Практикум «Расчеты тепломассопереноса в реках и водоемах»

 

Задача 1. Расчёт вертикального распределения температуры воды в водоёме при открытой водной поверхности (без учёта факторов гидродинамики)

 

Постановка задачи

Условиям задачи соответствует уравнение(8) в виде:

(40)

И соответствующая конечно-разностная схема (35), которая может быть получена следующим образом.

Опустим через водную массу полуось Z от поверхности вниз по направлению к дну водоёма. Тогда решение задачи будет построение графика температуры по глубине для каждого заданного момента времени. Такому решению соответствует, конечно-разностная сетка (рис. 4) с начальными и граничными условиями:

при и при .

 

 

Рисунок Со стр 17

 

 

рис. 4

 

Для решения уравнения (40) необходимо получить зависимость перехода от одного слоя времени к другому. Получим её для сетки с постоянными шагами как по времени (), так и по глубине ().

Уравнение (40), вписанное в конечных разностях

 

(41)

для точки с координатами верно в том случае, если мы учтём различия в изменении температуры по глубине на интервалах выше узла сетки и ниже его, откуда вторая производная будет иметь вид

(42)

Производная от температуры по времени для узла сетки имеет вид

(43)

Подставляя выражения производных в конечных разностях через углы сетки, получим

откуда

(44)

Подбирая величину шагов и или константы коэф­фициента правой части из условия его равенства единице:

, (45)

получим . (46)

Таким образом, температура воды в очередном узле сетки ищется как полу сумма температур из выше и нижерасположенных узлов на предыдущем слое времени. Очевидно, что граничное условие поверхности должно быть дополнено граничным условием на заданной глубине (или по дну водоёма). Тогда возможны различные варианты исследования с помощью ЭВМ. Например, при заданных реальных начальным и граничных условиях определяется время достижения температуры поверхности искомой величины. Или при тех же граничных условиях и при условиях гомотермии определяется время выхолаживания (осень) и время прогревания (весна) водоёма. При выводе решения на экран в виде таблицы или графика появляется возможность расширения круга задач по анализу изменения температуры воды по глубине водоёма.

Пример решения

Рассчитать выхолаживание воды в водоёме за ночь, если в 21 час наблюдалось состояние изотермии, т.е. температура воды по всей глубине равнялась .

Тепловой поток с поверхности воды

.

Из условия , принимая , определяем

Тогда из следует, что постоянная величи­на для границы атмосфера - вода равна

Результаты расчёта можно свести в таблицу и представить в виде графиков (рис. 5).

 

 

Таблица. Расчет выхолаживания воды в водоеме

 

Результаты расчёта могут быть представлены в виде графика (рис. 5)

Рис.5. Распределение температуры воды по глубине

 

 

Задача 2. Расчёт теплообмена в ложе водоёма

Постановка задачи

Ограничения:

- рассматривается теплообмен, происходящий между грунтом и водой, без учёта тепла геотермического происхождения;

- рассматривается плоская (одномерная) задача (что справедливо для неглубоких равнинных водоёмов);

- распределение тепла в грунте происходит исключительно за счёт его теплопроводности (без учёта тепломассообмена грунтовыми водами).

Рассмотрим количество тепла, передаваемое придонными слоями воды ложу:

(47)

и соответствующее тепло, получаемое ложем:

(48)

где и - соответственно теплопроводность воды и грун­та, насыщенного водой; и - соответственно градиенты температуры воды в придонном слое и температуры ложа в привод­ном его слое.

Тогда, ставя в соответствие изменение температу­ры во времени изменению теплопотока по нормали к поверхности:

(49)

и подставляя в (49) (48), получаем

, (50)

что соответствует уравнению Фурье

. (51)

где .. (52)

Будем рассматривать полуплоскость, ограниченную осями , с условиями однозначности:

a=const

при =0,

при Z=0,

при H=0,

где: время, Z - глубина; H - заданная глубина; a – средний коэффициент теплопроводности грунта. Запишем уравнение (50) в конечных разностях аналогично (41), для которого справедливы рассуждения, приведённые выше (задача 1). Тогда решением задачи будет система уравнений, дополненная условиями однозначности (52) и расчётом коэффициента температуропроводности (51):

(53)

(54)

При использовании приведённого метода рекомендуется:

1) Интервал времени, обеспечивающий достаточную точность расчёта, принимать равным не более пяти суток.

2) Температуру поверхности дна принимать по температуре придонных слоёв воды.

3) Начальное распределение температуры задавать по линейному закону от температуры поверхности дна до среднемноголетней температуры грунтов. Так как решение является годовой цикл теплообмена в ложе водоёма, представленный серией эпюр температуры, то рекомендуется повторять расчёт годового хода при пяти- и десятилетнем периоде стационирования. При этом в качестве начальных условий при повторном расчёте задавать распределение температур по вертикали, полученное в предыдущем годовом цикле.

4) Окончание расчёта считать достижение пучком эпюр температуры заданного расхождения температур по расчётной глубине.

5) Расчёт вести в предположении, что дно водоёма представляет собой горизонтальную однородную поверхность, а колебания температуры у дна являются периодической функцией. Теплопроводность, плотность и теплоёмкость принимать для песчано-глинистых грунтов.

 

Пример решения

Рассчитать распределение температуры в грунте ложа мелководного водоёма в период открытого русла, если известно, что грунт состоит из влажного песка () и дано начальное распределение температуры.

Расчет выполняем в таблице, принимая . Из условия (54) следует, что

.

Тогда

.

Представим результаты расчёта в виде таблицы.

 

Таблица. Расчет теплообмена в ложе водоема

 

Результаты расчёта могут быть представлены в виде графика (рис. 6)

 

Рис.6. График хода температуры по глубине