Ряды с неотрицательными членами

 

При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с неположительными членами.

Теорема. Для сходимости ряда с неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы частичные суммы ряда были ограничены.

Пусть даны два ряда и причём .

Теорема. (1-ый признак сравнения рядов с неотрицательными членами) Если при любом n, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Доказательство. Обозначим через и частные суммы рядов и . Т.к. по условию теоремы ряд сходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при всех n , где – некоторое положительное число. Но т.к. , то то частные суммы ряда тоже ограничены, а этого достаточно для сходимости.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Т.к. , а гармонический ряд расходится (доказательство ниже), то расходится и ряд .

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Т.к. , а ряд сходится (как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд тоже сходится.

Теорема. (2-ый признак сравнения рядов с неотрицательными членами) Если и существует предел , где h – число, отличное от нуля, то ряды и сходятся или расходятся одновременно.

Теорема. (Признак Даламбера) Если для ряда с положительными членами существует такое число , что для всех достаточно больших n выполняется неравенство

то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется условие

то ряд расходится.

Следствие. Если существует предел , то при ряд сходится, а при – расходится. Если , то признак ответа не даёт.

Пример. Определить сходимость ряда .

.

Вывод: ряд сходится.

Пример. Определить сходимость ряда

.

Вывод: ряд сходится.

Теорема. (Признак Коши) Если для ряда с неотрицательными членами существует такое число , что для всех достаточно больших n выполняется неравенство

,

то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство

то ряд расходится.

Следствие. Если существует предел , то при ряд сходится, а при ряд расходится. При признак ответа не даёт.

Пример. Определить сходимость ряда .

.

Вывод: ряд сходится.

Пример. Определить сходимость ряда .

т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимых условий сходимости. Как было сказано выше, если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю.

,

таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.

Теорема. (Интегральный признак Коши) Если – непрерывная неотрицательная функция, убывающая на луче , то ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Пример. Ряд сходится при и расходится так как соответствующий несобственный интеграл сходится при и расходится . Ряд называется обобщённым гармоническим рядом.

 

Знакочередующиеся ряды

Определение. Знакочередующимся рядом называется ряд:

где

Теорема. (Признак Лейбница) Если у знакочередующегося ряда абсолютные величины образуют убывающю последовательность: , а общий член стремится к нулю , то ряд сходится.

Знакопеременные ряды

Определение. Знакопеременным рядом называется ряд с членами произвольных знаков.

Рассмотрим знакопеременный ряд:

(6.1)

и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (6.1):

. (6.2)

Теорема. Из сходимости ряда (6.2) следует сходимость ряда (6.1).

Доказательство. Ряд (6.2) является рядом с неотрицательными членами. Если ряд (2) сходится, то по критерию Коши для любого существует число N, такое, что при и любом целом верно неравенство:

По свойству абсолютных величин:

То есть по критерию Коши из сходимости ряда (6.2) следует сходимость ряда (6.1).

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд .

Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.

Определение. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд расходится.

Теорема. Если ряд сходится условно, то для любого наперёд заданного числа (включая или ) члены ряда можно переставить таким образом, чтобы его сумма была равна этому числу ( или ).

Пусть - знакопеременный ряд.

Теорема. (Признак Даламбера) Если существует предел , то при ряд сходится абсолютно, а при ряд расходится. При признак ответа не дает.

Теорема. (Признак Коши) Если существует предел , то при ряд сходится абсолютно, а при расходится. При признак ответа не дает.