Вивчення поля швидкостей повітряного потоку за допомогою трубки Піто-Прандтля

 

Мета лабораторної роботи:

Вивчення динамічних характеристик повітряного потоку за допомогою трубки Піто-Прандтля та рідинного мікроманометра.

 

Деякі теоретичні положення

При вивченні руху рідин та газів користуються методом вивчення, який був запропонований Л. Ейлером. За цим методом замість дослідження руху кожного елемента рідини або газу визначають швидкість у кожній точці потоку у різний час. Ця швидкість стосується не певної, а будь-якої частинки, що міститься в заданій точці потоку. Зрозуміло, що коли будуть знайдені розподіл швидкостей у потоці та характер зміни його в часі, то потік рідини або газу стане повністю визначеним. Іншими словами, за методом Ейлера потік рідини або газу задається полем векторів швидкостей.

 

 

Рис.1

Графічно потік зображують не векторами швидкостей у кожній точці, а лініями потоку. Вони проводяться так, щоб у кожній точці лінії вектор швидкості був дотичною (рис.1). Цих ліній проводять стільки, щоб їх густота (тобто кількість ліній на одиницю перпендикулярної до них площадки) була пропорційна швидкості в усіх місцях потоку. Так лініями потоку відображають напрям і модуль швидкості в різних місцях потоку: де швидкість потоку більша, лінії потоку йдуть густіше, а де вона менша – рідше. Лінії потоку не слід ототожнювати з траєкторіями частинок; лише для стаціонарного потоку, тобто у такому для якого поле швидкостей з часом залишається незмінним, лінії потоку збігаються з траєкторією частинок.

Частину рідини або газу, обмежену лінями потоку, називають трубкою потоку. Оскільки швидкості частинок дотичні до лінії потоку, вони залишаються дотичними також до поверхні трубки потоку, тому частинки рідини у своєму русі не виходять за межі трубки потоку.

Вільним повітряним потоком називають повітряний потік, який виходить з деякою постійною швидкістю з аеродинамічної труби в нерухоме повітря (рис.2).

Оскільки течія повітряного потоку після виходу струмини повітря з аеродинамічної труби є турбулентною (вихровою), то частинки повітря внаслідок інтенсивного вихороутворення і перемішування набувають складових швидкостей, перпендикулярних до напряму течії, що обумовлює їх переходи із одного шару в інший. Через це швидкість

.

Рис.2

 

частинок повітря швидко зростає по мірі їх віддалення від стінок обраної для розгляду трубки потоку, а далі змінюється незначно. Тому профіль усередненої швидкості під час турбулентної течії повітря у обраній трубці потоку (рис.3 б) відрізняється від параболічного профілю (рис.3 а), характерного для ламінарної течії рідини більш швидким зростанням швидкості біля стінок обраної трубки потоку і меншою кривизною у центральній частині трубки потоку.

 

Рис.3

З віддаленням від аеродинамічної труби швидкість потоку повітря зменшується, а тому течія повітря поступово переходить від турбулентної до ламінарної (див. рис.2). Ламінарною течією називається така течія, при якій кожний виділений тонкий циліндричний шар рідини у обраній для аналізу трубці течії ковзає відносно інших сусідніх шарів не перемішуючись з ними. Вимірювання показали, що під час ламінарної течії швидкість частинок повітря змінюється від мінімальної біля стінок обраної трубки потоку до максимальної на осі цієї трубки потоку (рис.3 а).

У найпростіших випадках при дослідженні поля швидкостей повітряного потоку зазвичай обмежуються визначенням складових швидкості, паралельних осі аеродинамічної труби А (рис.4), проводячи вимірювання на різних відстанях від її кінця. Вважаючи, що при круглому перерізі труби А поле її швидкостей симетричне відносно осі х, вимірювання можна обмежити, очевидно, будь яким напрямком, який перпендикулярний до осі х.

 

Вимірювання починають в точках, які лежать на осі х, яка співпадає з віссю обраної для досліджень трубки потоку і доводять до тих точок, де складова швидкість вздовж осі х стає рівною нулю, тобто до стінок обраної трубки потоку.

Опис експериментальної установки та методики вимірювань.

 

Для вимірювання швидкостей потоку використовують трубку Піто-Прандтля. При дотриманні певних співвідношень в розмірах вона дає можливість вимірювати різницю між повним і статичним тиском, яка дорівнює динамічному тиску в потоці, а також швидкість повітряного потоку.

Будова трубки схематично показана на рис.5. Манометр, який з’єднаний з відростком В трубки Піто-Прандтля, показує статичний тиск у потці Р_S; манометр, який з’єднаний з С, покаже повний тиск у потоці Р.

Згідно з рівнянням Бернуллі для горизонтальної трубки потоку динамічний тиск (динамічний напір) в потоці повітря дорівнює різниці між повним і статичним тиском:

, (1)

де ρ – густина повітря;

υ – швидкість потоку повітря у точці, де розміщується початок трубки Піто-Прандтля,

отримаємо

. (2)

Отже, для визначення швидкості в будь-якій точці потоку необхідно окремо виміряти Р та Р_S.

На практиці ці вимірювання виконують, зазвичай, таким чином, що різницю тисків Р – Р_S визначають одночасно, в результаті одного вимірювання. Цього можна досягти, якщо скористуватися одним манометром та включити його диференціально, як показано на рис. 5. Манометр буде показувати безпосередньо різницю між повним та статичним тиском, тобто динамічний тиск.

Так як при досліджені поля швидкостей потоку повітря ми маємо справу з вимірюванням малих різниць тисків, то для цього необхідно застосовувати так звані мікроманометри. Робота рідинних мікроманометрів заснована на тому ж принципі, що і звичайних, але чутливість їх збільшена за рахунок того, що вони заповнюються рідинами з малою густиною (спирт, керосин), а одному з колін манометра D при виготовлені надається похиле положення (рис.5). Друге коліно мікроманометра Е виконано у вигляді посудини з відносно великим перерізом. Нехтуючи незначними змінами рівня рідини в коліні Е при диференціальному з’єднанні мікроманометра, отримаємо

, (3)

де ρ_р – густина рідини в мікроманометрі;

∆ h – різниця рівнів рідини в коліні D;

∆ l – різниця рівнів рідини, яка відлічують за шкалою мікроманометра;

α – кут нахилу трубки.

Вільний повітряний потік отримують від маленької аеродинамічної труби. При проведенні вимірювань треба встановлювати підставку з трубкою Піто-Прандтля та мікроманометром таким чином, щоб вісь трубки співпадала з віссю аеродинамічної труби. За допомогою гвинтів на підставці мікроманометр встановлюють за рівнем та відлічують його початкове показання. На підставці аеродинамічної труби прикріплена масштабна лінійка, за якою можна відлічувати відстані по осі х.

 

Порядок виконання роботи

1. Сопло аеродинамічної труби при проведені першого вимірювання приблизьте майже впритул до кінця трубки Піто-Прандтля. Увімкніть вентилятор аеродинамічної труби в електричну мережу. Послідовно пересуваючи трубку Піто-Прандтля вздовж перерізу потоку (вздовж осі у), через кожен сантиметр, до того моменту поки трубка не вийде за межі потоку повітря, здійсніть за шкалою мікроманометра (у поділках цієї шкали) вимірювання динамічного тиску в потоці. Дані вимірювань запишіть у таблицю №1.

2. За методикою, описаною в п.1, проведіть вимірювання динамічного тиску в потоці повітря, послідовно змінюючи відстань між соплом аеродинамічної труби та трубкою Піто-Прандтля на 10 см. Дані вимірювань запишіть у таблицю №1.

 

Таблиця №1.

	Показання масштабної лінійки (вісь х), см
0	10	20	30	40	50	60	70
l, [ ]	∆l, [ ]	, [ ]	l, [ ]	∆l, [ ]	, [ ]	l, [ ]	∆l, [ ]	, [ ]	l, [ ]	∆l, [ ]	, [ ]	l, [ ]	∆l, [ ]	, [ ]	l, [ ]	∆l, [ ]	, [ ]	l, [ ]	∆l, [ ]	, [ ]	l, [ ]	∆l, [ ]	, [ ]
Показання масштабної лінійки (вісь у), см	0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

 

3. Побудуйте графік поля швидкостей вільного повітряного потоку в різних перерізах трубки потоку. Для його побудови немає необхідності попередньо розраховувати абсолютні значення всіх швидкостей потоку. Замість них можна використати величину, пропорційну абсолютному значенню швидкості, а саме , так як

, (4)

оскільки ρ_р, ρ, g та α – постійні величини.

4. Абсолютні значення швидкостей потоку треба розрахувати тільки для швидкостей потоку повітря вздовж осі трубки потоку, яка співпадає з центром перерізу сопла аеродинамічної труби. Дані щодо густини повітря, кута і густини робочої рідини манометра наведені на робочому місці і в довідковій таблиці Додатку №4.

5. Розрахуйте абсолютну та відносну похибки для одного із абсолютних значень швидкості вільного повітряного потоку.

Література: [1-6,18,20-39]

Лабораторна робота №13

Вивчення прецесії гіроскопа

 

Мета лабораторної роботи:

Ознайомлення з особливостями руху гіроскопа. Визначення кутової швидкості прецесії і моменту інерції гіроскопа.

 

Деякі теоретичні положення

Гіроскопом називається масивне симетричне тверде тіло, яке здатне обертатись навколо власної осі симетрії з великою кутовою швидкістю (рис.1).

 

 

Рис.1

Встановлено, що якщо вісь гіроскопа, який обертається з великою кутовою швидкістю, розташована вертикально, то його обертання може тривати дуже довго. Якщо вісь відхилиться від вертикалі, то гіроскоп, не впаде, а буде здійснювати так званий прецесійний рух, його вісь буде описувати поверхню кругового конуса з вершиною у точці опори (рис.2).

Рис.2

 

Прецесія – це складний рух, яке складається з обертання гіроскопа навколо двох осей, які перетинаються. Навколо власної осі він обертається з кутовою швидкістю , а навколо нерухомої вертикальної осі з кутовою швидкістю . Точка перетину двох осей є єдиною нерухомою точкою гіроскопа. У прикладі, який розглядається на рис.2, – це точка опори гіроскопа на горизонтальну поверхню. У загальному випадку прецесійного руху нерухомою може бути будь яка точка осі гіроскопа, наприклад його центр мас.

Кутова швидкість обертання гіроскопа навколо власної осі називається кутовою швидкістю власного обертання. Кутова швидкість , з якою вісь гіроскопа обертається навколо нерухомої осі, називається кутовою швидкістю прецесії. Зазвичай кутова швидкість власного обертання гіроскопа не набагато більшою за кутову швидкість прецесії.

Якщо на вісь гіроскопа діє деяка сила, яка створює момент сили , то момент імпульсу відносно точки (головний момент імпульсу) змінюється у відповідності з рівнянням моментів

. (1)

Аналіз рівняння (1) спрощується внаслідок того, що кутова швидкість обертання гіроскопа дуже велика. Це означає, що головний момент імпульсу практично направлений по осі гіроскопа. Момент зовнішніх сил направлений перпендикулярно до осі гіроскопа, тобто практично перпендикулярно до головного моменту імпульсу . Елементарне прирощення моменту імпульсу повинно бути направлене перпендикулярно до вектора моменту імпульсу у напрямку, паралельному вектору моменту зовнішніх сил . Таке прирощення спричинить зміну напрямку вектора моменту імпульсу , тобто зміну напрямку осі гіроскопа. Якщо при цьому вісь гіроскопа повертається на кут , то відповідна зміна модуля вектора моменту імпульсу буде дорівнювати

(2)

Якщо при зміні напряму осі на кут момент зовнішньої сили повернеться на такий же кут і не змінить свою величину, то ситуація у новому положенні гіроскопа буде аналогічною, тобто відбудеться так ж сама зміна напряму осі обертання гіроскопа за наступний момент часу , тобто під дією постійного моменту сил виникне обертання осі гіроскопа з постійною кутовою швидкістю При цьому зміна моменту імпульсу за одиницю часу, рівне , буде визначатися рівнянням (1) і дорівнювати

. (3)

Враховуючи, що для гіроскопа, який швидко обертається,

, (4)

де - момент інерції гіроскопа відносно його осі, одержимо формулу для визначення модуля вектора кутової швидкості прецесії

. (5)

Отже, обертання осі гіроскопа з кутовою швидкістю відносно його осі під дією постійного моменту сил, називається прецесією гіроскопа.

 

Опис приладу та методики вимірювань

 

Прилад (рис.3) складається з електричного моторчика А, закріпленого в обоймі В. Обойма опирається на вертикальний стрижень С і може обертатись навколо горизонтальної осі, а разом зі стрижнем – навколо вертикальної. Власне гіроскопом є ротор моторчика з масивним диском Е. Момент зовнішніх сил, прикладених до гіроскопа, може змінюватись при переміщенні вантажу К по стрижню обойми. Прилад має також електронний блок G, у склад якого входять: система вимірювання швидкості обертання моторчика, електронний таймер, фотоелектрична система вимірювання кута повороту гіроскопа навколо вертикальної осі.

 

Рис.3

Увімкнення моторчика здійснюється шляхом виведення ручки «скорость вращения» 1 із крайнього лівого положення. Подальше обертання цієї ручки за годинниковою стрілкою приводить до збільшення швидкості обертання моторчика. Стрілковий прилад 2 на панелі блоку показує швидкість обертання моторчика.

Увімкнення електронного таймера і фотоелектричної системи вимірювання кута повороту гіроскопа навколо горизонтальної осі здійснюється шляхом натискання клавіші «сеть» 3. При натисканні на клавішу «сброс» 4 здійснюється обнулювання табло електронного блока 6, 7. Після натискання на клавішу «сброс» здійснюється запуск фотоелектронної системи вимірювання кута і електронного таймера в момент, коли світловий потік попадає на фотоелемент системи через один з прорізів на циліндричній діафрагмі D, яка обертається разом з гіроскопом навколо вертикальної осі. Після натискання на клавішу «стоп» 5 здійснюється зупинка вимірювання часу і кута при черговому попаданні світлового пучка на фотоелемент системи. Кутову швидкість прецесії одержують шляхом ділення зафіксованого на табло 7 електронного блока значення кута на відповідний час .

 

Порядок виконання роботи

1. Закріпіть вантаж К на стрижні обойми так, щоб увесь прилад знаходився у байдужій рівновазі. Вісь гіроскопа встановіть горизонтально.

2. Увімкніть моторчик і зачекавши 2-3 хвилини, доки ротор не почне обертатись з номінальним числом оборотів.

3. Зміщенням вантажу К створіть момент сили тяжіння М. Величина цього моменту визначається за формулою , де - заданий модуль ваги вантажу, - відстань цього вантажу від його початкового положення, яка вимірюється за шкалою на стрижні.

4. Виміряйте величину кутової швидкості прецесії при різних значеннях моменту (при різних значеннях плеча ). Треба зробити 3-4 вимірювання для кожного значення швидкості обертання ротора (рекомендовані значення швидкості обертання 2000, 4000 і 6000 обертів за хвилину). При стійкій роботі моторчика в межах похибки вимірювань повинна виконуватись така умова

. (6)

5. Скориставшись формулою (6) визначте середнє арифметичне значення величини для кожного значення кутової швидкості обертання ротора .

6. За формулою (4) обчисліть момент інерції гіроскопа для кожного значення кутової швидкості обертання ротора і середнє арифметичне значення моменту інерції гіроскопа . Обчисліть абсолютну та відносну похибки.

Література: [11,16,20-38]

Додаток №1

Питання для самоконтролю при підготовці до виконання та захисту експериментальних лабораторних робіт з механіки.