Определение обобщенных ранжировок.

При групповой экспертной оценке каждому i -ому объекту каждый из j -ых экспертов присваивает r_ij. В результате проведения экспертного оценивания получается матрица рангов || r_ij || размерности n x m, где n – число объектов ( ), а m – число экспертов ( ).

Самый простейший способ получения обобщенной ранжировки заключается в ранжировании объектов по величине сумм рангов, полученных каждым объектов от всех экспертов. В этом случае для матрицы ранжировок || r_ij || вычисляются суммы:

.

Далее объекты упорядочиваются по цепочке неравенств r_k < r_l <...<r_q, где , ,..., . Отсюда следует обобщенная ранжировка объектов

O _k O _l ... O _q.

Для учета компетентности экспертов достаточно умножить i -ю ранжировку на коэффициенты компетентности j -го эксперта 0 £ k _j £ 1. В этом случае вычисление суммы рангов для i -ого объекта производится по формуле

,

что позволяет упорядочить объекты по цепочке неравенств. Следует отметить, что построение таких обобщенных ранжировок является корректной процедурой только в том случае, если ранги назначаются как места объектов в виде натуральных чисел 1,2,...,n.

Однако ранги объектов определяют только порядок расположение объектов по показателям сравнения. Ранги как числа не дают возможность сделать вывод о том, на сколько или во сколько раз предпочтительнее один объект по сравнению с другим. Если ранг 3, то отсюда не следует делать вывод о том, что объект, с рангом 1, в три раза предпочтительнее, чем объект, имеющий ранг, равный трем.

Вместе с тем для использования в ЭС знаний, полученных от экспертов, необходимо не только упорядочение или ранжирование объектов по степени их влияния или воздействия на какой-либо результат, но и определение количественной оценки степени влияния каждого из объектов на результат.

Простейшим методом для реализации этой задачи является подход, основанный на построении обобщенной ранжировки путем перехода от матрицы ранжировок к матрице парных сравнений. Для этого на основе матрицы || r_ij || строится m матриц парных сравнений R_j (j =1,2,..., m), где m – число экспертов. Элементы этих матриц определяются следующим образом:

, если O i^j O k^j, то есть rij < rkj , если O i^j ~ O k^j, то есть rij = rkj , если O i^j O k^j, то есть rij > rkj

где j – номер эксперта, i и k – номера сравниваемых объектов.

Затем к полученным матрицам парных сравнений всех экспертов применяется рассмотренный ранее метод обработки парных сравнений. Его итерационная процедура позволяет получить коэффициенты относительной важности объектов по степени их влияния на результат. Проиллюстрируем применение этого подхода на примере.

Пример. Пусть три эксперта (m =3) провели ранжировку трех объектов (n =3) по степени их влияния на какой-либо результат и таблица ранжировок имеет вид:

Объект О i	Эксперт 1	Эксперт 2	Эксперт 3
О1
О2
О3

На основе этой таблицы матрица парных сравнений для первого эксперта будет иметь вид:

Аналогичные матрицы парных сравнений для второго и третьего эксперта будут иметь вид:

;

Используя метод обработки парных сравнений получим последовательность векторов коэффициентов относительной важности объектов:

Шаг	К1	К2	К3
	1,0	1,0	1,0
	0,481	0,330	0,185
	0,489	0,346	0,156
	0,5	0,348	0,152
	0,5	0,349	0,151

Итерационная процедура с заданной точностью (Е =0,001) является сходящейся на четвертом шаге к значениям:

,

что позволяет оценить количественно степень влияния каждого объекта на результат, полученный на основе исходного ранжирования экспертов.

Практика №3

Принятие решений в задачах стратегического планирования

5.1.Постановка задачи стратегического планирования

К задачам стратегического планирования относятся сложные неформализованные многокритериальные задачи принятия решений, основанные на субъективных измерениях экспертов, которые можно представить в виде иерархической декомпозиции (цели – критерии – альтернативы и т.п.). К подобного рода задачам относятся разнообразные задачи проектного планирования и прогнозирования, разработки природоохранных мероприятий, прогнозирования развития высшего образования или, скажем, цен на нефть, выдвижения кандидатов на выборы и т.п. Для решения таких задач используются различные подходы, например, метод Дельфи, методы теории многомерной полезности и т.д. Одним из наиболее современных методов решения задач принятия решений при стратегическом планировании считается метод анализа иерархий (МАИ), который объединяет лучшие стороны традиционных методов.

МАИ принадлежит к категории математических методов и основан на следующих аксиомах: парные сравнения, обоснованная шкала сравнений и обратносимметричные отношения, однородная кластеризация иерархии, иерархическая композиция, соответствие заложенных в иерархии и ожидаемых результатов. Стратегическое планирование методом МАИ - это сравнительно новый подход, отличный от сетевого планирования. Сильная сторона МАИ - важная рель экспертных знаний, а также возможность использования МАИ для определения Парето-оптимального состояния, т.е. точки, в которой лица, принимающие решение, не могут улучшить своего состояния, не ухудшив состояния других.

Рассмотрим особенности задач стратегического планирования и технологию их решения методом МАИ на примере постановки следующей задачи планирования. Семья решила купить дом. Обсудив, определили восемь критериев, которым должен удовлетворять дом (экономические, географические и физические):

k₁ - размеры дома (метраж жилой и общей площади, число комнат);

К₂ - транспортные удобства;

К₃ - окрестности (безопасность, вид, экология);

К₄ - год постройки дома;

К₅ - двор;

К₆ - оборудованность дома (удобства, мусоропровод, сигнализация и т.п.);

К₇ - потребность в ремонте;

К₈ - стоимость и условия продажи.

Задача заключается в выборе и покупке одного из трех альтернативных домов (А, Б или В).

Метод анализа иерархий

Метод МАИ основан на иерархическом представлении задачи принятия решения и поэтапном установлении приоритетов. Простейшая иерархия состоит из трех уровней: корневой вершины (цель), промежуточных вершин (критерии) и концевых вершин (альтернативы, прогнозы, сценарии). Метод включает следующие этапы:

1. Формулирование задачи и определение цели плана;

2. Построение иерархии: цель → критерии → альтернативы;

3. Построение множества матриц парных сравнений (критериев, альтернатив и т.п.), уточнение шкалы сравнения;

4. Вычисление векторов приоритетов, индексов согласованности (ИС) и отношений согласованности (ОС). Повторение пунктов 3, 4 метода для всех уровней иерархии;

5. Иерархический синтез всей иерархии.

Отметим, что приемлемым считается значение ОС около 10%, допустимым значением - 20%. Не следует сравнивать более чем (7±2) элементов иерархии на одном уровне. При большом числе критериев лучше их сгруппировать в классы. При большом числе альтернатив не всегда нужно проводить парные сравнения между ними.

Проиллюстрируем процедуру МАИ на примере поставленной выше задачи. Иерархия задачи представлена на рис. 5.1.

 

Рис. 5.1. Дерево иерархии

 

После иерархического представления задачи возникает вопрос: как установить приоритеты критериев и оценить каждую из альтернатив, выявив самую важную из них? В МАИ это производится путем парных сравнений. В данном примере потребуется построить одну матрицу 8x8 для попарного сравнения всех восьми критериев между собой по отношению к цели и восемь матриц 3x3 для попарного сравнения трех домов по отношению к каждому из восьми критериев. Все матрицы должны обладать свойством обратной симметричности, т.е. a_ji=l/a_ji, где j –номер столбца, i - номер строки.

Какова шкала сравнений и чему равны а_ij? - В МАИ рекомендуется следующая шкала относительной важности, которая оказалась не только эффективной на практике, но и обоснована теоретически:

1 - равная важность; 3 - умеренное превосходство; 5 - существенное превосходство; 7 - значительное превосходство; 9 - очень сильное превосходство; 2,4,6,8 - промежуточные значения превосходства; 1/2, 1/3, 1/4... 1/9 обратные величины превосходства.

Заполнение матриц происходит путем опроса или экспертных оценок. При сравнении критериев по отношению к цели обычно спрашивают, какой из них более важен; при сравнении альтернатив по отношению к критерию - какая из них более желательна; при сравнении сценариев прогноза событий'- какой из сценариев более вероятен. Внесем уточнение: сравниваются i- я строка матрицы с j-м столбцом, и если строка важнее, то элемент матрицы а_ji равен целому числу от одного до девяти; в противном случае - дробному числу от 1/2 до 1/9. Диагональные элементы матрицы а_i,i =1. Симметричные элементы матрицы а_ji=1/а_ji. В случае спорных оценок можно брать среднее геометрическое значение, решающим фактором является лишь согласие участников опроса по цели.

 

Вернемся к поставленной задаче о покупке дома. Чтобы понять дальнейшие рассуждения, дадим краткое описание альтернативных домов.

дом а. Большой, с хорошими окрестностями. Двор больше, чем у домов Б и В, необходим основательный ремонт. Дорогой.

дом б. Размеры меньше, чем у дома А. Расположен вдали от остановок общественного транспорта. Не полностью оборудован, но в отличном состоянии и дешевый.

дом в. Маленький, но в хорошем состоянии, рядом парк. Двор больше, чем у дома Б, но меньше, чем у дома А. Недорогой, но и не дешевый.

 

Пусть в peзультате опроса и согласования мнений семьи была составлена матрица попарного сравнения критериев между собой по отношению к цели:

Цель	К1	К2	К3	К4	К5	К6	К7	К8
К1							1/3	1/4
К2	1/5		1/3				1/5	1/7
К3	1/3							1/5
К4	1/7	1/5	1/6		1/3	1/4	1/7	1/8
К5	1/6	1/3	1/3			1/2	1/5	1/6
К6	1/6	1/3	1/4				1/5	1/6
К7			1/6					1/2
К8

 

Далее, сравнивается, насколько хорош тот или иной дом по каждому из восьми критериев. В результате опроса и согласования мнений членов семьи были получены следующие восемь матриц:

_ К1 _|__ А ___ Б ___ В _ _ К2 _|__ А ___ Б ___ В _ _ К3 _|__ А ___ Б ___ В _

А | 1 6 8 А | 1 7 1/5 А | 1 8 6

Б | 1/6 1 4 Б | 1/7 1 4 Б | 1/8 1 1/4

В | 1/8 ¼ 1 В | 5 8 1 В | 1/6 4 1

 

_ К4 _|__ А ___ Б ___ В _ _ К5 _|__ А ___ Б ___ В _ _ К6 _|__ А ___ Б ___ В _

А | 1 1 1 А | 1 5 4 А | 1 8 6

Б | 1 1 1 Б | 1/5 1 1/3 Б | 1/8 1 1/5

В | 1 1 1 В | 1/4 3 1 В | 1/6 5 1

 

_ К7 _|__ А ___ Б ___ В _ _ К8 _|__ А ___ Б ___ В _

А | 1 1/2 1/2 А | 1 1/7 1/5

Б | 2 1 1 Б | 7 1 3

В | 2 1 1 В | 5 1/3 1

 

Возникает вопрос: что означают все эти числа и как они помогут определить тот дом, который следует купить? Из сформированных матриц парных сравнений определим векторы локальных приоритетов, которые отражают влияние элементов нижних уровней иерархии на элементы верхних уровней. Для этого необходимо вычислить собственный вектор каждой из матриц, а затем нормализовать их к единице. Это и будет вектор локальных приоритетов. Отметим, что вычисление вектора собственных значений матрицы - это алгоритмически простая, но вычислительно трудоемкая процедура. Существуют приближенные методы поиска собственных значений. Лучшим из них является метод среднего геометрического, когда вычисление собственных значений матрицы размером (n×n) заменяется вычислением среднего геометрического в каждой строке матрицы путем перемножения всех элементов строки и извлечения из произведения корня n-ой степени. Полученный таким образом вектор собственных значений нормализуется к единице путем деления каждого собственного значения на сумму всех чисел вектора собственных значений. Это позволяет определить "вес" приоритета. Другим полезным показателем является ИС. Он вычисляется следующим образом. Вначале суммируются элементы каждого столбца матрицы парных сравнений. Далее, сумма j-гo столбца умножается на j-й элемент нормализованного вектора приоритетов. Наконец, все полученные n чисел суммируются, и эта сумма равна h_max. После этого вычисляется ИС по формуле:

ИС = (h_max – n) / (n – 1)

Отметим, что для обратносимметричных матриц всегда h_max ≥ n.

Чтобы получить ОС, необходимо сравнить величину ИО с той, которая получилась бы при случайном формировании сбратносимметричной матрицы размером n х n из чисел указанной выше шкалы сравнения. Известны экспериментально полученные значения случайной согласованности в зависимости от размера обратносимметричной матрицы (табл. 5.1).

 

Таблица 5. 1

Размер матрицы (n) | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

---------------------------------------|-------------------------------------------------------------------------

Случайная согласованность | 0 0 0,58 0,9 1,12 1,24 1,32 1,41 1,45 1,49

 

Если разделить ИС на случайную согласованность матрицы того же размера, то получим ОС. Отметим, что для матриц с n=7,8,9… зачастую затруднительно достигнуть высокого уровня согласованности даже после пересмотра соответствующих матриц. Хотя, например, при сравнении воздействия новых лекарств на организм необходимо стремиться к очень высокому уровню согласованности мнений экспертов.

После этого переходим к заключительному этапу МАИ - иерархическому синтезу приоритетов, начиная с верхних уровней в направлении к нижним уровням. Для этого необходимо сформировать вектор глобального приоритета. Элементы этого вектора получают путем умножения локальных приоритетов низшего уровня на приоритет критерия стоящего выше уровня с последующим суммированием полученных произведений по всем критериям. В результате получаем значение глобального приоритета по каждой из альтернатив.

Для иллюстрации сказанного выше вернемся к контрольному примеру. Вектор локальных приоритетов для матрицы n=8 уровня 2, а также параметры h_max,ИC и ОС имеют значения: (0,173; 0,054; 0,188; 0,018; 0,031; 0,036; 0,167; 0,333), h_mах = 9,569, ИС = 0,238, ОС = 0,169 (≈17%). Семья не стала пересматривать матрицу парных сравнений критериев, хотя ОС оказалось несколько хуже, чем хотелось бы. Как интерпретировать эти локальные приоритеты? Стоимость и условия продажи дома К₈(0,333) - воспринимаются как наиболее важный критерий, он в два раза важнее размеров дома (0,173) и намного важнее года постройки (0,018). Вообще говоря, после этого можно сократить число критериев до трех или четырех, выбрав наиболее приоритетные из них. С этой целью необходимо найти сумму критериев и вновь нормализовать сокращенный вектор к единице. Однако, решая вопрос об исключении каких-то критериев после первых вычислений, следует быть предельно осторожным. Для рассматриваемого примера сохраним все критерии.

Определим теперь векторы локальных приоритетов для матрицы уровня 3 и используем принцип иерархического синтеза при получении глобальных приоритетов для каждой альтернативы. Результаты вычислений сведем в табл. 5.2.

Таблица 5.2

 

 

 

Критерии	К1	K2	К3	К4	К5	К6	К7	К8	Глобальный приоритет
Приоритет Критериев	0,173	0,054	0, 188	0,018	0, 031	0, 036	0,167	0,333
А	0,754	0,233	0,745	0, 333	0,674	0,747	0,2	0,072	0, 396
Б	0, 181	0,005	0, 065	0, 333	0, 101	0,06	0,4	0,65	0,341
В	0, 065	0,713	0, 181	0,333	0,226	0, 193	0,4	0,278	0, 263
hmах	3, 136	3,247	3,133	3,0	3,086	3, 197	3,0	3, 065
ИС	0, 068	0, 124	0,068	0,0	0,043	0,099	0,0	0,032
ОС	0, 117	0,213	0,117	0,0	0,074	0, 170	0,0	0,056

Затем, вычисляется вектор глобального приоритета. Например, вычислим глобальный приоритет для дома А:

0,754*0.173 + 0,233*0,054 +... + 0,072*0,333 = 0,396.

Таким образом, дом А, который был наименее желателен с финансовой точки зрения, вопреки ожиданиям оказался победителем и рекомендован к покупке. Между тем этот неочевидный успех неудивителен, поскольку дом А превосходил остальные альтернативы по четырем из восьми критериев.

5.3. Задание для самостоятельной работы

Самостоятельно очертить задачу и определить цель плана. Построить дерево иерархии, содержащее не менее трех уровней, от четырех до семи критериев и не менее трех альтернатив. Применить к поставленной задаче метод МАИ для выбора наиболее желательной альтернативы.

 

Практика №4

Сетевой анализ проектов. Метод СРМ

Цели

В данной главе показаны возможности использования метода СРМ (Critical Path Method — метод критического пути) для контроля сроков выполнения проекта. Таким проектом может быть разработка нового продукта или производственного процесса, строительство предприятия, здания или сооружения, ремонт сложного оборудования и т.д.

При реализации проекта составляется график выполнения работ. Для того чтобы проект был завершен вовремя, необходимо контролировать сроки выполнения этих работ. Усложняющим фактором является то, что работы взаимосвязаны. Одни работы зависят от выполнения других и не могут начаться, пока предшествующие работы не будут завершены.

Важной предпосылкой применения метода СРМ является предположение о том, что время

выполнения каждой работы точно известно. В результате использования метода СРМ удается получить ответы на следующие вопросы:

1. За какое минимальное время можно выполнить проект?

2. В какое время должны начаться и закончиться отдельные работы?

3. Какие работы являются «критическими» и должны быть выполнены точно в установленное время, чтобы не был сорван срок выполнения проекта?

4. На какое время можно отложить срок выполнения «некритической» работы, чтобы она не повлияла на срок выполнения проекта в целом?

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь определять и использовать для экономического анализа:

• наиболее раннее и наиболее позднее время начала работы;

• наиболее раннее и наиболее позднее время окончания работы;

• критический путь;

• длину критического пути;

• запас времени на выполнение работы.

Модели

Исходным шагом для применения метода СРМ является описание проекта в виде перечня выполняемых работ с указанием их взаимосвязи. Для описания проекта используются два основных способа: табличный и графический.

Рассмотрим следующую таблицу, описывающую проект:

В первом столбце указаны наименования всех работ проекта. Их четыре: А, В, С, D. Во втором столбце указаны работы, непосредственно предшествующие данной. У работ А и В нет предшествующих. Работе С непосредственно предшествует работа В. Это означает, что работа С может быть начата только после того, как завершится работа В. Работе D непосредственно предшествуют две работы: А и С. Это означает, что работа D может быть начата только после того, как завершатся работы А и С. В третьем столбце таблицы для каждой работы указано время ее выполнения. На основе этой таблицы может быть построено графическое описание проекта (рис. 1).

Рис. 1

На рис. 1 проект представлен в виде графа с вершинами 1,2, 3, 4 и дугами А, В, С, D. Каждая вершина графа отображает событие. Событие 1 означает начало выполнения проекта. Иногда такое событие обозначают буквой s (start). Событие 4 означает завершение проекта. Для обозначения такого события иногда используют букву f(finish). Любая работа проекта — это упорядоченная пара двух событии. Например, работа А есть упорядоченная пара событий (1, 3)(см. рис. 1). Работа D — упорядоченная пара событий (3,4). Событие проекта состоит в том, что завершены все работы, «входящие» в соответствующую вершину. Например, событие 3 состоит в том, что завершены работы А и С.

Рассмотрим другой проект, представленный следующей таблицей:

 

Работа	Непосредственно предшествующие работы	Время выпол­нения
А	-	tA
В	-	tB
С	В	tC
D	А, С	tD
Е	С	tE
F	С	tF
G	D,E,F	TG

 

 

Графическое описание проекта, построенное по этой таблице, имеет вид, показанный на рис. 2.

 

Рис.2

В этом графическом описании проекта, кроме тех работ, которые указаны в таблице, использованы две «фиктивные» работы (3, 4) и (5, 6). На рисунке они показаны штриховыми линиями. Эти работы не требуют времени на их выполнение и используются в графическом представлении проекта лишь для того, чтобы правильно отобразить взаимосвязь между работами. Получив графическое представление проекта, мы обеспечили себе возможность провести расчеты методом СРМ.

Определения:

Путь — последовательность взаимосвязанных работ, ведущая из одной вершины проекта в другую вершину. Например, { A, D, G } и { В, С, Е, С } — два различных пути, ведущие из вершины 1 в вер­шину 7 (см. рис. 2).

Длина пути — суммарная продолжительность выполнения всех работ пути.

Критический путь — путь, суммарная продолжительность выполнения всех работ которого является наибольшей.

Ясно, что минимальное время, необходимое для выполнения любого проекта, равно длине критического пути. Именно на работы, принадлежащие критическому пути, следует обращать особое внимание. Если такая работа будет отложена на некоторое время, то и срок окончания проекта будет отложен на то же время. Если необходимо сократить время выполнения проекта, то в первую очередь нужно сократить время выполнения хотя бы одной работы на критическом пути.

Для того чтобы найти критический путь, достаточно перебрать все пути и выбрать тот или те из них, что имеют наибольшую суммарную продолжительность выполнения работ. Однако для больших проектов реализация такого подхода связана с вычислительными трудностями. Метод СРМ позволяет получить критический путь намного проще.

Пусть i и j — вершины, или события, проекта, (i,j) — работа проекта, s — событие «начало проекта» (start), f — событие «окончание проекта» (finish), Т — длина критического пути.

Введем следующие обозначения:

t(i,j) — время выполнения работы (i, j);

ES(i,j) —наиболее раннее время начала работы (i,j);

EF(i,j) —наиболее раннее время окончания работы (i,j);

LS(i,j) —наиболее позднее время начала работы (i,j),

LF(i,j) — наиболее позднее время окончания работы (i,j),

E_i — наиболее раннее время наступления события i;

L_i — наиболее позднее время наступления события i;

R(i,j) — полный резерв времени на выполнение работы (i,j) (время, на которое может быть отложена работа (i,j) без увеличения продолжительности выполнения всего проекта);

r(i,j) — свободный резерв времени на выполнение работы (ij) (время, на которое может быть

отложена работа (i,j) без увеличения наиболее раннего времени E_t наступления последующего

события/ ). Если (i,j) — работа проекта, то имеют место соотношения: для любого j ES(ij) = Е; для любого i LF(i,j) = Ц. Для того чтобы использовать метод СРМ для нахождения критического пути, необходимо для каждой

работы (ij) определить наиболее раннее время начала и окончания работы (ES(ij) и EF(ij)) и

наиболее позднее время начала и окончания работы (LS(ij) и LF(ij)). Метод СРМ описывается следующими соотношениями:

(1)

для любой работы (sj), выходящей из стартовой вершины s проекта;

 

EF _(I,j) = ES_(i,j)+t_(i,j)=E_i+t_(i,j) (2)

(3)

т.е. наиболее раннее время окончания любой работы (i,j) превышает наиболее раннее время начала этой работы (время наступления предшествующего события i) на время ее выполнения;

 

 

из значений наиболее раннего, т.е. наиболее раннее время начала работы (q, j) равно наибольшему времени окончания непосредственно предшествующих ей работ;

(4)

т.е. длина критического пути равна наиболее раннему времени завершения проекта;

(5)

т.е. наиболее позднее время окончания любой работы, завершающей проект, равно длине критического пути;

(6)

т.е. наиболее позднее время начала любой работы меньше наиболее позднего времени окончания этой

работы (времени наступления последующего события) на время ее выполнения;

(7 )

т.е. наиболее позднее время окончания работы (/, q) равно наименьшему из значений наиболее позднего времени начала непосредственно следующих за ней работ;

(8)

т.е. полный резерв времени на выполнение любой работы равен разности между наиболее поздним и наиболее ранним временем ее начала или разности между наиболее поздним и наиболее ранним временем ее окончания;

(9)

(9)

т.е. свободный резерв времени на выполнение любой работы равен разности между наиболее поздним временем наступления последующего события и наиболее ранним временем окончания работы.

Из приведенных выше определений и соотношений непосредственно вытекают следующие утверждения:

1. Длина критического пути равна Т.

2. Если R(i,j) = 0, то работа (i,j) лежит на критическом пути; если R (i,j) > 0, то работа (i,j) не лежит на критическом пути.

 

3. Если время начала работы (i,j), не лежащей на критическом пути, отложить на срок меньший, чем r(i,j), то наиболее раннее время наступления последующего события не изменится.

4. Если время начала работы (i,j), не лежащей на критическом пути, отложить на срок меньший, чем R(i,j), то время, необходимое на выполнение всего проекта, не увеличится.

Примеры Пример 1. Реконструкция торгового центра.

Департамент Юго-Западного округа Москвы рассматривает возможность реконструкции торгового центра у станции метро «Юго-Западная». После сноса старых палаток проектом предусматривается

82 строительство павильонов для сдачи их в аренду торговым фирмам. Работы, которые необходимо выполнить при реализации проекта, а также их взаимосвязь и время выполнения указаны в следующей таблице:

Вопросы:

1. Сколько работ на критическом пути?

2. Какова длина критического пути?

3. На сколько недель можно отложить начало выполнения работы Е, чтобы это не повлияло на срок выполнения проекта?

4. На сколько недель можно отложить начало выполнения работы В, чтобы это не повлияло на срок выполнения проекта (полный резерв времени)?

5. На сколько недель можно отложить начало выполнения работы С, чтобы это не изменило наиболее поздний срок наступления последующего события (свободный резерв времени)?

Решение. Для того чтобы определить срок выполнения проекта, достаточно найти длину критического пути. Для этого построим графическое представление проекта (рис. 3).

Рис.3 Критический путь для этого проекта может быть найден с помощью прямых расчетов по методу СРМ, описанному в разделе «Модели». Те же результаты можно получить, воспользовавшись программой POMWIN. Для этого достаточно ввести в программу исходную информацию, описывающую проект в виде следующей таблицы:

Результаты расчетов будут представлены в виде следующей таблицы:

 

Project
Работа	Время вы­полнения, недели	ES	EF	LS	LF	R
A
В
С
D
Е
F
G
H
I

Эта таблица содержит информацию, позволяющую ответить на все вопросы задачи. Строка «Project 26» указывает на то, что длина критического пути равна 26. На критическом пути лежат все работы, значения резерва времени которых, указанные в последнем столбце, равны нулю. Это работы А, Е, F, G, I.

Таким образом, если отложить начало работы Е, то срок выполнения проекта увеличится. В то же время работу В можно начать не в нулевой момент времени, а в момент 6, т.е. начало выполнения работы В можно отложить на 6 недель. Критический путь для этого проекта показан на рис. 4 полужирными стрелками.

Рис. 4

Возможен другой способ введения исходной информации в программу POMWIN. Этот способ использует графическое представление проекта и как следствие описывает дуги в виде пары вершин. Соответствующее описание проекта приведено в следующей таблице:

Результаты расчетов будут представлены в виде следующей таблицы:

Project
Работа	Началь­ная вер­шина	Конеч­ная вер­шина	Время выполне­ния, не­дели	£5	EF		LF	R
A
В						б
С
D
Е
F
G
H
I

Ответы: 1. Пять работ. 2. 26 недель. 3. Начало выполнения работы E отложить нельзя. Ответ — 0. 4. На шесть недель. 5. На три недели.

Вопросы Вопрос 1. Метод СРМ разработан для:

1) описания проектов путем указания всех работ, предшествующих данной работе;

2) описания проектов путем представления каждой работы в виде пары узлов сети;

3) минимизации издержек на сокращение продолжительности проекта;

4) нахождения критического пути для проектов с заданным временем выполнения каждой работы;

5) нахождения критического пути для проектов с неопределенным временем выполнения работ. Вопрос 2. Узел-событие сетевого графика выражает результат:

 

1) начаты все работы, выходящие из узла;

2) закончены все работы, входящие в узел;

3) начата хотя бы одна работа, выходящая из узла;

4) закончена хотя бы одна работа, входящая в узел;

5) закончены все работы, входящие в узел, и начата хотя бы одна работа, выходящая из узла. Вопрос 3. Наиболее раннее время наступления события равно:

 

1) минимальной длине пути из данного узла в конечный;

2) максимальной длине пути из данного узла в конечный;

3) максимальной длине пути из начального узла в данный;

4) максимальному времени наиболее раннего окончания работ, входящих в данный узел;

5) минимальному времени наиболее позднего начала работ, выходящих из данного узла. Вопрос 4. Наиболее позднее время наст