Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой – БИХ

КИХ фильтры не имеют реальных аналоговых эквивалентов. Самой близкой аналогией является фильтр скользящего среднего с взвешиванием. Кроме того, частотные характеристики КИХ фильтров имеют только нули и не имеют полюсов. С другой стороны, БИХ фильтры имеют традиционные аналоговые эквиваленты (фильтры Баттерворта, Чебышева, эллиптический и Бесселя) и могут быть проанализированы и синтезированы с использованием традиционных методов проектирования фильтров.

БИХ фильтры получили такое название, потому что их импульсные характеристики растянуты на бесконечном временном интервале. Это объясняется тем, что данные фильтры являются рекурсивными, то есть используют обратную связь. Хотя БИХ фильтры могут быть реализованы с меньшим, чем КИХ фильтры, количеством вычислений, БИХ фильтры не могут иметь таких характеристик, которыми обладают КИХ фильтры. Более того, БИХ фильтр не имеет линейной фазовой характеристики. Но вычислительные преимущества БИХ фильтра теряются, когда выходной сигнал фильтра подвергается децимации, поскольку в этом случае всякий раз приходится вычислять заново значение выходной величины.

БИХ фильтры обычно реализуются с помощью звеньев второго порядка, которые называются биквадратными фильтрами, потому что описываются биквадратными уравнениями в z-области. Фильтры высокого порядка проектируют, используя каскадирование биквадратных звеньев. Например, фильтр шестого порядка требует трех биквадратных звеньев.

Особенности фильтра с бесконечной импульсной характеристикой:

1) Имеют обратную связь (рекурсия)

2) Импульсная характеристика имеет бесконечную длительность

3) Потенциально нестабильны

4) Нелинейная фазочастотная характеристика

5) Более эффективны, чем КИХ-фильтры

6) Нет вычислительных преимуществ при децимации по выходу

7) Обычно проектируется по характеристике аналогового фильтра

8) Обычно реализуется каскадным соединением звеньев второго порядка (биквадратные фильтры)

Структура биквадратного БИХ фильтра представлена на рисунке 1.1. Нули формируются коэффициентами прямой связи b₀, b₁ и b₂; а полюса (порядок) определяются коэффициентами обратной связи a₁ и a₂.

Рисунок 1.1 – Аппаратная реализация БИХ фильтра второго порядка (биквадратного).

 

Общее уравнение цифрового фильтра, представленное на рисунке 1.1, описывает обобщенную передаточную функцию H(z), которая содержит полиномы и в числителе, и в знаменателе. Корни знаменателя определяют расположение полюсов фильтра, а корни числителя характеризуют расположение нулей. Хотя существует возможность создания непосредственно по этому уравнению БИХ фильтра более высокого порядка (так называемая прямая реализация), накапливающиеся ошибки квантования (из-за арифметики с фиксированной точкой и конечной длины слова) могут вызывать неустойчивость работы фильтра и большие ошибки. По этой причине правильнее расположить каскадно несколько биквадратных звеньев с соответствующими коэффициентами, чем использовать прямую форму реализации. Данные при вычислении биквадратных фильтров могут масштабироваться раздельно, а затем биквадратные звенья каскадируются для минимизации ошибок квантования коэффициентов и накапливающихся ошибок рекурсивного накопления. Каскадные биквадратные фильтры работают более медленно, чем их эквиваленты прямой формы реализации, но они более устойчивы и в них минимизируются эффекты, связанные с арифметическими ошибками конечной разрядности данных.

Первая прямая форма биквадратного звена, представленная на рисунке 1.1, требует использования четырех регистров. Эта конфигурация может быть заменена эквивалентной схемой, представленной на рисунке 1.2, которая называется второй прямой формой реализации и требует использования только двух регистров. Можно показать, что уравнения, описывающие биквадратный БИХ фильтр второй прямой формы реализации, такие же, как и уравнения первой прямой формы реализации. Как и в случае КИХ фильтра, система обозначений при изображении БИХ фильтра часто упрощается, как показано на рисунке 1.3.

Рисунок 1.2 – Биквадратный БИХ фильтр форма 2.

 

Рисунок 1.3 – Упрощенная схема биквадратного БИХ фильтра.