Выбор схемы решения задачи массопереноса в воде

Большинство методов расчета температуры воды водных объектов, которые опи­саны в, методических указаниях и различных научных изданиях, пре­дусматривают использование уравнения теплопроводности с некоторыми ограничения­ми. Например, в работе [7] рекомендуется уравнение

. (1)

Там же дан краткий обзор существующих методов расчета переноса тепла в водотоке и предложена общая схема решения одномерной задачи с учетом колебания уровня-воды в виде

(2)

где — средняя по поперечному сечению температура воды; t₃=t₃(x, τ), t_h = t_h(x, τ)—средние температуры поверхности и дна; t_+b/2 и t_-b/2 — температуры на правом и левом берегах, t_+-b/2 = t_+-b/2(x, τ); з = з(х, т) — превышения уровня воды над равновесным; h = h(x)—невозмущенная глубина потока; b/2 = b/2(х) — полуширина потока (ось X направлена вдоль осевой линии потока); S_пов, S_дна, S_b/2, S-_b/2 — ве­личины удельных теплопотоков через верхнюю, нижнюю и боковые поверхности водото­ка; V- средняя скорость потока на сечении вдоль оси X; τ — время; с — удельная теплоемкость воды; р — плотность воды.

Для замыкания решения уравнения (2) необходимо параметризовать профиль температуры и задать краевые условия. В простейшем случае при параметризации

(3)

формула (2) преобразуется:

(4)

 

Уравнение (4) описывает тепловой баланс некоторого сечения водотока.

Уравнение (2) является квазилинейным из-за нелинейной зависимости его пра­вой части от температуры. В настоящее время метод конечных разностей является единственным, позволяющим найти эффективное решение таких уравнений. При гидрологических расчетах с помощью (2) и (4) выбор конечно-разностной схемы решения имеет важное значение. Это обусловлено малой изученностью гидро- и термодинамики водотоков, отсутствием подробных гидрометеорологических данных наблюдений, а также сложностью реализации балансовых задач на ЭВМ. Ниже на примере уравне­ний (1) и (4) излагается и анализируется наиболее общий вариант конечно-разност­ной схемы для решения тепло балансовых задач.

Метод конечных разностей физически означает переход от непрерывной среды к некоторой ее дискретной модели, поэтому будем предполагать, что (1) соответствует интегральное уравнение баланса тепла в рассматриваемой области G:

. (5)

Здесь в, правой части уравнения теплопроводности (1) оставлен диффузионный член по у. Проинтегрируем формулу (5) для элементарного объема со сторонами, па­раллельными осям координат, делая предположение о линейном характере изменения температуры по всем, координатам. Это допустимо для достаточно малого по разме­рам объема, в пределах которого процесс теплопередачи равномерный. При численном интегрировании используем следующие допущения и преобразования: t — линейная функция переменных х и τ; =const (т. е. V_x линейно зависит от х) и V_x не зави­сит от τ; линейно зависит от z; с и p — постоянные величины, и воспользуемся их общепринятой гипотезой о пропорциональности потока тепла q градиенту температу­ры t:

q = - λ grad t

В реальных условиях теплопоток обусловлен не только градиентом температуры, но и множеством других факторов, подчас вообще не поддающихся учету. Предполо­жение о линейности функции t по каждой из координат при приближенном вычисле­нии соответствующих интегралов дает возможность оставить в формуле трапеций только два члена.

Для первого слагаемого уравнения (5) получаем при последовательном числен­ном интегрировании:

.

Интегрирование второго слагаемого в (5) при сделанных предположениях приводит к выражению

 

Предполагая линейную зависимость теплопотоков S_пов и S_дна от х и τ и независи­мость их от у, можно записать правую часть уравнения (5) в виде

 

 

 

Применительно к мелководному и хорошо перемешиваемому водоему значение

температуры воды по глубине можно усреднить, тогда (5) после интегрирования представим следующим образом:

(6)

Уравнение (6) представляет собой уравнение баланса энергии отсека воды с разме­рами Δx*b*h (Δx — длина, b - ширина, h — глубина) и является конечно-разност­ной аппроксимацией дифференциального уравнения (1) с параметризацией (3). Полу­ченная при помощи интегро- интерполяционного метода конечно-разностная аппрокси­мация должна аппроксимировать и уравнение (4). Проверим это, пользуясь рекомен­дациями [8].

Уравнение (4) можно рассматривать как уравнение переноса

(7)

 

где: (t_к и t_н — конечная и начальная температуры), для которого формулируется краевая задача, когда при х=о задано граничное значение t_K (0, τ) = μ(τ), τ 0, и решение ищется при х > 0, τ > 0. При τ = 0 t_K (х, 0) = t₀(х), x 0, причем t₀(0) = μ(0).

Построим основную сеть t^j_i (i = 0, 1, 2, 3,...; j=0, 1, 2, 3,...) с постоянными шагами Δx = t_i+1 – t_i и Δτ = t^j+1 - t^j. Обозначив эту сеть D_Δx,Δτ, введем в рассмот­рение сеть D_Δx/2,Δτ/2, полученную с помощью D_Δx,Δτ добавлением к ней узловых точек {t_i+1/2} и { t^j-1/2, совпадающих с серединами интервалов [t_i, t_i+1] и [t^j, t^j+1] [9]. Используем схему вида

 

(8)

 

и примем

 

(9)

 

Полученная схема по форме записи соответствует физике процесса, так как в гидрофизических задачах обычно принимается, что

 

(10)

т. е. правая часть уравнения (8) зависит от средней температуры по Δτ и Δх.

Уравнение (6) идентично системе (8)—(10), при этом правая часть найдена не через средние по Ах и Лт интервалы, а в тех же узлах сетки D_Δx,Δτ. Правомерность физических и математических допущений, принятых при интегрировании уравнения

(5) и выборе схемы (8), можно проверить сведением уравнения (6) к обычному [4, 10] уравнению теплового баланса в теплопотоках с помощью осреднения входящих в

(6) величин. Левая часть (6) при этом примет вид:

ЛЧ =

где: ^x,z — результат осреднения температуры по глубине и длине элементарного от­сека воды; ^z— результат осреднения скорости движения воды по глубине элемен­тарного отсека; t^τ,z — результат осреднения температуры за период времени Δτ = τ₂ – τ_i

Для правой части уравнения (6) получаем

 

ПЧ =

где: ^{Δx, b,Δτ} и ^{Δx, b,Δτ}_дна - результат осреднения суммы теплопотоков по горизонталь­ной и вертикальной поверхностям элементарного объема за промежуток времени Дт. Окончательно можно записать

,

что соответствует конечно-разностной схеме (8).

Выражая скорость через расход соответствующего створа b*h, получаем урав­нение теплового баланса призматического отсека воды в виде

, (11)

где t_1, t₂ — средняя температура верхнего и нижнего створов; t_H, t_K—средние значе­ния начальной и конечной температур отсека; Q_u Qz — расходы воды через верхний и нижний створы. Рассматривая слагаемые, выражающие адвективный перенос тепла, можно предположить, что = Q₁ = Q₂, тогда cρΔτ _1,2 представляет собой тепловой приток G₁ и сток G₂ с рассматриваемого участка с размерами b*h*Δx.

Изменение теплосодержания участка водотока за период Δτ можно записать как ΔG=cρbhΔx(t_K-tн). Остальные слагаемые характеризуют величину теплопотока че­рез поверхность, дно участка ΣS_i, а также боковой теплоприток ΣS_б, тогда

 

G₁ – G₂ +ƩS_σ + ƩS_i = ΔG, (12)

 

что соответствует рекомендациям [10].

Уравнение (12) для расчета термического режима водоема обычно [11] исполь­зуется в форме (И), которая связывает среднюю, начальную и конечную температуры отсека воды за период Дт с температурой верхнего и нижнего створов участка, а также со средней за тот же период, т. е. соответствует схеме (8). При его применении для практических расчетов вводят связь между температурой воды створов отсека воды и средней температурой отсека

 

t_ср = 0,5 (t₂ + t₁) (13)

 

а также связь средней по объему температуры воды с конечной и начальной темпе­ратурами

t_ср = 0,5 (t_к + t_н).

Тогда t_к - t_н = 2(t_ср - t_к ), t₂ - t₁ = 2(t_ср - t₁ ) (14)

 

и уравнение (11) запишется следующим образом:

bhΔx(t_ср – t_н) + Δτ(Q₂t_ср – Q₁t₁) = (15)

Уравнение (15) позволяет выполнять расчеты термического режима водоемов, но не­чувствительность к изменению уровня по длине водотока и во времени снижает точ­ность результатов.

В отличие от (15) в формулах (2) и (4) учитывается распределение температуры, воды по сечению с использованием информации об изменениях морфометрических ус­ловий и не стационарности движения воды. Кроме того, эти уравнения идеально приспособлены для реализации на ЭВМ.

Рассмотрим частный случай. Пусть или V = 0, тогда из (7) получаем

(16)

 

Соответственно схема (8) преобразуется в схему

, (17)

которая решается методом итераций (подбором численного значения t^j-1/2), входящего в правую и левую части уравнения (17)).

Интересно отметить, что схема (17) и использованная связь (14) совпадают с рекомендациями Б. А. Браславского [11] для расчета термического режима в непро­точном водоеме. Отличие в том, что схема (14) записана в более общем виде и под­бор

t^j-1/2 предусматривается не графоаналитически, а численно на ЭВМ.

Для неподвижного водоема Д. И. Бибиковым и Н. Н. Петруничевым [3] при­ведена графоаналитическая схема решения уравнения (16). В ее основе лежит связь (14), так как решение ищется как среднее за период Δτ. Там же рассмотрен пример решения задачи проектирования распределения температуры по длине водотока. В ос­нову предлагаемого способа положено уравнение (4) при допущениях (13) и при пре­небрежении первым членом уравнения (4).

Очевидно, что система (8) — (10) является наиболее общим вариантом решения прикладной задачи теплопереноса.

Summary

The methods of approximation of water channel temperature are compared with the use of the transfer equation. The general formulation of the problem is proposed together with its conventional variants.

Литература

1. Методические рекомендации к расчету водохранилищ-охладителей. ТЭС ПЗЗ — 75, ВНИИГ. Я., 1976. 97 с.

2. Указания по термическому расчету водо­хранилищ/Сост. А. И. Пехович, В. М. Жидких. ВСН 18 — 68, Минэнерго СССР. Л., 1969. 70 с;

3. ВСН 46 — 71, Минэнерго СССР. Л., 1972. 71 с.

4. Бибиков Д. И., Петруничев Н. В. Ледовые затруднения на гидростанциях. М.; Л., 1950. 159 с.

5. Готлиб Я- Л., Жидких В. М.;- Сокольников Н. М. Тепловой режим во­дохранилищ гидроэлектростанций. Л., 1976. 203 с.

6. Пивоваров А. А. Термика замерзающих водоемов. М., 1972. 140 с.

7. Российский К., И. Термический ре­жим водохранилищ. М., 1975. 167 с.

8. Константинов А. Р., Трушев­ский В. Л., Химии Н. М. Оценка влияния изъятия стока на тепловой режим про­точного водоема (постановка задачи). — В кн.: Гидрометеорологическое обеспечение народного хозяйства. Л., 1982, с. 112—118.

9. Годунов С. К, Рябенький В. С, Разностные схемы. Введение в теорию. М., 1977. 213 c$ 9. М а р ч у к Г. И. Методы вычислительной математики. М.,, 1977. 455 с.

10. Спицын И. П., Винников С. Д., Трушевский В. Л., Дивногорская Е. Ю. Балансовая модель термического режима устьевого взморья (на примере Обской губы). — Труды Арктич. и антарктич. науч.-исслед. ин-та, 1982, т. 378, с. 138—159.

11. Б р а с л а в с к и й А. П., Викулина 3. А. Нормы испарения с поверхности водохранилища. Л., 1964. 212 с.

12. А 1 b i-g n о t I. P., Boutin C, I s a k a H. Estimation du bilan thermique et de la temperature moyenne de la couche de melange d'un lac profond a l'aite de donnes meteorolo-giques de routine. — Archiv fur Meteorologie, Ge'ophysik und Bioklimatologie, Ser. A, 1979, Bd 28, N 1, p. 71—87.