Раздел 7. Числовые и степенные ряды

Раздел 7. Числовые и степенные ряды

Числовые ряды

 

1. Основные определения

Определение. Пусть - произвольная числовая последовательность. Формальное выражение вида

называется числовым рядом. Числа называются членами ряда, а – общим членом ряда.

Определение. Суммы , называются частичными суммами ряда.

Определение. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм. При этом число называется суммой ряда:

Определение. Если последовательность частичных сумм ряда не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся.

 

Свойства числовых рядов

 

1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если отбросить или добавить произвольное конечное число членов ряда.

2) Рассмотрим два ряда и , где С – постоянное число.

Теорема. Если ряд сходится и имеет сумму равную S, то ряд также сходится, и имеет сумму равную .

3) Рассмотрим два ряда и . Суммой (разностью) этих рядов называется ряд , где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.

Теорема. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно и , то ряд тоже сходится и его сумма равна .

Сумма (разность) двух сходящихся рядов также является сходящимся рядом.

Сумма сходящегося и расходящегося рядов является расходящимся рядом.

О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.

При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.

 

Необходимые и достаточные условия сходимости числовых рядов

 

Теорема. (Критерий Коши) Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал такой номер N, что при и любом p > 0, где р – целое число, выполнялось неравенство:

.

Доказательство. (необходимость) Пусть , тогда для любого числа найдется номер N такой, что неравенство выполняется при . При и любом целом выполняется также неравенство . Учитывая оба неравенства, получаем:

Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.

Сформулируем критерий Коши для ряда.

Для того чтобы ряд был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал номер N такой, что при n>N и любом p>0 выполнялось бы неравенство

.

Однако на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно, поэтому, как правило, используются более простые признаки сходимости.

Теорема. (Необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то его общий член u_n стремился к нулю при стремящемся к .

Это условие не является достаточным. Однако, если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится. Например, так называемый гармонический ряд является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Найдем - необходимый признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится.

Теорема. Если ряд сходится, то последовательность его частичных сумм ограничена.

Это условие не является достаточным.

Например, ряд расходится, т.к. расходится последовательность его частичных сумм в силу того, что

Однако при этом последовательность частичных сумм ограничена, т.к. при любом n.

Знакочередующиеся ряды

Определение. Знакочередующимся рядом называется ряд:

где

Теорема. (Признак Лейбница) Если у знакочередующегося ряда абсолютные величины образуют убывающю последовательность: , а общий член стремится к нулю , то ряд сходится.

Знакопеременные ряды

Определение. Знакопеременным рядом называется ряд с членами произвольных знаков.

Рассмотрим знакопеременный ряд:

(6.1)

и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (6.1):

. (6.2)

Теорема. Из сходимости ряда (6.2) следует сходимость ряда (6.1).

Доказательство. Ряд (6.2) является рядом с неотрицательными членами. Если ряд (2) сходится, то по критерию Коши для любого существует число N, такое, что при и любом целом верно неравенство:

По свойству абсолютных величин:

То есть по критерию Коши из сходимости ряда (6.2) следует сходимость ряда (6.1).

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд .

Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.

Определение. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд расходится.

Теорема. Если ряд сходится условно, то для любого наперёд заданного числа (включая или ) члены ряда можно переставить таким образом, чтобы его сумма была равна этому числу ( или ).

Пусть - знакопеременный ряд.

Теорема. (Признак Даламбера) Если существует предел , то при ряд сходится абсолютно, а при ряд расходится. При признак ответа не дает.

Теорема. (Признак Коши) Если существует предел , то при ряд сходится абсолютно, а при расходится. При признак ответа не дает.

 

Степенные ряды

Функциональные ряды

Определение. Ч астичными суммами функционального ряда называются функции

Определение. Функциональный ряд называется сходящимся в точке , если в этой точке сходится последовательность его частных сумм. Предел последовательности называется суммой ряда в точке .

Определение. Совокупность всех значений х, для которых сходится ряд называется областью сходимости ряда.

Определение. Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке , если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.

 

Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда). Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого числа существовал такой номер , что при и любом целом неравенство

выполнялось бы для всех х на отрезке .

Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса) Ряд сходится равномерно и абсолютно на отрезке , если модули его членов на этом же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами:

т.е. имеет место неравенство:

.

При этом говорят, что в этом случае функциональный ряд мажорируется числовым рядом .

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Так как всегда, то очевидно, что .

При этом известно, что обобщённый гармонический ряд при сходится, то в соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и притом в любом интервале.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

На отрезке выполняется неравенство т.е. по признаку Вейерштрасса на этом отрезке исследуемый ряд сходится, а на интервалах , расходится.

 

Степенные ряды

 

Определение. Степенным рядом называется ряд вида;

.

Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Применяем признак Даламбера:

.

Получаем, что этот ряд сходится при и расходится при .

Определим сходимость в граничных точках 1 и –1.

При имеем: ряд сходится по признаку Лейбница

При имеем: ряд расходится (гармонический ряд).

 

Теоремы Абеля

 

Теорема. (Первая теорема Абеля) Если степенной ряд сходится при , то он сходится и притом абсолютно для всех .

Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то

где k - некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство:

Из этого неравенства следует, что при численные величины членов нашего ряда будут меньше (во всяком случае не больше) соответствующих членов ряда правой части записанного выше неравенства, которые образуют геометрическую прогрессию. Знаменатель этой прогрессии по условию теоремы меньше единицы, следовательно, эта прогрессия представляет собой сходящийся ряд.

На основании признака сравнения делаем вывод, что ряд сходится, а значит ряд сходится абсолютно.

Таким образом, если степенной ряд сходится в точке , то он абсолютно сходится в любой точке интервала длины с центром в точке .

Следствие. Если при ряд расходится, то он расходится для всех .

Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких, что ряд абсолютно сходится, а при всех ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал называется интервалом сходимости.

Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым. Радиус сходимости может быть найден по формуле:

.

Пример. Найти область сходимости ряда

Находим радиус сходимости .

Следовательно, данный ряд сходится при любом значении х. Общий член этого ряда стремится к нулю:

Теорема. (Вторая теорема Абеля) Если степенной ряд сходится для положительного значения , то он сходится равномерно в любом промежутке внутри .

 

Раздел 7. Числовые и степенные ряды

Числовые ряды

 

1. Основные определения

Определение. Пусть - произвольная числовая последовательность. Формальное выражение вида

называется числовым рядом. Числа называются членами ряда, а – общим членом ряда.

Определение. Суммы , называются частичными суммами ряда.

Определение. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм. При этом число называется суммой ряда:

Определение. Если последовательность частичных сумм ряда не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся.

 

Свойства числовых рядов

 

1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если отбросить или добавить произвольное конечное число членов ряда.

2) Рассмотрим два ряда и , где С – постоянное число.

Теорема. Если ряд сходится и имеет сумму равную S, то ряд также сходится, и имеет сумму равную .

3) Рассмотрим два ряда и . Суммой (разностью) этих рядов называется ряд , где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.

Теорема. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно и , то ряд тоже сходится и его сумма равна .

Сумма (разность) двух сходящихся рядов также является сходящимся рядом.

Сумма сходящегося и расходящегося рядов является расходящимся рядом.

О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.

При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.