкает к умозрительному созерцанию бестелесного и становится подобной этим числам, т.е. также вечной и неизменной. Поэтому лучший способ «богослужения» и богопознания и достижения бессмертия – это занятия математикой, научное познание, познание вечной гармонии Космоса.

Пифагореизм сыграл огромную роль во всей последующей истории науки, философии, да и культуры вообще. Об актуальности и своеобразном бессмертии пифагореизма говорил в XX в. один из классиков точной науки о природе В.Гейзенберг. По его мнению, современная наука снова «повернула» от Демокрита к Платону (к Демокриту же она повернула в XVII в.). Говоря о Платоне, Гейзенберг, однако, скорее имеет в виду пифагорейцев (Платон также был в известной степени пифагорейцем). В самом деле, возьмём любую вещь и спросим, что даёт ей бытие? Согласно физике – те частицы, из которых она состоит. Начнём делить эту вещь на части, проведём деление «до конца» и спросим, что же находится в самой глубине вещи, из чего же она состоит в конечном счёте? До XX в. физика отвечала на этот вопрос «по Демокриту» – «из неделимых далее твёрдых частиц вещества». Однако современная физика, согласно Гейзенбергу, думает уже иначе. Она говорит, правда, об «элементарных частицах», но что такое элементарная частица в современной физике? В ней не осталось ровно ничего от наглядно-вещественного атома Демокрита. Элементарная частица – это «группа симметрии», иначе говоря, чисто математический, идеальный объект, идеальная структура.

Несомненно, что популярность и сила пифагореизма объясняются тайной математики и её значением в жизни людей. Поэтому необходимо поглубже вдуматься в его сущность.

Несомненно, далее, что пифагореизм можно понять и объяснить как первую философскую интерпретацию чистой математики. В самом деле, разработав общее понятие числа, и науку о числах «самих по себе», пифагорейцы не могли не задуматься над тем, что такое «число», где и как существуют числа и в каком отношении они находятся к чувственно воспринимаемым материальным предметам? Это – начальные вопросы философии математики. Ведь самого небольшого размышления достаточно для того, чтобы понять, что число не существует так, как существуют вещи. У них – особенный «способ существования». Число «два» не следует отождествлять с двумя деревьями, двумя камнями, двумя людьми и т.д., т.е. с предметами, которые мы считаем при помощи чисел. Число два не следует отождествлять и с цифрой 2, при помощи которой мы это число обозначаем или записываем. Цифра – это лишь видимый знак невидимого самого по себе числа. Предметы я вижу и могу сказать, что их «два», но само число два я не вижу – это не тело, хотя в то же время это – нечто существующее, некоторая «сущность», отличная от «единицы» или «тройки». Я не могу сказать поэтому, что число «находится в уме», что это лишь «моё понятие». Ведь то же самое число может мыслить и любой другой человек. Два плюс два равно четыре совершенно независимо от меня и от кого бы то ни было. Существует множество отношений между числами, которые ещё никто не открыл – но они существуют – их не «придумывают» произвольно, а именно открывают, как открывают новые виды жуков в природе. Ряд положительных целых чисел бесконечен – я это знаю совершенно точно, но ни я, ни кто-либо другой не в состоянии мыслить все числа, которые содержит в себе этот бесконечный ряд. Так где же он существует, если его нет ни в природе, ни в конечном человеческом уме? Может быть, понятие бесконечного ряда натуральных чисел доказывает, что существует некоторый бесконечный ум, «божественный», в котором этот ряд и находится? Или наряду с миром тел и миром психики или сознания есть ещё некоторый третий мир – мир идеальных сущностей? И в каком смысле числовой ряд вообще существует? Заметим, что и в современной математике проблема «существования» её объектов весьма спорна.

Пифагорейцы, однако, впервые осознали проблему, но ещё не выработали теории особого, идеального бытия (это сделал Платон). Они дают первое и простейшее решение вопроса, попросту отождествляя вещи и числа. Аристотель пишет по этому поводу следующее: «… так называемые пифагорейцы, впервые занявшись математическими науками, двинули их впрёд, и поскольку они были воспитаны на них, то сочли их начала началами всех вещей. А так как первые по природе [начала] этих наук – числа, в числах же, как им казалось, наблюдается много подобий с сущими [вещами] и процессами, … дескать, такое-то свойство чисел есть справедливость, такое-то – душа и ум, другое – удобный момент, … поскольку, как им казалось, все остальные вещи уподобляются числам по всей совокупности своих характерных свойств и числа первичны по отношению ко всей природе, то они стали полагать, что элементы чисел есть элементы всех вещей и что вся Вселенная – гармония и число». Таким образом, пифагорейцы находили некоторые сходства или подобия между числами и их отношениями с одной стороны и вещами и их отношениями – с другой. Они сделали, очевидно, общий вывод о том, что всякое число и всякая пропорция имеют некоторый эквивалент в мире, в котором они как бы материализуются или воплощаются. Познать вещь, т.е. найти её сущность – это и значит найти воплощённую в ней гармонию, её идеальную структуру. Можно, конечно, найти эти числовые гармонические соотношения эмпирически, в самих вещах, и таким образом познать сущность этих вещей a posteriori. Но ведь вещи приходят и уходят, а числа неизменны, и одни и те же числовые структуры воплощаются во всё новых и новых вещах. Поэтому можно сущность Вселенной и всех вещей узнать и a priori. Познать вещи можно лишь при помощи чисел, но числа можно познать и сами по себе, в чистом виде. Поэтому арифметика и геометрия дают универсальный ключ к познанию тайн мира и человеческой жизни. Они описывают само «божественное», вездесущее и всем управляющее. Оперируя числами, мы познаём скрытую в вещах вечную сущность Вселенной. Нужно лишь осуществить первоначальную «привязку» чисел к действительности.

Делалось это следующим образом. Отличительное свойство справедливости, например, - равенство, или эквивалентность. Поэтому можно считать, что справедливость – это первое «квадратное» (стороны квадрата равны) число. Одни считали справедливостью четыре (первое чётное квадратное), другие – девять (первое квадратное нечётное). «Подходящий момент» - это семь, так как в жизни человека важные, самой природой выделенные моменты происходям по седьмицам: младенец родится в семь месяцев, зубы появляются через семь месяцев после рождения, половая зрелость наступает через две седьмицы, а борода вырастает через три. Так как число 7 не «рождается» ни одним из чисел от 1 до 10 и само не «рождает» ни одного из них, то семь – это Афина (появившаяся прямо из головы Зевса, т.е лишённая матери, и девственница). Женщина – это двоица (видимо, потому, что как бы раздваивается при родах и начало множественности), а мужчина – три. Поэтому брак – это пять, так как брак – соединение мужчины и женщины, а 2+3=5. Ум – это единица, так как он постоянен, тождествен себе и «начальствен» (всему голова), а потому «начинателен», а единица – начало всех чисел. Мнение – двойка, так как мнения разделяются, а первое разделение – надвое. И т.д. Установив подобную первоначальную корреляцию, можно далее, оперируя одними числами, разгадать все тайны мироздания и судьбы.

Детальное руководство по пифагорейской мистике чисел (нумерологии) можно найти в «Арифметическом богословии» Ямвлиха (300 г. н.э.) или во «Введении в арифметику» Никомаха (I в. н.э.). С собственно научным, математическим содержанием пифагореизма можно познакомиться по некоторым книгам «Начал» Евклида (VII, VIII, IX книги). В первых двух руководствах – сплошные «тайны» и никаких доказательств. В «Началах» – одни доказательства и никаких тайн.

Чистая математика пифагорейцев начинается с интереса к числам самим по себе и к их отношениям. Арифметика – это упорядочивание чисел, которое начинается с их разделения на чётные и нечётные и исследования их отношений. Наибольшее внимание уделяется, разумется, первым числам натурального ряда. Особо выделяются единица (монада), как «начало» всех чисел (то, что все их «порождает), четвёрке и десятке. Десяти придавалось особое значение потому, что известные грекам культурные народы считали с основанием в десять: счёт доводится до десяти, а потом начинается сначала, в следующем порядке. Таким образом, десятка – как бы окружность, возвращающаяся в себя, т.е. символ совершенства, завершённости – «совершенное число». Четвёрка – потому, что сумма первых четырёх чисел 1+2+3+4 даёт десять. Согласно преданию, Пифагор первым догадался натянуть музыкальную струну на линейку, на которую нанёс двенадцать делений, благодаря чему открыл числа, соотвествующие музыкальной гармонии. Октаве, квинте и кварте соответствуют числа 6, 8, 9 – этим числам придаётся особое значение у всех пифагорейских писателей.

Далее числам ставятся в соответствие геометрические фигуры. Точка рассматривается как единица, помещённая в пространстве. Пространство, как полагали пифагорейцы, состоит из точек-единиц. Числа также можно изобразить точками, расположенными рядом друг с другом в определённом порядке (правильном, совершенном). В зависимости от количества и расположения точек мы получим числа треугольные, квадратные, прямоугольные, пятиугольные и т.д. Скажем, десять – «совершенный треугольник». Таким образом, далее, можно числам поставить в соответствие правильные многоугольники, а из последних – составить правильные многогранники. Уже Пифагор, видимо, знал куб, тетраэдр, додекаэдр и пытался изучать их свойства. В частности, диагонали додекаэдра (составленного из правильных пятиугольников) образуют пентаграмму – пятиугольную «звезду», символ здоровья у пифагорейцев. Из многогранников, далее, можно составлять уже любые вещества и тела, составляющие Космос. Таким образом, везде и всюду, от мельчайших частиц вещества до Космоса в целом, царит один и тот же вечный порядок, одна и та же «музыкальная» гармония, одна и та же иерархия идеальных числовых пропорций.

Такова была пифагорейская программа познания или математического конструирования Космоса. Её достижения и ей красота были омрачены, однако первым в истории кризисом математики, вызванным открытием иррациональности. Оказалось, что длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами, равными единице, не может быть выражена никаким числом, ей не соответствует никакое отношение чисел (дробь).