Связь эмпирических и числовых систем.

При экспертном оценивании предметной области важным является возможность для эмпирической системы с отношениями построения числовой системы с отношениями, описывающими влияние объектов и отношения между ними с помощью чисел.

Для того, чтобы числовая система сохраняла свойства и отношения объектов, необходимо, чтобы она была изоморфной эмпирической системе. Для пояснения этого понятия определим понятие подобности двух систем. Две системы с отношениями

M = (O; R₁, R₂,..., R_k ),

H = (N; S₁, S₂,..., S_m )

называются подобными, если:

· число отношения (заданных на множестве объектов и действительных чисел) одинаково, то есть k = m;

· местность отношений одинакова (например Ri и Si двуместные отношения).

Определив понятие подобности, мы можем теперь дать определение изоморфности двух систем (числовой и эмпирической). Числовая система с отношениями

H = (N; S₁, S₂,..., S_m )

изоморфна эмпирической системе

M = (O; R₁, R₂,..., R_k ),

если:

1) эти системы подобны;

2) и существует взаимно однозначное отображение (функция) f объектов на числовое множество такое, что отношение R_k между объектами имеет место тогда и только тогда, когда имеет место отношение S_m между числами, отображающими объекты на числовой оси.

Например, для случая двуместных отношений O_i R_k O_j это будет иметь место тогда и только тогда, когда имеет место r_i S_k r_j, где r_i и r_j получены отображением объектов r_i=f(O_i) и r_j=f(O_j).

Проблема единственности определяет: сколькими способами можно описать данную эмпирическую систему различными изоморфными числовыми системами, и как эти числовые системы связаны между собой. Эта проблема формулируется, как проблема определения типа шкалы. Шкалой называется совокупность:

· эмпирической системы;

· числовой системы;

· и отображения, то есть < M, H, f >.

Пусть < M, H, f > и < M, H, g > две шкалы с разными отображениями, тогда возникает вопрос о взаимосвязи числовых значений, полученных этими отображениями. Например r _i= f(O_i ), r_i^' = g(O_i ). Связь между числами r_i и r_i^' запишем с помощью функции j: r _i = j (r_i^' ) или f (O_i ) = j [ g (O_i ) ].

Функция j называется допустимым преобразованием шкалы. Единственность описания эмпирической системы числовыми системами выражается в свойствах допустимого преобразования шкалы, то есть в свойствах функции j.

Методы измерения степени влияния объектов.

К наиболее часто используемым при экспертном оценивании методам относятся: ранжирование, парное сравнение, непосредственная оценка. При описании каждого из перечисленных методов будем полагать, что имеется конечное число измеряемых объектов и сформулирован один или несколько признаков сравнения, по которым изучается степень влияния объектов на результат.

Следовательно, методы измерения будут различаться лишь процедурой сравнения объектов. Эта процедура включает:

· построение отношений между объектами эмпирической системы;

· выбор функции f, отображающей объекты эмпирической системы на числовую систему;

· определение шкалы измерений.

Рассмотрим подробно все эти вопросы, возникающие при использовании каждого из методов измерений.

Метод ранжирования.

Ранжирование – это процедура упорядочения объектов по степени их влияния на результат, выполняется экспертом в процессе выявления его знаний. На основе своих знаний и опыта эксперт располагает объекты в порядке предпочтения, руководствуясь одним или несколькими показателями сравнения. В зависимости от вида отношений между объектами возможны различные варианты упорядочения объектов.

Пусть среди объектов нет эквивалентных по степени влияния на результат. В этом случае между объектами существует отношение строгого порядка, обладающее свойствами:

· несимметричности (если O_i O_j, то O_i O_j);

· транзитивности (если O_i O_j, O_j O_k, то O_i O_k);

· и связности (для любых двух объектов, либо O_i O_j, либо O_j O_i).

В результате сравнения всех объектов по отношению строгого порядка эксперт составляет упорядоченную последовательность:

O₁ O₂ ... O_n, (1)

где объект с номером один является наиболее предпочтительным из всех объектов, объект со номером два менее предпочтителен чем первый, но предпочтительнее всех остальных и т.д.

Полученная система с отношением порядка < O, > образует серию. Для серии доказано существование числовой системы:

· элементами которой являются числа;

· а отношение порядка есть отношение "больше чем", "предпочтительнее чем".

Это означает, что существует числовое представление f(O_i), такое, что последовательности (1) соответствует последовательность чисел

f(O₁) > f(O₂) >... > f(O_n).

В практике экспертного ранжирования чаще всего используется последовательность натуральных чисел

r₁=f(O₁)=1; r₂=f(O₂)=2;...; r_n=f(O_n)=n.

Числа r₁, r₂,..., r_n называются рангами. Наиболее предпочтительному присваивается ранг 1, второму – ранг 2 и т.д. На практике, среди объектов могут быть и эквивалентные по степени их влияния на результат. Например, упорядочение может иметь вид

O₁ O₂ O₃ ~ O₄ ~ O₅ ... O_n-1 ~ O_n (2)

В этой последовательности объекты O₃, O₄ и O₅ эквивалентны между собой, а O_n-1 и O_n – между собой. Для эквивалентных объектов принято назначать одинаковые ранги, равные среднему арифметическому значению рангов, приписываемых одинаковым объектам. Такие ранги получили название связанных рангов. Для примера упорядочение (2) в случае n=10 ранги объектов O₃, O₄ и O₅ будут одинаковыми и равными:

r₃ = r₄ = r₅ = (3+4+5)/3 = 4

r₉ = r₁₀ = (9+10)/2 = 9,5

Как видно из примера связанные ранги могут быть дробными. Удобство использования связанных рангов заключается в том, что сумма рангов n-объектов равна сумме натуральных чисел от 1 до n. При этом любые комбинации связанных рангов не изменяют эту сумму. Это обстоятельство существенно упрощает обработку результатов ранжирования при групповой экспертной оценке.

Метод парных сравнений.

Парное сравнение представляет собой процедуру установления предпочтения объектов при сравнении всех возможных пар. В отличие от ранжирования, при котором осуществляется упорядочение всех объектов сразу, парное сравнение представляет для экспертов более простую задачу. При сравнении каждой пары объектов возможны отношения либо порядка, либо эквивалентности. Парное сравнение есть измерение в шкале порядка.

В результате сравнения каждой пары объектов O_i и O_j эксперт должен упорядочить эту пару, высказывая, что:

либо O_i O_j, либо O_j O_i, либо O_i ~ O_j.

Переход от эмпирической системы к числовой системе с отношениями осуществляется выбором такой функции f, что:

если O_i O_j, то f(O_i) > f(O_j),

если O_j O_i, то f(O_i) < f(O_j).

Наконец, если объекты эквивалентны, то естественно предположение, что f(O_i)=f(O_j). Наиболее часто в практике экспертного оценивания используют следующие числовые представления:

 

Эмпирическая	Представление 1	Представление 2	Представление 3
система	f(Oi)	f(Oj)	f(Oi)	f(Oj)	f(Oi)	f(Oj)
Oi Oj				-1
Oi ~ Oj					0,5	0,5

Результаты сравнения экспертом всех пар объектов удобно представить в виде таблицы, столбцы и строки которой составляют объекты, а в ячейках таблицы проставляются числовые значения.

Пример: В качестве примера рассмотрим табличное отображение результатов проведенного парного сравнения пяти объектов при использовании числового представления 1.

Oj Oi	O1	O2	O3	O4	O5
O1
O2
O3
O4
O5

Из этой таблицы следует, что объект O₁ предпочтительнее объектов O₂, O₃, O₅ и эквивалентен O₄. Объект O₂ предпочтительнее O₃, эквивалентен O₄ и менее предпочтителен, чем O₁ и O₅. Сравнение объектов во всех возможных парах не дает полного упорядочения всех объектов. Поэтому возникает задача о ранжировке объектов на основе парного сравнения.