Рішення задач лінійної алгебри. Операцї над векторами та

Обчислювальна математика

Методичні вказівки

до лабораторних робіт

 

для студентів спеціальностей напрямку 6.100102 "Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва"

 

Затверджено на засіданні кафедри ОТ і ПМ. Протокол № 1 від 27.08.2010 р.

 

Кіровоград – 2010

Обчислювальна математика. Методичні вказівки до лабораторних робіт для студентів спеціальностей напрямку 6.100102 "Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва" / К.М. Марченко – Кіровоград: КНТУ, 2010. – 68 с.

 

Для студентів спеціальностей напрямку 6.100102 "Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва" при вивченні навчальної дисципліни„Обчислювальна математика”. Визначено тематику лабораторних робіт, подано довідку про необхідний для їх виконання обсяг знань, приведені варіанти індивідуальних робіт.

 

Автор-укладач:

Марченко Костянтин Миколайович - канд. техн. наук, доцент кафедри обчислювальної техніки та прикладної математики

Зміст

Вступ................................................................................................................... 3

Лабораторна робота №1. Метоли дослідження математичних

функцій................................................................................................................ 4

Лабораторна робота №2. Рішення задач лінійної алгебри.

Операцї над векторами та матрицями....................................................... 8

Лабораторна робота №3. Обчислення коренів поліному.

Розв’язування систем лінійних рівнянь...................................................... 12

Лабораторна робота №4. Розв’язування нелінійних рівнянь та

систем нелінійних рівнянь.............................................................................. 16

Лабораторна робота №5. Розв’язування дифференційних рівнянь

та систем дифференційних рівнянь............................................................. 20

Лабораторна робота №6. Чисельне інтегрування та дифферен-ціювання функцій 24

Лабораторна робота №7. Методи інтерполяції функцій...................... 28

Лабораторна робота №8. Аппроксимація залежностей за

масивами даних................................................................................................ 32

Лабораторна робота №9. Рішення задач оптимізаційного типу........ 36

Література......................................................................................................... 40

Вступ

Обчислювальна математика (ОМ) - це розділ математики, що включає коло питань, зв'язаних з використанням електронних обчислювальних машин (ЕОМ). Часто термін ОМ розуміється також як теорія чисельних методів і алгоритмів вирішення типових математичних завдань.

В ОМ можна виділити наступні три великі розділи. Перший пов'язаний із вживанням ЕОМ в різних областях наукової і практичної діяльності і може бути охарактеризований як аналіз математичних моделей. Другий — з розробкою методів і алгоритмів вирішення типових математичних задач, що виникають при дослідженнях математичних моделей. Третій розділ пов'язаний з питанням про спрощення взаємин людини з ЕОМ, включаючи теорію і практику програмування завдань для ЕОМ, у тому числі автоматизацію програмування завдань.

Аналіз математичних моделей включає вивчення постановки задачі, вибір моделі, аналіз і обробку вхідної інформації, чисельне рішення математичних задач, що виникають у зв'язку з дослідженням моделі, аналіз результатів обчислень, і, нарешті, питання, пов'язані з реалізацією отриманих результатів.

Використання математичних моделей дозволяє виконувати дослідження не з реаальними об’єктами, наприклад машинами під час їх розробки та удосконалення, а з комп’ютерними програмами, що значно зменшує витрати коштів та часу.

Вивчення реальних явищ на основі аналізу побудованих моделей як правило, вимагає розвитку чисельних методів і залучення ЕОМ. Таким чином, в ОМ важливе місце займають чисельні методи вирішення поставлених математичних задач.

Як приклад типових задач ОМ можна назвати задачі лінійної алгебри, чисельні методи диференціювання і інтегрування функцій одної або декількох змінних; чисельні методи рішення звичайних диференціальних рівнянь. Значне число досліджень присвячене чисельним методам вирішення рівнянь з частковими похідними. Тут великий напрям складають «економічні методи», тобто методи, що дозволяють отримувати результати при відносно малому (економному) числі операцій.

Напрямом ОМ, що швидко розвивається, є чисельні методи оптимізації. Завдання оптимізації полягає у вивченні екстремальних (найбільших або найменших) значень функціоналів на певній множині.

Одним із спеціалізованих середовищ для рішення задач обчислювальної математики на ЕОМ є пакет прикладних програм автоматизованих математичних розрахунків MathCad.

Робота з документами MATHCAD не вимагає обов'язкового використання можливостей головного меню, оскільки основні з них дублюються кнопками швидкого управління, які розташовані в зручних переміщуваних за допомогою миші набірних панелях-палітрах. Набірні панелі з'являються у вікні редагування документів при активізації кнопок-піктограм. Вони служать для виведення заготовок-шаблонів математичних знаків (цифр, знаків арифметичних операцій, матриць, знаків інтеграла, похідних, границь та ін.).

Основні математичні панелі інструментів наведені на рис. 1:

Рисунок 1 – Основні математичні панелі інструментів MathCad

Лабораторна робота №1

Рішення задач лінійної алгебри. Операцї над векторами та

Матрицями

Для дій із векторами та матрицями використовується панель інструментів Matrix:

а також меню команд Symbolics/ Matrix.

Приклади операцій над векторами і матрицями можна переглянути у середовищі MathCad Help/ Resource Center/ Quick Sheets/ Vectors and Matrices.

Функії для операцій із веторами:

lenght (V)	повертає довжину вектора;
last (V)	повертає індекс останнього елемента;
max (V)	повертає максимальний за значенням елемент;
min (V)	повертає мінімальний за значенням елемент;
Re (V)	повертає вектор дійсних частин вектора з комплексними елементами;
Im (V)	повертає вектор уявних частин вектора з комплексними елементами;

Функії для операцій із матрицями:

Augment(M1, M2)	Поєднує в одну матрицю матриці М1 и М2, які мають однакову кількість рядків;
identity (n)	Створює одиничну квадратну матрицю розміром n*n;
stack (M1, M2)	Объединяет в одну матрицы М1 и М2, имеющие одинаковое число столбцов, располагая М1 над М2;
Re (M)	Повертає матрицю дійсних частин матриці М з комплексними елементами;
Im (M)	Повертає матрицю уявних частин матриці М з комплексними елементами;

Специальні характеристики матриць:

cols (M)	повертає кількість стовпчиків матриці М;
rows (M)	повертає кількість рядків матриціМ;
tr (M)	повертає суму діагональних елементів квадратної матриці М;

Функції для сортування векторів і матриць:

sort (V)	Сортування елементів вектора за зростанням значень;
reverse (V)	Сортування елементів (після sort) у зворотньому порядку;
csort (M,n)	Сотрування матриці за n-стовпчиком;
rsort (M,n)	Сотрування матриці за n-рядком;

Завдання:

Виконати операції над векторамим та матрицями згідно варіантам (для застосування деяких функцій вектори-рядки при необхідності транспонувати у вектори-стовпці):

Таблиця 7 – Початкові дані для обробки векторів і матриць:

Завдання	№ варіанта
1. Вивести кількість елементів вектора, максимальний елемент і останній елемент
2. Транспонувати вектор	V1	X	T	Z	R
3. Знайти суму векторів	V1+V2	X+Y	T+U	Z+S	R+O
4. Визначити суму елементів вектора	V1	Y	U	S	O
5. Знайти значення функції	cos(V1)	Y^3		5∙sin(Z)	3∙ctg®
6. Вивести кількість рядків та стовпчиків матриці
7. Транспонувати матрицю	A	N	K	M	L
8. Знайти визначник матриці
9. Знайти обернену матрицю	B^-1	M^-1	L^-1	Q^-1	D^-1
10. Знайти значення функції	A^2	tg(N)	cos (K)	ctg(M)	sin(L)
11. Відсортувати вектор у прямому та зворотному порядку	V1	X	T	Z	R
12. Упорядкувати матрицю за стовпчиком та рядком	A	N	K	M	L
13. Виділити з матриці вектор-стовпець	A	M	L	Q	D
14. Знайти			K1,1^2-	M2,3+Q3,2^2	L1,2+D2,2
15. Обчислити	-A/2	-N^2			-L^4
16. Додати в кінець матриці вектор-стовпець	A	N	L	Q	D
17. Виділити дійсну та уявну частину матриці
18. Задати одиничну матрицю Розміром	M1 4x4	K 3x3	Z 5x5	E 4x4	K 3x3
19. Знайти суму діагональних елементів матриці	M1	K	Z	E	K
20. Знайти векторний добуток

Продовження таблиці 7

Завдання	№ варіанта
1. Вивести кількість елементів вектора, максимальний елемент і останній елемент
2. Транспонувати вектор	V1	X	T	Z	R
3. Знайти суму векторів	V1+V2	X+Y	T+U	Z+S	R+S
4. Визначити суму елементів вектора	V1	Y	U	S	O
5. Знайти значення функції	cos(V2)	Y^2		5∙sin(Z)	3∙ctg(R)
6. Вивести кількість рядків та стовпчиків матриці
7. Транспонувати матрицю	A	N	K	M	L
8. Знайти визначник матриці
9. Знайти обернену матрицю	B^-1	M^-1	L^-1	Q^-1	D^-1
10. Знайти значення функції	A^2	сtg(N)	cos (K)	tg(M)	sin(L)
11. Відсортувати вектор у прямому та зворотному порядку	V1	X	T	Z	R

 

12. Упорядкувати матрицю за стовп-чиком та рядком	A	N	K	M	L
13. Виділити з матриці вектор-стовпець	A	M	L	Q	D
14. Знайти			K1,1^2-	M2,3+Q3,2^2	L1,2+D2,2
15. Обчислити	-A/2	-N^2			-L^4
16. Додати в кінець матриці вектор-стовпець	A	N	L	Q	D
17. Виділити дійсну та уявну частину матриці
18. Задати одиничну матрицю Розміром	M1 5x5	K 2x2	Z 5x5	E 4x4	K 3x3
19. Знайти суму діагональних елементів матриці	M1	K	Z	E	K
20. Знайти векторний добуток

 

Таблиця 8 – Приклади дій над векторами і матрицями:

Що робимо:	Як робимо:
Створення та транспонування вектора х
Сума елементів вектора
Мінімальний елемент вектора х
Максимальний елемент
Останній елемент
Кількість елементів вектора х
Сортування елементів вектора х у прямому та зворотньому порядку
Кількість стовпчиків та рядків матриці А
Сортування матриці А за другим стовпчиком та першим рядком
Додати вектор у кінець матриці
Виділити з матриці другий стовпчик у вигляді окремого вектора
Визначник матриці
Обчислити функцію від усіх елементів матриці
Виділити з матриці комплексних чисел дійсну та уявну частини

Контрольні питання:

1. Способи створення вектора та матриці у середовищі MathCad.

2. Які інструменти MathCad служать для обробки векторів і матриць?

3. Як відсортувати матрицю за заданим рядком?

4. Як додати у кінець матриці вектор-стовпчик?

5. Що виконує вираз reverse(sort(V))?

6. Як з матриці виділити другий стовпчик у вигляді окремого вектора?

7. Як розрахувати функцію від всіх елементів матриці одночасно?

8. Вивести на екран індекс останнього елемента вектора. З якої цифри починається нумерація елементів вектора або матриці?

9. Як виділити з матриці, що складається з комплексних елементів, дійсну та уявну частини?

10. Як знайти матрицю обернену до заданої? Як обчислити визначник матриці?

Лабораторна робота №3

Завдання 1

1. Вирішити систему лінійних рівнянь методом Гауса. Завдання приведені в таблиці 2.

Коментар. Контроль виконуваних обчислень є важливим елементом рішення будь-якої обчислювальної задачі. Для контролю прямого ходу користуються контрольними сумами, які є сумами коефіцієнтів при невідомих і вільного члена для кожного рівняння заданої системи.

Для контролю обчислень в основній частині схеми єдиного ділення (стовпці коефіцієнтів при невідомих і вільних членів) над контрольними сумами виконують ті ж дії, що і над рештою елементів того ж рядка. За відсутності обчислювальних помилок контрольна сума для кожного рядка в межах впливах погрішностей округлення і їх накопичення повинна співпадати з рядковою сумою - другим стовпцем контролю. Рядкові суми є сумами всіх елементів з основної частини цього рядка.

Завдання 2

Вирішити систему (2.1) методом простій ітерації. Передбачається надалі, що матриця А квадратна і невироджена.

Заздалегідь приведемо систему (2.2) до ітераційного вигляду:

 

(2.3)

Для довільного початкового вектора ітераційний процес

сходиться, якщо виконана одна з умов [2]

а) (2.4)

б) (2.5)

в) (2.6)

Процес обчислень закінчуємо при виконанні умови (2.7)

де (i=1,2,3)- одна з метрик, визначувана лівою частиною (2.4)-(2.6), по якій була встановлена збіжність, - задана точність ().

Завдання 3

Вирішити систему (2.1) методом Зейделя.

Метод Зейделя відрізняється від методу простій ітерації тим, що знайшовши якесь значення для компоненти, ми на наступному кроці використовуємо його для відшукання наступною компоненти. Обчислення ведуться по формулі (2.8)

Кожна з умов (2.4) -(2.6) є достатнім для збіжності ітераційного процесу по методу Зейделя. Практично ж зручніше наступне перетворення системи (2.2). Домножая обидві частини (2.2) на АТ, одержимо еквівалентну нею систему

,

где = и d = . Далі, поділивши кожне рівняння на, приведемо систему до вигляду (2.8). Подібне перетворення також гарантує збіжність ітераційного процесу.

 

Порядок виконання роботи.

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

Лабораторна робота №4

Приклад 1

Приклад 2

Обчислити інтеграл від заданої функції на відрізку [a,b] по формулі трапецій і прямим способом.

Приклад 1

Вирішити диференціальне рівняння y’=f(x,y) методом Ейлера на відрізку [a,b] з кроком h з початковою умовою y(a)=y₀ , f(x,y)=(3x-y)/(x²+y), a=2, b=3, h=0.1, y₀=1.

 

Приклад 2

Вирішити диференціальне рівняння y’=f(x,y) методом Рунге-Кутта на відрізку [a,b] з кроком h з початковою умовою y(a)=y₀.

 

Завдання: Знайти значення визначених інтегралів

Таблиця 1

№ Варіанта	Функція
		1.2	2.2

2. Знайти рішення диференціального рівняння y′=f(x,y) методом Ейлера на відрізку [а,b] з кроком h з початковою умовою у(a)=y₀, f(x,y)=(3x-y)/(x2+y^), a=2, b=3, h=0.1, y0=1.

3. Розв’язати диференціальне рівняння y’=f(x,y) методом Рунге-Кутта на відрізку [а,b] з кроком h з початковою умовою у(a)=y₀.

Таблиця 2

№ Варіанта	Функція
					0.1
					0.1
					0.1
					0.1
					0.1
					0.1
					0.1
					0.1
					0.1
					0.1

Лабораторная работа №5

Задание 1

По заданной таблице значений функции составить формулу интерполяционного многочлена Лагранжа (3.2) и построить график Исходные данные берутся из таблицы 3.1.

+ + (3.2)

Tаблица 3.1.

№
				-1	-4
					-2
	-3	-1			-1
				-3	-7
	-2	-1
					-3
	-4	-2
	-1	1.5			-7
				-1	-6
	-9	-7	-4		-3
					-1
	-7	-5	-4		-4

Задание 2

Вычислить одно значение заданной функции для промежуточного значения аргумента () с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа (3.3) и оценить погрешность интерполяции. Для выполнения задания исходные данные берутся из таблицы 3.2, 3.3 или 3.4.

(3.3)

Для погрешности выполняется неравенство

, (3.4)

где

Таблица 3.2

№ варианта	Значение а	№ таблицы
	-2	3.3
	3.77	3.4
	0.55	3.3
	4.83	3.4
	3.5	3.3
	5.1	3.4
	1.75	3.3
	4.2	3.4
	-1.55	3.3
	6.76	3.4

 

Таблица 3.3

	-3.2	-0.8	0.4	2.8	4.0	6.4	7.6
	-1.94	-0.61	0.31	1.81	2.09	1.47	0.68

 

Таблица 3.4

	1.3	2.1	3.7	4.5	6.1	7.7	8.5
	1.777	4.563	13.84	20.39	37.34	59.41	72.4

 

Таблица 3.5

	0.10	0.15	0.20	0.25	0.30	0.35	0.40
	0.995	0.988	0.980	0.969	0.955	0.939	0.921

 

Таблица 3.6

	0.65	0.70	0.75	0.80	0.85	0.90	0.95
	0.605	0.644	0.681	0.71	0.75	0.783	0.813

Задание 3.

Уплотнить часть таблицы заданной на отрезке функции, используя интерполяционный многочлен Ньютона (3.5) и оценить погрешность интерполяции D (формула (3.6)). Таблицу 3.7 конечных разностей просчитать вручную на отрезке с шагом . Для выполнения задания исходные данные берутся из таблиц 3.8, 3.5 и 3.6.

+ ³ y ₀, (3.5)

где .

, (3.6)

где – некоторая внутренняя точка наименьшего промежутка, содержащего все узлы и x.

Формула (3.5) называется первой интерполяционной формулой Ньютона. Если вычисляемое значение переменной ближе к концу отрезка , то применяют вторую формулу Ньютона – интерполирование назад (формула (3.6)).

+ ³ y _n-3 (3.6)

где и

 

Таблица 3.7

		= -
		=
		=

 

Таблица 3.8

№					№ таблицы
	0.65	0.80	0.05	0.01	3.6
	0.25	0.40	0.05	0.025	3.5
	0.75	0.90	0.05	0.01	3.6
	0.70	0.85	0.05	0.025	3.6
	0.80	0.95	0.05	0.025	3.6
	0.1	0.25	0.05	0.025	3.5
	0.15	0.3	0.05	0.025	3.5
	0.7	0.85	0.05	0.025	3.6
	0.2	0.35	0.05	0.01	3.5
	0.80	0.95	0.05	0.01	3.6

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1. У чому особливість наближення табличний заданої функції методом інтерполяції?

2. Як обгрунтовується існування і єдиність інтерполяційного многочлена?

3. Який зв'язаний ступінь інтерполяційного многочлена з кількістю вузлів інтерполяції?

4. Як будуються інтерполяційні многочлени Лагранжа і Ньютона?

5. У чому особливості цих двох способів інтерполяції?

6. Як проводиться оцінка погрішності методу інтерполяції многочленом Лагранжа?

7. Як використовується метод інтерполяції для уточнення таблиць функцій?

8. У чому відмінність між першою і другою інтерполяційними формулами Ньютона?

 

Лабораторна робота №6

Завдання 1

У MathCad побудувати методом найменших квадратів дві емпіричні формули: лінійну і квадратичну. У разі лінійної функції задача зводиться знаходженню параметрів і із системи лінійних рівнянь

, де

, , , M_y= _i

а у разі квадратичної залежності до знаходження параметрів , і із системи рівнянь:

, де

, ,

Вибрати з двох функцій найбільш відповідну. Для цього скласти таблицю для підрахунку суми квадратів відхилень по формулі:

Приклад 1:

Варіанти завдань: