За допомогою оборотного фізичного маятника.

 

Мета лабораторної роботи:

Визначення прискорення сили земного тяжіння падіння за допомогою оборотного фізичного маятника.

Деякі теоретичні відомості

 

Фізичний маятник – це абсолютно тверде тіло, що здійснює коливання під дією сили тяжіння навколо горизонтальної нерухомої вісі О, яка не проходить через його центр мас С (рис.1).

Рис.1

Нехай маятник маси m відхилено з положення рівноваги на невеликий кут . Складова сили тяжіння маятника , напрямлена вздовж вісі ОО′, зрівноважється силою реакції осі О. Складова , яка перпендикулярна до вісі ОС, намагається повернути маятник у положення рівноваги. Відповідно до рівняння динаміки обертового руху твердого тіла за відсутності тертя момент М обертальної сили можна записати у такому вигляді

, (1)

де J – момент інерції маятника відносно осі, що проходить через точку О, l – відстань між точкою підвісу і центром мас маятника, відповідає малим коливанням маятника, тобто коливанням з малою амплітудою, при яких . Тоді

. (2)

Позначивши , отримаємо рівняння незатухаючого гармонічного осцилятора

. (3)

Розв’язок цього рівняння такий:

. (4)

Таким чином, при малих коливаннях і за відсутності тертя фізичний маятник здійснює гармонічні коливання з частотою і періодом

, (5)

де - зведена довжина фізичного маятника. Аналізуючи формулу (5) приходимо до висновку про те, що період коливань фізичного маятника дорівнює періоду коливань такого математичного маятника, довжина якого дорівнює L. Отже, зведена довжина фізичного маятника дорівнює довжині такого математичного маятника, який має однаковий з фізичним маятником період коливань.

Точка підвісу О′ на продовженні прямої ОС, що знаходиться від осі підвісу на відстані зведеної довжини L, називається центром коливань фізичного маятника.

Точка підвісу О і центр коливань О′ мають властивість спряженості. Якщо їх поміняти місцями, то період коливань фізичного маятника не зміниться.

Розглянемо фізичний маятник масою m, який здійснює малі коливання відносно осі підвісу, яка проходить через точку А (рис.2). Його центр мас, який міститься у точці С, знаходиться на відстані b₁ від точки підвісу А. У такому положенні період коливань фізичного маятника

. (6)

Перевернемо маятник. Тепер вісь коливань проходить через точку підвісу В, яка знаходиться від центра мас маятника С на відстані b₂. У цьому положенні період коливань

. (7)

Змінюючи розподіл маси вздовж маятника, можна підібрати таке положення його центра мас С при якому періоди коливань фізичного маятника будуть рівними між собою: , тобто

. (8)

За теоремою Штейнера

, (9)

де J₀ – момент інерції маятника відносно осі, яка проходить через його центр мас, паралельно горизонтальній вісі коливань. З формул (8) та (9) маємо

. (10)

Порівнюючи отриманий вираз (10) з формулою (5), можна пересвідчитись у тому, що, якщо відстань між точками підвісу дорівнює зведеній довжині фізичного маятника, то періоди коливань маятника відносно горизонтальних осей, які проходять через дані спряжені точки, однакові.

Користуючись формулою (5) для періоду коливань для фізичного маятника, можна експериментально визначити прискорення сили тяжіння g. Якщо використовувати звичайний фізичний маятник, то в ході експериментів виникає утруднення, пов’язане з точним вимірюванням моменту інерції маятника. Цього утруднення можна позбутись, якщо використати для вимірювань метод оборотного маятника (метод Бесселя). За цим методом прискорення сили земного тяжіння можна визначити з достатньою точністю якщо виміряти зведену довжину маятника L та визначити період його повного коливання T.

 

Опис експериментальної установки та методики вимірювань.

 

Оборотний фізичний маятник, який використовується у даній лабораторній роботі, складається з металевого стрижня довжиною більше 1 м на поверхні якого нанесені міліметрові поділки (рис.3). Вздовж стрижня можуть переміщуватись диски С₁ і С₂. Маятник можна підвішувати на одній з опорних призм: на призмі А чи на призмі В. Переміщуючи диски С₁ та С₂ вздовж стрижня маятника, можна визначити таке положення центра мас та центра гойдань маятника, при якому при підвішуванні маятника на опорній призмі А або на опорній призмі В період його коливань залишається незмінним. Вище було показано що якщо періоди коливань фізичного маятника при його підвішуванні на обох призмах збігаються, то віддаль між вістрями опорних призм дорівнює зведеній довжині маятника L. Для установки маятника «на рівність періодів коливання» доцільно користуватися таким методичним прийомом: не змінюючи положення диска С₂ на стрижні маятника, послідовно переміщують диск С₁ вздовж шкали, яка нанесена на стрижні маятника, спочатку на 2 см (у межах від 0 до 20 см поділки шкали), далі на 10 см (у межах від 20 до 80 поділки шкали), а потім знову на 2 см (у межах від 80 до 100 поділки шкали) від вістря опорної призми А і вимірюють декілька разів секундоміром (мінімум тричі) час, протягом якого маятник здійснює 20-30 повних малих коливань, будучи підвішеним в положеннях І чи ІІ (рис.3). Визначають середні арифметичні значення періодів повних коливань оборотного маятника і для кожного з використаних у експерименті положень диска С₁ на стрижні маятника. Результати вимірювань, як правило, наносять на графік, відкладаючи по вісі абсцис відстані, на яких знаходиться диск С₁ від призми А, а по вісі ординат – відповідні значення періодів коливань чи . Отримують дві криві, які відображають існуючу залежність періоду коливань даного оборотного фізичного маятника від відстані між диском С₁ і вістрям опорної призми А для обох досліджених випадків, тобто коли маятник здійснює малі коливання будучи підвішеним на призмі А чи на призмі В. Якщо диск С₂ не дуже віддалений від призми В, то обидві криві повинні перетнутись у двох точках. За абсцисами точок перетину кривих визначають ту відстань диска С₁ від призми А, при якій періоди коливань маятника, який здійснює малі коливання в положеннях І та ІІ, є однаковими.

Встановивши диск С₁ навпроти визначеної таким способом поділки шкали, декілька разів вимірюють час 100-200 повних коливань маятника, послідовно підвішуючи його спочатку на опорній призмі А, а потім на опорній призмі В. Визначають періоди повного коливання маятника Т_I і Т_II. Якщо значення періодів повного коливання в обох випадках відрізняються один від одного дуже мало, то знаходять середній період повного коливання оборотного фізичного маятника Т за формулою

. (11)

Якщо ж різниця між значеннями періодів коливань маятника в положеннях І та ІІ буде великою, то треба повторити вимірювання. Для цього треба попередньо трохи пересунути диск С₁ по шкалі маятника в ту чи іншу сторону (від призми А, чи ближче до неї). Куди саме треба змістити диск від його вихідного положення можна легко визначити за отриманими графіками залежностей і . За методикою, описаною вище, знову вимірюють періоди повних коливань маятника в положеннях І та ІІ і визначають за формулою (11). Вимірявши масштабною лінійкою віддаль L між вістрями опорних призм А і В маятника визначають прискорення сили земного тяжіння за такою формулою

. (12)

 

Порядок виконання роботи

 

1. За методикою, описаною вище, проведіть вимірювання середніх періодів повних коливань оборотного маятника у положеннях I і II при різних положеннях диска С₁ на стрижні маятника. Дані, отримані в ході вимірювань і розрахунків, запишіть у таблицю №1.

Таблиця №1

l, см	, с	, с

 

2. Побудуйте графіки залежностей і . За графіком визначте ту відстань диска С₁ від опорної призми А, при якій періоди коливань маятника в положеннях І і ІІ є однаковими. Покажіть отримані графіки керівнику занять для перевірки і схвалення.

3. За методикою, описаною вище, визначте середній період коливань оборотного маятника та його зведену довжину L.

4. Розрахуйте прискорення сили земного тяжіння g, а також абсолютну і відносну похибки, з якими Вам вдалось його визначити.

5. Зробіть висновки.

Література: [1-38]

Лабораторна робота №6