Тема: Принятие решений в задачах теории антагонистических игр

РУКОВОДСТВО

Для практических занятий

По курсу

ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Практика №1

Основные понятия и определения

Принято различать постановку задачи для индивидуального и группового лица принимающего решение (ЛПР).

Постановка задачи для индивидуального ЛПР формально записывается в виде следующих условий:

,

где слева от вертикальной черты находятся исходные данные задачи принятия решения, справа – неизвестные. Здесь приняты следующие обозначения: S₀ – проблемная ситуация, T– время для принятия решения, Q– ресурсы; S={S₁,…,S_n } – множество альтернативных ситуаций доопределяющих ситуацию S₀ до полной группы взаимоисключающих, независимых или гипотетических ситуаций, причем сумма вероятностей их возникновения равна 1; A– множество целей; B– множество ограничений при принятии решений; Y– множество альтернативных вариантов решений, из которых должно быть выбрано единственное Y* – оптимальное решение; f(A, S, Y) – функция предпочтения для оценки решений; K– критерий выбора наилучшего решения Y*.

Под целью понимается идеальное представление желаемого состояния или результата деятельности, достигнутое в пределах выделенных ресурсов. Если фактическое состояние не соответствует желаемому, то имеет место проблема, а выработка плана действий по устранению проблемы и есть сущность задачи принятия решения. Проблемы возникают в следующих случаях: функционирование системы в данный момент не обеспечивает достижение поставленной цели; функционирование системы в будущем не обеспечит достижение цели; необходимо изменить цель деятельности.

Возникновение проблемы связано с определенными условиями, которые называются ситуациями. Совокупность проблем и ситуаций в ТПР называют проблемной ситуацией.

Субъектом всякого решения является ЛПР, для поддержки или консультаций которого привлекаются эксперты – специалисты по решаемой проблеме.

Принятие решения происходит во времени, поэтому вводится понятие процесса принятия решения, в ходе которого формируются альтернативные варианты решений и оценивается их предпочтительность. Предпочтение – это суммарная оценка качества принятия решения, основанная на объективном анализе (знании, опыте, расчетах, экспериментах и т.п.) и субъективном понимании эффективности решений (решение тем эффективнее, чем больше степень достижения целей и чем меньше затрат на реализацию этих целей). Решение называется допустимым, если оно удовлетворяет заданным ограничениям (ресурсным, правовым, этическим и т.п.). Допустимое решение называется оптимальным, если оно обеспечивает экстремум критерия выбора.

Для осуществления выбора лучшего решения индивидуальное ЛПР определяет критерии выбора, т.е признаки, на основании которых производится оценка, определение или классификация решений.

Таким образом, общая постановка задачи принятия решения для индивидуального ЛПР состоит в следующем: в условиях проблемной ситуации S₀, располагаемого времени T и ресурсов Q, необходимо доопределить ситуацию S₀ множеством альтернативных ситуаций S, сформулировать множество целей A, ограничений B, множество альтернативных решений Y, произвести оценку предпочтений функции f и найти оптимальное решение Y* из множества Y, руководствуясь критерием выбора К.

Постановка задачи для группового ЛПР формально записывается в виде следующих условий:

,

где F(f) – функция группового предпочтения, зависящая от индивидуальных предпочтений d-лиц, входящих в группу, т.е. от f=(f_1,….,f_d), L – принцип согласования индивидуальных предпочтений (например, принцип большинства голосов), т.е. выбор должен происходить на основе некоторого правила согласования индивидуальных предпочтений.

Общая постановка задачи принятия решения для группового ЛПР состоит в следующем: в условиях проблемной ситуации S₀, располагаемого времени T и ресурсов Q, необходимо доопределить ситуацию S₀ множеством альтернативных ситуаций S, сформулировать множество целей A, ограничений B, множество альтернативных решений Y, произвести оценку группового предпочтений по функции F(f) и найти оптимальное решение Y* из множества Y, руководствуясь принципом согласования индивидуальных предпочтений L.

Задачи принятия решений классифицируют по следующим признакам:

· по степени структурированности условий (хорошо структурированные задачи, в которых все зависимости выявлены четко, выражены в числах или символах; неструктурированные, для которых имеется лишь качественное описание задачи; слабоструктурированные или смешанные задачи);

· по степени определенности информации о множестве и критериях (предпочтениях) при выборе решений (если Y, K или L неизвестны, то речь идет об общей задаче принятия решений; если множество допустимых решений Y известно, то говорят о задаче выбора решений; если Y, K, L известны, то это задача оптимизации;

· в зависимости от того использовался или нет эксперимент, различают задачи принятия решений по апостериорным (опытным) данным или по априорным данным;

· по количеству лиц, принимающих решение (индивидуальные и групповые ЛПР), по количеству целей (одноцелевые и многоцелевые);

· по области применения решений (экономические, политические, технические и т.п.);

· по длительность действия решения (долговременные, среднесрочные, краткосрочные) и значимость (стратегические, тактические).

Теория, которая рассматривает ситуации конфликта двух и более противников называется теорией антагонистических игр. В теории игр противников принято называть игроками. Предполагается, что каждый из игроков обладает конечным (бесконечным) множеством альтернативных решений. Это множество называют множеством стратегий игроков. Результаты игры характеризуются платежными функциями, которые зависят от стратегии игроков. Антагонистические игры с двумя игроками, в которых выигрыш одного равен проигрышу другого, получили название антагонистические игры двух лиц с нулевой суммой. Целью теории игр является выработка рекомендаций для разумного поведения игроков в конфликтных ситуациях, т.е. выработка оптимальных стратегий для каждого игрока. Под оптимальной стратегией игрока понимается такая стратегия, использование которой при многократном повторении игры обеспечивает игроку максимально возможный средний выигрыш или минимально возможный средний проигрыш. Игра G задается тройкой множеств (X, Y, L(x, y)), где X={x₁, x₂,…,x_m}- множество стратегий 1-го игрока, Y={y₁, y₂,…,y_n}- множество стратегий 2-го игрока, L(x, y) - платежная функция (ограниченная числовая функция одного из игроков, определенная на декартовом произведении множеств X×Y и равная математическому ожиданию выигрыша/проигрыша данного игрока). Функцию L задают в виде платежной матрицы Q=║q_ij║_m×n, где q_ij=L(x_i, y_j).

Нижняя чистая цена игры равна . Верхняя чистая цена игры равна . Если α=β=ν, то игра имеет седловую точку (точка равновесия или точка Нэша), т.е. решение в чистых стратегиях. Это означает, что в платежной матрице имеется как минимум один элемент, который одновременно является минимумом в строке и максимумом в столбце платежной матрицы игры. Оптимальное решение достигнуто, если ни одному из игроков невыгодно изменять свою стратегию.

Если α<β, то при многократном повторении игры игроки должны использовать смешанные стратегии, когда чистые стратегии 1-й игрок чередует случайным образом с вероятностями ξ=(ξ₁,…,ξ_m), а 2-й игрок – с вероятностями η=(η₁,…,η_n), где ξ_i- вероятность применения 1-м игроком своей чистой стратегии x_i, а η_j - вероятность применения 2-м игроком своей чистой стратегии y_j, при условиях:

Активной называется такая стратегия x_i или y_j, которая входит в состав оптимальной смешанной стратегии ξ*=(ξ*₁,…,ξ*_m) или η*=(η*₁,…,η*_n) с вероятностью отличной от нуля, т.е. ξ*_i>0 или η*_j>0.

В статистических играх участвуют ЛПР и природа, под которой обычно понимают некоторую совокупность внешних не всегда определенных факторов, в условиях которых приходится принимать решение. Обозначим через E={E₁,E₂,…,E_m} – множество альтернативных решений ЛПР, а через F={F₁, F₂,…, F_n} – множество состояний природы. Cтатистическая игра описывается матрицей E=║e_ij║_m×n, где e_ij - оценка полезности i-го решения в j-й ситуации (выигрыш, надежность и т.п.). Задача теории статистических игр состоит в том, чтобы, используя критерий выбора, найти оптимальное решение ЛПР. Классическими критериями выбора считаются критерии максимина (ММ), Байеса-Лапласа (BL), Сэвиджа (S); производными критериями – критерии Гурвица (HW), Ходжа-Лемана (HL), Гермейера (G), BL(MM), произведений (Р).

Полезность - это величина, которую ЛПР максимизирует в процессе выбора решения.

Под измерением будем понимать процедуру сравнения решений по определенным показателям (признакам, характеристикам).

Шкала измерений – это совокупность трех систем: <M, N, f>, где М - эмпирическая система, состоящая из множества измеряемых решений и множества отношений между ними; N - универсальная числовая система, состоящая из множества действительных чисел и множества отношений между ними, f - взаимно однозначное или просто однозначное отображение эмпирически измеренных решений на числовую систему. Наиболее часто на практике используются следующие типы шкал измерений: наименований, порядковая, интервалов, отношений, разностей, абсолютная. Различают следующие методы субъективных измерений: ранжирование; парное сравнение; непосредственная оценка; последовательное сравнение.

Многокритериальная задача – ситуация для принятия решения, в которой альтернативы оцениваются в условиях неопределенности с точки зрения нескольких, иногда конфликтующих целей. Различают четыре источника неопределенности: неизвестные данные, неточный язык, неявное смысловое содержание и трудности, связанные с сочетанием взглядов различных экспертов. Парето-оптимальным называется решение многокритериальной задачи, для которого не существует более предпочтительного (любые два Парето-оптимальных решения являются недоминирующими по отношению друг к другу, а для любого решения, не принадлежащего множеству Парето, всегда найдется хотя бы одно Парето-решение, которое доминирует над ним). Парето-оптимальные решения несравнимы между собой, выбор из них единственного может быть сделан либо случайно, либо с привлечением дополнительной информации (эксперимент, опрос экспертов и т.п.).

Организация группового выбора требует учета поведения членов группы и согласования индивидуальных предпочтений. Организационные модели принятия решений принимают во внимание структурные и политические характеристики организаций. Наиболее распространенные на практике принципы группового выбора: большинства голосов, диктатора, Курно, Парето, Эджворта, - последние три из которых основаны на учете характера возможных отношений между коалициями группового ЛПР (статус-кво, конфронтация или антагонизм, рациональность). Риск – это комбинация вероятности нежелательных последствий и/или величины возможных потерь. Определение риска с учетом многих критериев является задачей выбора решения: измерение уровня риска и способы его количественного определения; повышение безопасности крупномасштабных технологических систем; аварии и их анализ. Например, чтобы выяснить, к каким последствиям может привести авария, строится дерево событий. Если требуется понять, что может стать причиной аварии, строится дерево отказов, т.е. деревья отказов и событий являются взаимодополняющими методами анализа риска. К методам поиска решений по дереву относятся поиск в ширину, поиск в глубину, поиск на основе стоимости дуг, поиск с возвратом и т.п.

Интеллектуальная система поддержки принятия решений – это компьютерная система, состоящая из пяти основных взаимодействующих компонентов: языковой подсистемы, базы данных и средств их обработки, базы знаний о проблемной области (процедуры, эвристики, правила) и средств их обработки, подсистемы моделей и решателя задач.

Статистические методы обработки экспертной информации основаны на предположении, что отклонение оценок экспертов от истинных происходит по случайным причинам. Задача состоит в восстановлении истинных значений с наименьшей погрешностью. Степень согласованности экспертов определяется с помощью коэффициента конкордации. Алгебраические методы обработки экспертной информации состоят в том, что на множестве экспертных оценок задается некоторое метрическое расстояние и результирующая оценка определяется как оценка, сумма расстояний от которой до оценок экспертов минимальна. Методы шкалирования (простой ординации, метод троек, нелинейные методы, методы неметрического многомерного шкалирования, методы одномерного шкалирования) заключаются в том, что эксперты оценивают попарные различия между объектами и по ним устанавливают минимальный набор критериев и оценок, обуславливающих указанные различия.

 

Библиографический список

Основная литература

1. Борисов А.Н. и др. Принятие решений на основе нечетких моделей. – Рига: Зинанте. 1990.

2. Вагин В.Н. Дедукция и обобщение в системах принятия решений. М.: Наука. 1988.

3. Венцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. М.: Наука. 1988.

4. Кини Р.Л., Райфа Х. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. М: Радио и связь. 1981.

5. Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. М: Энергия. 1980.

6. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений, а также хроника событий в волшебных странах. М.: Логос. 2002.

7. Ларичев О.И. и др. Выявление экспертных знаний. – М.: Наука. 1998.

8. Мушик Э., Мюллер П. Методы принятия технических решений. М.: Мир. 1990.

9. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука. 1970

10. Саати Т.Л., Кернс К. Аналитическое планирование оргсистем. М.: Радио и связь. 1991.

11. Справочник: Искусственный интеллект// Под ред. Д.А. Поспелова. Т. 1,2. М: Наука. 1990.

12. Таха Х. Введение в исследование операций. Кн. 1,2. –М.: Мир. 1985.

13. Теория выбора и принятия решений. Учебное пособие. М.: Наука. 1982.

14. Трахтенгерц Э.А. Компьютерная поддержка принятия решений. М.: Синтег. 1998

Дополнительная литература

16. Аверкин А.Н. и др. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / Под ред. Д.А. Поспелова. – М.: Наука. 1986.

17. Берштейн Л.С. и др. Методы и алгоритмы принятия решений при четких и нечетких исходных данных. Учебное пособие. Таганрог: ТРТУ. 2000. 92с.

18. Гаврилова Т.А., Хорошевский В.Ф. Базы знаний интеллектуальных систем. – СПб:Питер. 2000.

19. Гиг Дж. Прикладная общая теория систем. В 2-х кн. – М.: Мир. 1981.

20. Грешилов А.А. и др. Математические методы построения прогнозов. –М.: Радио и связь.1997.

21. Дюран Б., Оделл П. Кластерный анализ. – М.: Статистика. 1977.

22. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. – М.: Мир. 1976.

23. Иберла К. Факторный анализ. – М.: Статистика. 1980.

24. Исследование операций/ Под ред. Н.Ш. Кремера. –М.: Банки и биржи, ЮНИТИ. 1997.

25. Ковалев С.М., Родзин С.И. Информационные технологии. – Ростов-на-Дону: СКНЦ ВШ, 2002.

26. Колемаев В.А. Математические методы принятия решений в экономике. Учебник. –М.: Финстатинформ. 1999.

27. Корнеев В.В. и др. Базы данных. Интеллектуальная обработка информации.–М.: Нолидж. 2000.

28. Курейчик В.В. Эволюционные, синергетические и гомеостатические методы принятия решений. Таганрог: ТРТУ. 2001. 221с.

29. Нариньяни А.С. НЕ – факторы: неточность и недоопределенность – различие и взаимосвязь // Ж. Известия РАН. Теория и системы управления. 2000. №5. -С.44-56.

30. Осипов Г.Н. Информационные технологии, основанные на знаниях// Ж. Новости искусственного интеллекта. 1993. №1. -С.7-41.

31. Попов Э.В. Экспертные системы. – М.: Наука. 1988.

32. Поспелов Д.А. Ситуационное управление: Теория и практика. – М.: Наука. 1986.

33. Силов В.Б. Принятие стратегических решений в нечеткой обстановке.– М.: ИНПРО-РЭС. 1995.

34. Тарасов В.Б. Агенты, многоагентные системы, виртуальные сообщества: стратегическое направление в информатике и ИИ (обзор) // Ж. Новости ИИ. 1998. №2. -С.5-63.

35. Труды международного конгресса «Искусственный интеллект в 21 веке». –М.:Физматлит.2001.

36. Франселла Ф., Баннистер Д. Новый метод исследования личности: руководство по репертуарным личностным методикам. – М.: Прогресс. 1987.

Практика №2

Метод ранжирования.

Ранжирование – это процедура упорядочения объектов по степени их влияния на результат, выполняется экспертом в процессе выявления его знаний. На основе своих знаний и опыта эксперт располагает объекты в порядке предпочтения, руководствуясь одним или несколькими показателями сравнения. В зависимости от вида отношений между объектами возможны различные варианты упорядочения объектов.

Пусть среди объектов нет эквивалентных по степени влияния на результат. В этом случае между объектами существует отношение строгого порядка, обладающее свойствами:

· несимметричности (если O_i O_j, то O_i O_j);

· транзитивности (если O_i O_j, O_j O_k, то O_i O_k);

· и связности (для любых двух объектов, либо O_i O_j, либо O_j O_i).

В результате сравнения всех объектов по отношению строгого порядка эксперт составляет упорядоченную последовательность:

O₁ O₂ ... O_n, (1)

где объект с номером один является наиболее предпочтительным из всех объектов, объект со номером два менее предпочтителен чем первый, но предпочтительнее всех остальных и т.д.

Полученная система с отношением порядка < O, > образует серию. Для серии доказано существование числовой системы:

· элементами которой являются числа;

· а отношение порядка есть отношение "больше чем", "предпочтительнее чем".

Это означает, что существует числовое представление f(O_i), такое, что последовательности (1) соответствует последовательность чисел

f(O₁) > f(O₂) >... > f(O_n).

В практике экспертного ранжирования чаще всего используется последовательность натуральных чисел

r₁=f(O₁)=1; r₂=f(O₂)=2;...; r_n=f(O_n)=n.

Числа r₁, r₂,..., r_n называются рангами. Наиболее предпочтительному присваивается ранг 1, второму – ранг 2 и т.д. На практике, среди объектов могут быть и эквивалентные по степени их влияния на результат. Например, упорядочение может иметь вид

O₁ O₂ O₃ ~ O₄ ~ O₅ ... O_n-1 ~ O_n (2)

В этой последовательности объекты O₃, O₄ и O₅ эквивалентны между собой, а O_n-1 и O_n – между собой. Для эквивалентных объектов принято назначать одинаковые ранги, равные среднему арифметическому значению рангов, приписываемых одинаковым объектам. Такие ранги получили название связанных рангов. Для примера упорядочение (2) в случае n=10 ранги объектов O₃, O₄ и O₅ будут одинаковыми и равными:

r₃ = r₄ = r₅ = (3+4+5)/3 = 4

r₉ = r₁₀ = (9+10)/2 = 9,5

Как видно из примера связанные ранги могут быть дробными. Удобство использования связанных рангов заключается в том, что сумма рангов n-объектов равна сумме натуральных чисел от 1 до n. При этом любые комбинации связанных рангов не изменяют эту сумму. Это обстоятельство существенно упрощает обработку результатов ранжирования при групповой экспертной оценке.

Метод парных сравнений.

Парное сравнение представляет собой процедуру установления предпочтения объектов при сравнении всех возможных пар. В отличие от ранжирования, при котором осуществляется упорядочение всех объектов сразу, парное сравнение представляет для экспертов более простую задачу. При сравнении каждой пары объектов возможны отношения либо порядка, либо эквивалентности. Парное сравнение есть измерение в шкале порядка.

В результате сравнения каждой пары объектов O_i и O_j эксперт должен упорядочить эту пару, высказывая, что:

либо O_i O_j, либо O_j O_i, либо O_i ~ O_j.

Переход от эмпирической системы к числовой системе с отношениями осуществляется выбором такой функции f, что:

если O_i O_j, то f(O_i) > f(O_j),

если O_j O_i, то f(O_i) < f(O_j).

Наконец, если объекты эквивалентны, то естественно предположение, что f(O_i)=f(O_j). Наиболее часто в практике экспертного оценивания используют следующие числовые представления:

 

Эмпирическая	Представление 1	Представление 2	Представление 3
система	f(Oi)	f(Oj)	f(Oi)	f(Oj)	f(Oi)	f(Oj)
Oi Oj				-1
Oi ~ Oj					0,5	0,5

Результаты сравнения экспертом всех пар объектов удобно представить в виде таблицы, столбцы и строки которой составляют объекты, а в ячейках таблицы проставляются числовые значения.

Пример: В качестве примера рассмотрим табличное отображение результатов проведенного парного сравнения пяти объектов при использовании числового представления 1.

Oj Oi	O1	O2	O3	O4	O5
O1
O2
O3
O4
O5

Из этой таблицы следует, что объект O₁ предпочтительнее объектов O₂, O₃, O₅ и эквивалентен O₄. Объект O₂ предпочтительнее O₃, эквивалентен O₄ и менее предпочтителен, чем O₁ и O₅. Сравнение объектов во всех возможных парах не дает полного упорядочения всех объектов. Поэтому возникает задача о ранжировке объектов на основе парного сравнения.

ОБРАБОТКА ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК

Задачи обработки.

В зависимости от целей экспертного оценивания и метода учета экспертных оценок возникают следующие основные задачи:

1) построение обобщенной оценки понятий и объектов на основе индивидуальных оценок экспертов;

2) построение обобщенной оценки на основе парного сравнения объектов каждым из экспертов;

3) определение относительных весов взаимосвязи объектов;

4) определение зависимостей между ранжировками;

5) определение согласованности мнений экспертов;

6) оценка надежности обработки результатов.

При решении многих задач недостаточно упорядочения объектов по одному или группе показателей. Необходимо иметь числовые значения для каждого объекта, определяющие его предпочтение перед другими объектами. Наличие таких оценок позволит определить обобщенную оценку для всей группы экспертов.

Определение согласованности мнений экспертов производится путем вычисления числовой меры, характеризующей степень близости индивидуальных мнений. Анализ значения меры согласования способствует выработке правильного суждения об общем уровне знаний по решаемой проблеме и выявлению группировок мнений экспертов.

Обработка экспертных оценок позволяет вскрыть связанные показатели сравнения и осуществить группировку по степени связи. Так, например, если показатели сравнения – различные цели, а объекты сравнения – средства достижения этих целей, то установление взаимосвязи между ранжировками, упорядочивающими средства с точки зрения достижения целей, позволяет обоснованно ответить на вопрос: " в какой степени достижение одной цели при данных средствах способствует достижению других целей " (то есть установить причинно-следственную связь).

Оценки, получаемые на основе обработки, представляют собой случайные объекты, поэтому одной из важнейших задач процедуры обработки является определение их надежности.

Обработка парных сравнений.

При установлении причинно-следственных зависимостей между объектами предметной области, экспертам в ряде случаев сложно выразить их численно. То есть трудно установить количественно степень влияния той или иной причины (объекта) на конкретное следствие. Особенно психологически это сложно, если таких объектов много.

Вместе с тем, эксперты сравнительно легко решают задачу парного сравнения. Эта задача состоит в том, что эксперт устанавливает предпочтения объектов при сравнении всех возможных пар. То есть эксперт, рассматривая все возможные пары объектов, в каждой из них устанавливает ту причину, которая по его мнению оказывает большое влияние на следствие. Возникает вопрос, как получить оценку всей совокупности объектов на основе результатов парного сравнения, выполненного группой экспертов.

Пусть каждый из m экспертов производит оценку влияния на результат всех пар объектов, давая числовую оценку

, если объект Oi более значим, чем Oj , объекты Oi и Oj равноправны , если объект Oi менее значим, чем Oj

где h =1,2,... m – номер эксперта, i,j =1,2,... n – номера объектов, исследуемых при экспертизе. Т. е. по результатам экспертизы имеем m -таблиц (матриц) вида (рис.7):

 

Rm

O1

...

Oj

...

On

R2

O1

...

Oj

...

On

O1

...

Oj

...

On

K

R1

O1

...

Oj

...

On

O1

K1

O1

...

...

...

Þ

Oi

xij=M[rij]

Þ

Ki

Oi

rij^1

...

...

...

On

Kn

On

m

 

Рис.7. Последовательность обработки парных сравнений

Как следует из рис.7 последовательность обработки парных сравнений заключается в том, что на основании таблиц парных сравнений m-экспертов строится матрица математических ожиданий оценок всех пар объектов. Затем по этой матрице вычисляется вектор коэффициентов относительной важности объектов.

Если при оценке пары O_ij из общего количества экспертов m_i высказались в пользу предпочтение O_i, m_j экспертов в пользу O_j, а m_p считает эти объекты равноправными, то оценка математического ожидания дискретной случайной величины r_ij будет равна:

.

Т.к. общее количество экспертов , то определяя отсюда m_p и подставляя его в вышеприведенное выражение, получим

.

Очевидно, что х_ij + х_ji = 1. Совокупность величин х_ij образуют матрицу Х =|| х_ij || размерности n x n, на основе которой можно построить ранжировку всех объектов и определить коэффициенты относительной важности объектов, то есть вектор

k = [ k₁, k₂,... k_n ] ^T

Одним из способов определения значений элементов вектора К является итерационный алгоритм вида:

а) начальное условие t =0

б) рекуррентные соотношения

где Х – матрица математических ожиданий оценок пар объектов, k^t – вектор

коэффициентов относительной важности объектов порядка t.

– условие нормировки.

в) признак окончания ||k ^t - k ^{t -1}||< E.

Если матрица Х неотрицательна и неразложима (то есть путем перестановки строк и столбцов ее нельзя привести к треугольному виду), то при увеличении порядка t ® ¥ величина l^t сходится к максимальному собственному числу матрицы Х, то есть

.

Это утверждение следует из теоремы Перрона-Фробениуса и доказывает сходимость приведенного выше алгоритма [6].

Пример. Предположим, что в результате опроса трех (m=3) экспертов о степени влияния на результат трех (n=3) различных факторов (объектов) получены следующие таблицы парных сравнений:

Экспетр 1(R₁) Эксперт 2(R₂) Эксперт 3(R₃)

	О1	О2	О3			О1	О2	О3			О1	О2	О3
О1	0,5				О1	0,5	0,5	0,5		О1	0,5		0,5
О2		0,5			О2	0,5	0,5	0,5		О2		0,5
О3			0,5		О3	0,5	0,5	0,5		О3	0,5		0,5

Для получения групповой оценки степени влияния каждого из объектов на результат, построим матрицу математических ожиданий оценок каждой из пар объектов, которая для рассматриваемого примера будет иметь вид:

 

	О1	О2	О3
О1	3/6	5/6	4/6
О2	1/6	3/6	1/6
О3	2/6	5/6	3/6

Значения элементов этой матрицы получены из следующих выражений:

Воспользуемся вышеописанным алгоритмом для получения вектора относительной важности объектов. Для наглядности, каждый из шагов представим в виде:

шаг 0:

шаг 1:

шаг 2:

Продолжая итерационный процесс до тех пор, пока норма оценки не будет меньше заданной ( (| K_i^t - K_i^{t -1}|) < 0,001) получим

На четвертом шаге выполняется условие выхода, что позволяет за групповую оценку степени влияния на результат принять вектор коэффициентов относительной важности объектов вида:

Практика №3

Принятие решений в задачах стратегического планирования

5.1.Постановка задачи стратегического планирования

К задачам стратегического планирования относятся сложные неформализованные многокритериальные задачи принятия решений, основанные на субъективных измерениях экспертов, которые можно представить в виде иерархической декомпозиции (цели – критерии – альтернативы и т.п.). К подобного рода задачам относятся разнообразные задачи проектного планирования и прогнозирования, разработки природоохранных мероприятий, прогнозирования развития высшего образования или, скажем, цен на нефть, выдвижения кандидатов на выборы и т.п. Для решения таких задач используются различные подходы, например, метод Дельфи, методы теории многомерной полезности и т.д. Одним из наиболее современных методов решения задач принятия решений при стратегическом планировании считается метод анализа иерархий (МАИ), который объединяет лучшие стороны традиционных методов.

МАИ принадлежит к категории математических методов и основан на следующих аксиомах: парные сравнения, обоснованная шкала сравнений и обратносимметричные отношения, однородная кластеризация иерархии, иерар