Тема: Интерполирование функций

Пусть функция задана таблично, либо вычисление ее требует громоздких выкладок. Заменим приближенно функцию на какую-либо функцию , так, чтобы отклонение от было в заданной области в некотором смысле минимальным. Подобная замена называется аппроксимацией функции , а функция – аппроксимирующей (приближающей) функцией.

Классический подход к решению задачи построения приближающей функции основывается на требование строгого совпадения значений и в точках (, т. е.

. (3.1)

В этом случае нахождение приближенной функции называют интерполяцией (или интерполированием), точки – узлами интерполяции.

Часто интерполирование ведется для функций, заданных таблицами с равноотстоящими значениями аргумента . В этом случае шаг таблицы является величиной постоянной. Для таких таблиц построение интерполяционных формул (как, впрочем, и вычисление по этим формулам) заметно упрощается.

 

Задание 1

По заданной таблице значений функции составить формулу интерполяционного многочлена Лагранжа (3.2) и построить график Исходные данные берутся из таблицы 3.1.

+ + (3.2)

Tаблица 3.1.

№
				-1	-4
					-2
	-3	-1			-1
				-3	-7
	-2	-1
					-3
	-4	-2
	-1	1.5			-7
				-1	-6
	-9	-7	-4		-3
					-1
	-7	-5	-4		-4

Задание 2

Вычислить одно значение заданной функции для промежуточного значения аргумента () с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа (3.3) и оценить погрешность интерполяции. Для выполнения задания исходные данные берутся из таблицы 3.2, 3.3 или 3.4.

(3.3)

Для погрешности выполняется неравенство

, (3.4)

где

Таблица 3.2

№ варианта	Значение а	№ таблицы
	-2	3.3
	3.77	3.4
	0.55	3.3
	4.83	3.4
	3.5	3.3
	5.1	3.4
	1.75	3.3
	4.2	3.4
	-1.55	3.3
	6.76	3.4

 

Таблица 3.3

	-3.2	-0.8	0.4	2.8	4.0	6.4	7.6
	-1.94	-0.61	0.31	1.81	2.09	1.47	0.68

 

Таблица 3.4

	1.3	2.1	3.7	4.5	6.1	7.7	8.5
	1.777	4.563	13.84	20.39	37.34	59.41	72.4

 

Таблица 3.5

	0.10	0.15	0.20	0.25	0.30	0.35	0.40
	0.995	0.988	0.980	0.969	0.955	0.939	0.921

 

Таблица 3.6

	0.65	0.70	0.75	0.80	0.85	0.90	0.95
	0.605	0.644	0.681	0.71	0.75	0.783	0.813

Задание 3.

Уплотнить часть таблицы заданной на отрезке функции, используя интерполяционный многочлен Ньютона (3.5) и оценить погрешность интерполяции D (формула (3.6)). Таблицу 3.7 конечных разностей просчитать вручную на отрезке с шагом . Для выполнения задания исходные данные берутся из таблиц 3.8, 3.5 и 3.6.

+ ³ y ₀, (3.5)

где .

, (3.6)

где – некоторая внутренняя точка наименьшего промежутка, содержащего все узлы и x.

Формула (3.5) называется первой интерполяционной формулой Ньютона. Если вычисляемое значение переменной ближе к концу отрезка , то применяют вторую формулу Ньютона – интерполирование назад (формула (3.6)).

+ ³ y _n-3 (3.6)

где и

 

Таблица 3.7

		= -
		=
		=

 

Таблица 3.8

№					№ таблицы
	0.65	0.80	0.05	0.01	3.6
	0.25	0.40	0.05	0.025	3.5
	0.75	0.90	0.05	0.01	3.6
	0.70	0.85	0.05	0.025	3.6
	0.80	0.95	0.05	0.025	3.6
	0.1	0.25	0.05	0.025	3.5
	0.15	0.3	0.05	0.025	3.5
	0.7	0.85	0.05	0.025	3.6
	0.2	0.35	0.05	0.01	3.5
	0.80	0.95	0.05	0.01	3.6

Приблизний фрагмент виконання роботи

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1. У чому особливість наближення табличний заданої функції методом інтерполяції?

2. Як обгрунтовується існування і єдиність інтерполяційного многочлена?

3. Який зв'язаний ступінь інтерполяційного многочлена з кількістю вузлів інтерполяції?

4. Як будуються інтерполяційні многочлени Лагранжа і Ньютона?

5. У чому особливості цих двох способів інтерполяції?

6. Як проводиться оцінка погрішності методу інтерполяції многочленом Лагранжа?

7. Як використовується метод інтерполяції для уточнення таблиць функцій?

8. У чому відмінність між першою і другою інтерполяційними формулами Ньютона?

 

Лабораторна робота №6

Тема: Апроксимація залежностей методом найменших квадратів

Завдання 1

У MathCad побудувати методом найменших квадратів дві емпіричні формули: лінійну і квадратичну. У разі лінійної функції задача зводиться знаходженню параметрів і із системи лінійних рівнянь

, де

, , , M_y= _i

а у разі квадратичної залежності до знаходження параметрів , і із системи рівнянь:

, де

, ,

Вибрати з двох функцій найбільш відповідну. Для цього скласти таблицю для підрахунку суми квадратів відхилень по формулі:

Приклад 1:

Варіанти завдань:

№
		0.5	0.1	0.4	0.2	0.6	0.3	0.4	0.7	0.3	0.8
	1.8	1.1	1.8	1.4	2.1	1.8	1.6	2.2	1.5	2.3
		1.7	1.5	3.7	1.1	6.2	0.3	6.5	3.6	3.8	5.9
	1.5	1.4	1.6	1.3	2.1	1.1	2.2	1.8	1.7	2.3
		1.7	1.1	1.6	1.2	1.9	1.5	1.8	1.4	1.3	1.0
	6.7	5.6	6.7	6.1	7.4	6.9	7.9	5.9	5.6	5.3
		1.3	1.2	1.5	1.4	1.9	1.1	2.0	1.6	1.7	1.8
	5.5	5.9	6.3	5.8	7.4	5.4	7.6	6.9	6.6	7.5
		2.3	1.4	1.0	1.9	1.5	1.8	2.1	1.6	1.7	1.3
	5.3	3.9	2.9	5.0	4.0	4.9	5.1	4.5	4.1	3.7
		1.8	2.6	2.3	1.3	2.0	2.1	1.1	1.9	1.6	1.5
	4.4	6.4	5.3	3.7	4.9	5.6	3.0	5.0	4.3	3.7
		1.9	2.1	2.0	2.9	3.0	2.6	2.5	2.7	2.2	2.8
	6.6	7.6	6.7	9.2	9.4	7.8	8.4	8.0	7.9	8.7
		2.0	1.4	1.0	1.7	1.3	1.6	1.9	1.5	1.2	2.1
	7.5	6.1	4.8	7.4	5.7	7.0	7.1	6.8	6.0	8.9
		2.0	1.2	1.8	1.9	1.1	1.7	1.6	1.4	1.5	1.3
	7.5	5.9	7.0	8.0	5.0	7.4	6.4	6.6	6.3	5.7
		1.9	1.1	1.4	2.3	1.7	2.1	1.6	1.5	1.0	1.2
	4.7	3.4	3.8	5.2	4.6	5.5	3.9	3.9	3.2	3.5

Реалізація методу найменших квадратів в табличному процесорі Microsoft Excel:

Завдання 2

Визначити математичну залежність кількості виїздів пожежних частин від календарного року, використовуючи метод найменших квадратів. Скласти прогноз на 2011 рік.

У наведених залежностях n – число пар точок х та у.

Коефіцієнт а знаходимо у клітині В11 за формулою:

=(7*СУММПРОИЗВ($B$3:$H$3;$B$4:$H$4)-СУММ($B$4:$H$4)* СУММ($B$3:$H$3))/(7*СУММПРОИЗВ($B$3:$H$3;$B$3:$H$3)-СУММ($B$3:$H$3)^2).

Коефіцієнт b знаходимо у клітині В12 за формулою:

=(СУММ($B$4:$H$4)-B11*СУММ($B$3:$H$3))/7.

Перевірку знайденої залежності виконуємо шляхом порівняння значень у діапазонах B4:H4 I B14:H14. Похибку можна оцінити в процентах за формулою:

=ABS(B4-B14)/B4*100

для кожної пари значень або графічно.

Прогноз на 2008 рік знаходимо в клітині В17 за формулою

=В11*В16+В12.

Множинна лінійна регресія

Приклад 2. Припустимо, що забудовник оцінює вартість групи невеликих офісних будинків у традиційному діловому районі.

Забудовник може використовувати множинний регресійний аналіз для оцінки ціни офісного будинку в заданому районі на основі наступних змінних.

Змінна	Зміст змінної
y	Оцінна ціна будинку під офіс
x1	Загальна площа в квадратних метрах
x2	Кількість офісів
x3	Кількість входів
x4	Час експлуатації будинку в роках

У цьому прикладі передбачається, що існує лінійна залежність між кожної незалежної перемінною (x1, x2, x3 і x4) і залежної перемінний (y), тобто ціною будинку під офіс у даному районі.

Забудовник навмання вибирає 11 будинків з наявних 1500 і одержує наступні дані.

Рисунок 18 – Таблиця статистичних даних

«Пів-входу» (1/2) означає вхід тільки для доставки кореспонденції. Виділяємо клітини А14:Е18 і вводимо у них як масив приведену нижче функцію:

ЛИНЕЙН(E2:E12;A2:D12;ИСТИНА;ИСТИНА)

Функція повертає наступні результати:

Обчислені коефіцієнти рівняння регресії

Рівняння множинної регресії y = m1*x1 + m2*x2 + m3*x3 + m4*x4 + b тепер може бути отримане з рядка 14:

y = 27,64*x1 + 12530*x2 + 2553*x3 - 234,24*x4 + 52318

Тепер забудовник може визначити оцінну вартість будинку під офіс у тім же районі, що має площу 2500 квадратних метрів, три офіси, два входи, будинку 25 років, використовуючи наступне рівняння y = 27,64*2500 + 12530*3 + 2553*2 - 234,24*25 + 52318 = 158 261.

Завдання 3

1. Підібрати залежність ціни автомобіля від початкової ціни, року випуску, пробігу та оцінки стану у балах:

Х1 - початкова ціна, грн.	Х2 – рік випуску	Х3 – пробіг, км	Х4 – оцінка стану у балах	У – поточна ціна, грн.

Виконати перевірку знайденої залежності за рядками таблиці. Обчислити похибку за кожним рядком у процентах. Побудувати графіки поточної ціни за табличними даними та розраховані за знайденою залежністю.