Визначення швидкості звуку в твердих тілах і пружних сталих твердих тіл динамічно-акустичним методом

 

Мета лабораторної роботи:

Визначення швидкості звуку і модуля Юнга та інших пружних сталих шляхом вимірювання резонансних частот подовжніх звукових коливань у стержнях, виготовлених із слабко поглинаючих матеріалів (металів і сплавів).

 

Деякі теоретичні відомості

 

Атоми і молекули будь якої речовини – твердої, рідкої, газоподібної – перебувають у стані хаотичного теплового руху. Характер теплового руху залежить від агрегатного стану речовини. Так внаслідок теплового руху структурні одиниці, з яких складається тверде тіло (атоми, молекули, іони), здійснюють коливальні рухи поблизу положення рівноваги. Ці частинки розташовані настільки близько одна до одної, що середовище можна вважати суцільним, неперервним, а саме: у будь якому елементарному (фізично нескінченно малому) об’ємі міститься величезне число структурних одиниць, з яких складається тверде тіло, а у будь якій довільно вибраній точці заповненого речовиною простору обов’язково є частинка речовини (не заповнені речовиною проміжки відсутні). Середовище є пружним: воно протидіє розтягу і стиску, а також зсуву – відносному переміщенню частинок середовища, які межують одна з одною, вздовж поверхні їх дотику. Будь яка частинка середовища, яка виведена з положення рівноваги, під дією пружних сил намагається повернутися в початкове положення та здійснює вимушені коливання. Коливання одної частинки не залишається локалізованим, оскільки середовище поблизу даної частинки деформується і тому спочатку починають коливатися прилеглі до неї частинки, а потім наступні. Віддалені області середовища поступово втягуються в коливальний рух. Процес поширення коливань в суцільному середовищі, яке неперервно розподілене в просторі і має пружні властивості, називається механічним хвильовим процесом або механічною хвилею. При поширенні хвилі частинки середовища не рухаються разом з хвилею, а коливаються біля свого положення рівноваги. Основною властивістю всіх хвиль є така: перенос енергії здійснюється без переносу речовини. Пружними (або механічними) хвилями називають механічні збурення, що поширюються у пружному середовищі. Пружні хвилі бувають поперечні і поздовжні. Хвиля називається поздовжньою, якщо напрямок коливань частинок середовища співпадає з напрямком поширення хвиль. Ці хвилі можуть поширюватись у середовищах, в яких виникають пружні сили при деформації стиску і розтягу, тобто у твердих тілах, у рідинах і у газах. Хвиля називається поперечною, якщо частинки коливаються у площинах, перпендикулярних напрямку поширення хвилі. Поперечні хвилі можуть поширюватись в середовищі, в якому виникають пружні сили при деформації зсуву, тобто лише у твердих тілах.

При поширені звукових коливань з частотами, які лежать у інтервалі від 16 до 20 000 Гц, у ізотропних твердих тілах утворюються як поздовжні, так і поперечні звукові хвилі. Причому швидкість їх поширення у ізотропному твердому тілі є різною. Вона залежить від пружних властивостей середовища, через які проходить хвиля. У випадку поздовжніх хвиль теорія дає таке співвідношення для швидкості поширення поздовжньої звукової хвилі у стрижні, довжина якого велика у порівнянні з лінійними розмірами його перерізу:

, (1)

де Е – модуль Юнга матеріалу, з якого виготовлено стрижень,

ρ – його густина.

 

 

 

Для збудження поздовжніх коливань у стрижні треба якимось чином спричинити у одному з його кінців поперемінно стискування і розтягування у напрямку його довжини, що приведе до поширення у ньому плоскої біжучої пружної хвилі. Розглянемо стрижень довжиною L. Нехай правий кінець цього стрижня вільний (не закріплений). У цьому випадку біжуча хвиля відбивається від вільного кінця без зміни фази. Якщо знехтувати затуханням пружної хвилі у стрижні, то у випадку її майже повного відбивання на межі розділу стрижень – повітря, то при певних частотах коливань розподіл зміщень по стрижню буде визначатись суперпозицією біжучої і відбитої хвиль, які утворюють так звану стоячу хвилю

(2)

У формулі (2) – амплітуда хвилі, циклічна частота, – хвильове число, – довжина хвилі. Така хвиля утворюється лише в тому випадку, якщо зміщення, викликане біжучою хвилею у точці закріплення стрижня (лівий кінець стрижня, коли ), буде дорівнювати нулю. У протилежному випадку слід враховувати вторинне відбивання біжучої хвилі від лівого і від правого кінця стрижня. Таким чином, умовою резонансу стрижня буде

(3)

Перейдемо у формулі (3) від до , підставивши у неї замість хвильового числа вираз . Одержимо, що резонанс буде спостерігатись тоді, коли на довжині стрижня укладається непарне число чвертей довжин хвиль, тобто:

(4)

За відсутності згасання такі коливання будуть зберігатись у стрижні дуже довго і навіть без дії на стрижень вимушуючої сили, тому їх називають власними коливаннями стрижня, закріпленого з одного боку.

Коли на тілі утворюються стоячі хвилі, то все тіло поділяється нерухомими точками (вузлами зміщень стоячої хвилі) на стаціонарні частини, які коливаються ніби незалежно одна від одної. У цих точках амплітудні зміщення стоячої хвилі дорівнюють нулеві. Точки, в яких амплітудні зміщення стоячої хвилі мають максимальні значення, називаються пучностями зміщення стоячої хвилі. Довжиною стоячої хвилі λ називається відстань між двома її сусідніми вузлами або пучностями. Встановлено, що відстань від вузла до пучності дорівнює , а між сусідніми вузлами (пучностями) дорівнює . Якщо обидва кінці стрижня вільні, то на його торцях утворюються пучності зміщення стоячої хвилі. Можливі варіанти розподілів вузлів і пучностей стоячих хвиль в стрижні, який резонує, показані на рис. 1. Суцільні криві відповідають зміщеннями частинок середовища, які відбуваються у стрижні при встановленні у ньому стоячої хвилі, а пунктирні – тим самим зміщенням через проміжок часу, рівний половині періоду коливань частинок середовища.

Позначивши довжини хвиль, які відповідають частотам власних продовжних коливань стрижня λ_n, одержимо вираз, який встановлює зв’язок між ними і швидкістю поширення поздовжньої звукової хвилі

, (5)

де ν_n – частота власних коливань стрижня при резонансі.

Підставляючи в формулу (4) λ_n, визначене з виразу (5), одержимо

. (6)

 

Якщо стрижень закріплений посередині, то при такому збудженні коливань вузол стоячої хвилі знаходиться у точці закріплення стрижня, а пучності – на кінцях стрижня (рис.2). У цьому випадку стрижень довжиною можна розглядати як з’єднані у місці закріплення два стрижні довжиною , закріплених з одного кінця і вільних з іншого. Умова утворення стоячої хвилі для такого стрижня буде такою

. (7)

 

Рис.2

Резонансні частоти коливань стрижня у цьому випадку можуть бути визначені за такою формулою:

. (8)

Тому швидкість, з якою у стрижні поширюється поздовжня звукова хвиля, може бути визначена за формулою:

(9)

Резонанс в стрижні найбільш чітко спостерігається на частотах основного тону, якому відповідає n = 0. У цьому випадку формула (9) має такий вигляд:

. (10)

Статичні методи вимірювання модулів пружності мають рід значних недоліків, зокрема низьку точність. Більш точно модуль пружності можна визначити за динамічними методами, зокрема за динамічно акустичним методом, який вивчається у даній лабораторній роботі.

Якщо визначити динамічно акустичним методом швидкість поширення звукових хвиль у стрижні, виготовленого з досліджуваного матеріалу, то можна, скориставшись формулою (1), розрахувати модуль Юнга цього матеріалу із такого співвідношення:

. (11)

Як відомо, модуль Юнга матеріалу чисельно дорівнює напруженню, яке виникло б у разі збільшення довжини зразка, виготовленого з досліджуваного матеріалу (у даному випадку довжини стрижня) у 2 рази при його деформації розтягом за інших незмінних умов. Крім модуля Юнга пружні властивості матеріалу характеризують його модуль зсуву, модуль всебічного стиску та коефіцієнт Пуассона.

Модуль зсуву N, який характеризує пружні властивості твердого тіла при деформації зсуву, в межах пружності дорівнює дотичному напруженню, яке виникло б у зразку при відносному зсуві, що дорівнює одиниці.

При деформації всебічного стиску об’єм тіла зменшується без зміни його форми під дією рівномірно розподілених по всій поверхні тіла напружень. Пружні властивості тіла, у цьому випадку характеризує модуль об’ємної пружності К. Він дорівнює величині, оберненій відносній зміні об’єму тіла при зміні діючого по нормалі до поверхні тіла напруження на одиницю.

Одночасно з деформацією розтягу стрижня, яка характеризується його відносним видовженням відбувається зменшення його поперечних розмірів, яке характеризується відносною поперечною деформацією . Абсолютна величина відношення відносного поперечного видовження стрижня до його відносної поперечної деформації називається коефіцієнтом поперечної деформації або коефіцієнта Пуассона . Таким чином

. (12)

Для більшості ізотропних тіл (металів) . Дані щодо значень коефіцієнта Пуассона для матеріалів, зразки яких досліджуються у даній лабораторній роботі, наведені у таблиці №1

У теорії пружності встановлено зв’язок між пружними сталими ізотропного твердого тіла. Показано, що модуль Юнга, модуль зсуву, модуль об’ємної пружності і коефіцієнт Пуассона зв’язані між собою такими рівняннями:

(13)

 

Таблиця №1

Вид матеріалу.	Значення коефіцієнта Пуассона .
Сталь	0,24-0,28
Мідь	0,31-0,34
Алюміній	0,32-0,36
Латунь	0,32-0,42

 

 

Опис експериментальної установки та методики вимірювань.

Схема установки представлена на рис.2. Установка складається з звукового генератора, приладу з обоймою В, яка служить для закріплення стрижня А, і двох електромагнітів для збудження і прийому поздовжніх коливань та катодного осцилографа.

Досліджуваний стрижень А точно посередині закріплюється в обоймі В так, щоб його кінці були розташовані напроти полюсів збудника коливань С і їх приймача D. Стрижень повинен бути закріплений точно посередині, адже неточне закріплення стрижня може суттєво вплинути на результати вимірювань, оскільки воно є причиною виникнення поперечних коливань стрижня і появи так званих „хибних” резонансів. Для підсилення збуджень поздовжніх коливань стрижня збудник і приймач коливань треба розташувати якомога ближче до кінців стрижня, але так, щоб вони не дотикались до них. Змінна електрична напруга від звукового генератора підводиться до котушки електромагніта С. У результаті цього на правий кінець стрижня буде діяти періодична сила з частотою, рівною частоті генератора і у феромагнітному стрижні виникнуть поздовжні хвилі. Якщо стрижень виготовлений з немагнітного матеріалу, то для збудження поздовжніх хвиль до його кінців прикріплюють тонкі пластинки, виготовлені зі сталі або магнітом’якого заліза.

Електромагніт D – приймач – служить для перетворення звукових коливань у електричні. Його котушка приєднана до клем «вход вертикального усилителя» катодного осцилографа. Підсилені електричні коливання, які поступають від приймача, спостерігаються на екрані осцилографа. Поступово збільшуючи частоту коливань напруги, яка подається на збудник коливань С від генератора можна досягти стрімкого зростання амплітуди коливань на екрані осцилографа, що свідчить про появу резонансу, тобто збіг частоти вказаних коливань з однією з частот власних коливань стрижня.

Порядок виконання роботи.

1. Виміряйте довжину стрижнів (без урахування металевих насадок на кінцях). Випишіть з таблиць фізичних величин значення густин матеріалів, з яких ці стрижні виготовлені.

2. Закріпіть у приладі один з досліджуваних стрижнів, наприклад стальний, і точно відцентруйте його положення відносно обойми.

3. За допомогою мікрометричних гвинтів встановіть електромагніти якомога ближче до торців стрижня (але так, щоб електромагніти не торкалися стрижня і між ними і стрижнем був повітряний зазор, товщиною 0,1-0,2 мм).

4. Увімкніть і підготуйте до проведення вимірювань звуковий генератор та осцилограф за інструкцією, яка знаходиться на робочому місці.

5. Встановіть напругу на виході звукового генератора на максимум. Повільно обертаючи лімб «установка частоти» генератора, спостерігайте за поведінкою електронного променя на екрані осцилографа до тих пір, доки не наступить стрімке зростання амплітуди коливань. Особливо сильне зростання амплітуди коливань спостерігається на основному резонансі. Зафіксуйте частоту основного тону, при якій спостерігається максимальна смуга розгортки електронного променя на екрані осцилографа. Відлічіть відповідну частоту за лімбом генератора.

Шукати основний резонанс рекомендується в діапазонах частот, які вказані на робочому місці. Необхідно пам’ятати, що резонанс спостерігається на дуже малому інтервалі частот. Тому навіть при дуже повільному обертанні лімба резонанс легко пропустити. Для того, щоб не допустити промах, той інтервал частот, у якому спостерігався основний резонанс, для уточнення, треба пройти у обидва боки від резонансної частоти декілька разів, якомога повільніше.

6. За формулою (9) обчисліть швидкість поширення звуку в стрижні, а за формулою (11) – модуль Юнга зразка матеріалу, з якого виготовлено стрижень.

7. За формулами (13) обчисліть усі пружні сталі, які характеризують пружні властивості зразка досліджуваного матеріалу, з якого виготовлено стрижень.

8. Вимірювання і розрахунки, описані у п.1-6 проведіть для стрижнів, виготовлених із зразків інших матеріалів: міді, алюмінію і латуні.

9. Дані вимірювань і результати розрахунків запишіть у таблицю №2. Розрахуйте абсолютну та відносну похибки визначення пружних сталих E, N,K.

10. Порівняйте одержані значення швидкостей поширення звуку в досліджених твердих тілах та значення їх пружних сталих з табличними даними, які наведені у довідковій таблиці Додатку №4. Зробіть висновки.

Таблиця №2

Матеріал	, м	, Гц	, кг/м^3	,м/с	, Па		, Па	, Па

 

Література: [2-8,11,20-36,38,47]

Лабораторна робота №10