Групповая экспертная оценка объектов при непосредственном оценивании.

Существует множество подходов к решению данной задачи. С целью иллюстрации рассмотрим один из простейших. Пусть m экспертов провели оценку n объектов по l показателям. Результаты оценивания представлены величинами , где i – номер объекта, j – номер эксперта, h – номер показателя. Величины , полученные методам непосредственного оценивания, представляют собой числа из некоторого отрезка числовой оси, или баллы.

В качестве групповой оценки для каждого из объектов можно принять среднее взвешенное значение его оценки

(6)

где q_h – коэффициенты весов показателей сравнения объектов, k_j – коэффициенты компетентности экспертов. Величины q_h и k_j являются нормированными, то есть

.

Коэффициенты q_h могут быть определены экспертным путем, как средний коэффициент веса h -ого показателя по всем экспертам, то есть

.

Возможность получение групповой экспертной оценки путем суммирования индивидуальных оценок с весами компетентности и важности основывается на выполнении:

· аксиом теории полезности фон Неймана-Моргенштерна для индивидуальных и групповых оценок [3];

· и условий неразличимости объектов в групповом отношении, если они неразличимы во всех индивидуальных оценках (частичный принцип Парето) [4].

Коэффициенты компетентности экспертов можно вычислить по апостериорным данным, то есть по результатам оценки объектов. Основной идеей этого вычисления является предположение о том, что компетентность эксперта должна оцениваться по степени согласованности его оценок с групповой оценкой объектов.

Для упрощения дальнейшего изложения, ограничимся рассмотрением случая h=1. То есть когда групповое оценивание объектов проводится на основе только одного показателя. Алгоритм вычисления групповых оценок и коэффициентов компетентности экспертов для этого случая имеет вид:

а) начальные условия при t =0

,

т.е. начальное значение коэффициентов компетентности для всех экспертов принимается одинаковым и равным.

б) рекуррентные соотношения для t =1,2,3...

	- групповая оценка для i -ого объекта на t -ом шаге на основе индивидуальных оценок xij.
	- нормировочный коэффициент
	- коэффициенты компетентности j -ого эксперта на t -ом шаге
	- коэффициенты компетентности m -ого эксперта из условия нормировки.

в) признак окончания итерационного процесса

.

Сходимость данной итерационной процедуры доказана в литературе для случая, когда индивидуальные оценки неотрицательны, а эксперты и объекты не распадаются на отдельные группы (то есть когда каждая группа экспертов не оценивает объекты своей группы). В большинстве практических задач эти условия выполняются, что доказывает сходимость алгоритма [5].

Пример. Три эксперта (m =3) оценили значение двух мероприятий (n =3) по степени их влияния на решение одной из проблем (l =1). Результатами экспертизы явились нормированные оценки мероприятий x_1j+x_2j=1, j=1,2,3.

xij	Эксперт 1	Эксперт 2	Эксперт 3
Мероприятие 1	0,3	0,5	0,2
Мероприятие 2	0,7	0,5	0,8

Вычислим групповые оценки мероприятий, приводящих к решению проблемы и коэффициенты компетентности каждого из экспертов. Для этого воспользуемся приведенным выше алгоритмом, задавшись точностью вычисления Е =0,001.

Средние оценки объектов первого приближения (при t =1) будут равны:

x ¹ =(0,333;0,667)

Вычислим нормировочный коэффициент l ¹:

Значение коэффициентов компетентности первого приближения примут значения:

и тогда k ¹ =(0,34;0,30;0,36)

Вычисляя групповые оценки второго и т.д. приближения, получим:

Результат третьего шага удовлетворяет условию окончания итерационного процесса и за значение групповой оценки принимается x» x ³ = (0,3235; 0,6765).

Обработка парных сравнений.

При установлении причинно-следственных зависимостей между объектами предметной области, экспертам в ряде случаев сложно выразить их численно. То есть трудно установить количественно степень влияния той или иной причины (объекта) на конкретное следствие. Особенно психологически это сложно, если таких объектов много.

Вместе с тем, эксперты сравнительно легко решают задачу парного сравнения. Эта задача состоит в том, что эксперт устанавливает предпочтения объектов при сравнении всех возможных пар. То есть эксперт, рассматривая все возможные пары объектов, в каждой из них устанавливает ту причину, которая по его мнению оказывает большое влияние на следствие. Возникает вопрос, как получить оценку всей совокупности объектов на основе результатов парного сравнения, выполненного группой экспертов.

Пусть каждый из m экспертов производит оценку влияния на результат всех пар объектов, давая числовую оценку

, если объект Oi более значим, чем Oj , объекты Oi и Oj равноправны , если объект Oi менее значим, чем Oj

где h =1,2,... m – номер эксперта, i,j =1,2,... n – номера объектов, исследуемых при экспертизе. Т. е. по результатам экспертизы имеем m -таблиц (матриц) вида (рис.7):

 

Rm

O1

...

Oj

...

On

R2

O1

...

Oj

...

On

O1

...

Oj

...

On

K

R1

O1

...

Oj

...

On

O1

K1

O1

...

...

...

Þ

Oi

xij=M[rij]

Þ

Ki

Oi

rij^1

...

...

...

On

Kn

On

m

 

Рис.7. Последовательность обработки парных сравнений

Как следует из рис.7 последовательность обработки парных сравнений заключается в том, что на основании таблиц парных сравнений m-экспертов строится матрица математических ожиданий оценок всех пар объектов. Затем по этой матрице вычисляется вектор коэффициентов относительной важности объектов.

Если при оценке пары O_ij из общего количества экспертов m_i высказались в пользу предпочтение O_i, m_j экспертов в пользу O_j, а m_p считает эти объекты равноправными, то оценка математического ожидания дискретной случайной величины r_ij будет равна:

.

Т.к. общее количество экспертов , то определяя отсюда m_p и подставляя его в вышеприведенное выражение, получим

.

Очевидно, что х_ij + х_ji = 1. Совокупность величин х_ij образуют матрицу Х =|| х_ij || размерности n x n, на основе которой можно построить ранжировку всех объектов и определить коэффициенты относительной важности объектов, то есть вектор

k = [ k₁, k₂,... k_n ] ^T

Одним из способов определения значений элементов вектора К является итерационный алгоритм вида:

а) начальное условие t =0

б) рекуррентные соотношения

где Х – матрица математических ожиданий оценок пар объектов, k^t – вектор

коэффициентов относительной важности объектов порядка t.

– условие нормировки.

в) признак окончания ||k ^t - k ^{t -1}||< E.

Если матрица Х неотрицательна и неразложима (то есть путем перестановки строк и столбцов ее нельзя привести к треугольному виду), то при увеличении порядка t ® ¥ величина l^t сходится к максимальному собственному числу матрицы Х, то есть

.

Это утверждение следует из теоремы Перрона-Фробениуса и доказывает сходимость приведенного выше алгоритма [6].

Пример. Предположим, что в результате опроса трех (m=3) экспертов о степени влияния на результат трех (n=3) различных факторов (объектов) получены следующие таблицы парных сравнений:

Экспетр 1(R₁) Эксперт 2(R₂) Эксперт 3(R₃)

	О1	О2	О3			О1	О2	О3			О1	О2	О3
О1	0,5				О1	0,5	0,5	0,5		О1	0,5		0,5
О2		0,5			О2	0,5	0,5	0,5		О2		0,5
О3			0,5		О3	0,5	0,5	0,5		О3	0,5		0,5

Для получения групповой оценки степени влияния каждого из объектов на результат, построим матрицу математических ожиданий оценок каждой из пар объектов, которая для рассматриваемого примера будет иметь вид:

 

	О1	О2	О3
О1	3/6	5/6	4/6
О2	1/6	3/6	1/6
О3	2/6	5/6	3/6

Значения элементов этой матрицы получены из следующих выражений:

Воспользуемся вышеописанным алгоритмом для получения вектора относительной важности объектов. Для наглядности, каждый из шагов представим в виде:

шаг 0:

шаг 1:

шаг 2:

Продолжая итерационный процесс до тех пор, пока норма оценки не будет меньше заданной ( (| K_i^t - K_i^{t -1}|) < 0,001) получим

На четвертом шаге выполняется условие выхода, что позволяет за групповую оценку степени влияния на результат принять вектор коэффициентов относительной важности объектов вида: