Використання методів теорії ігор при прийнятті управлінських рішень

Основні поняття теорії ігор

Теорія ігор – це розділ дослідження операцій, що займаються теорією математичних моделей прийняття оптимальних рішень в умовах конфлікту[11; с. 271]. При цьому математичні моделі, що застосовуються, є достатньо спрощеними та ідеалізованими схемами реальних явищ.

Теорія ігор досліджує питання поведінки і виробляє оптимальні правила (стратегії) поведінки для кожного з учасників конфліктної ситуації[11; с. 272].Розв'язання суперечностей за допомогою теорії ігор можливе лише після проведення математичного моделювання ситуацій у вигляді гри.

Теорія ігор вперше була систематично викладена Джоном фон Нейманом і Моргенштерном та оприлюднена лише 1944 року в монографії «Теорія ігор і економічної поведінки», хоча окремі результати були опубліковані ще в 20-х роках [20; с. 81]. Нейман і Моргенштерн написали оригінальну книгу, яка містила переважно економічні приклади, оскільки економічні задачі простіше за інші описати за допомогою чисел. Під час другої світової війни і одразу після неї теорією ігор серйозно зацікавились військові, які одразу побачили в ній математичний апарат для дослідження стратегічних проб­лем і підготовки рішень. Потім головна увага знову була звернута до економічних проблем. Нині сфера застосування теорії ігор значно розширилась. Так, у соціальних науках апарат теорії ігор застосовується у психології для аналізу торгових угод та переговорів, а також для вивчення принципів формування коаліцій тощо.

За умов ринкової економіки все частіше мають місце конфлікт­ні ситуації, коли два або більше колективів (індивідуумів) мають протилежні цілі та інтереси, причому результат дії кожної із сторін залежить і від дії супротивника [16; с. 422-423]. Класичним прикладом конфліктної ситуації в економіці є відношення продавець – покупець (монополія – монопсонія). Складніші ситуації виникають, коли в суперечці інтересів беруть участь об’єднання чи коаліції.

Часто однією із сторін конфлікту є природні процеси чи явища, наприклад, погода, тобто маємо гру людини з природою. Погодними умовами людина практично не може керувати, але вона має змогу пристосовуватися до її постійних змін. Безліч подібних ситуацій можна зустріти і в інших сферах людської діяльності: біології, психології, політології тощо.

Теорія ігор – це математичний апарат, що розглядає конфлікт­ні ситуації, а також ситуації спільних дій кількох учасників. Завдання теорії ігор полягає у розробленні рекомендацій щодо раціональної поведінки учасників гри [16; с. 423].

Існує дуже багато різних ігор. Прикладом «гри» в буквальному розумінні цього слова, передусім, є спортивна, карточна гра, шахи тощо. Від реальної конфліктної ситуації гра відрізняється не лише спрощеною формою, а також наявністю певних правил, за якими мають діяти її учасники. Дослідження таких формалізованих ігор звичайно не може дати чітких рекомендацій для реальних умов, проте є найзручнішим об’єктом для вивчення конфліктних ситуацій і оцінки можливих рішень з різних поглядів. Розраховані на основі ігрових моделей оптимальні плани не визначають єдине правильне рішення за складних реальних умов, проте слугують математично обґрунтованою підставою для прийняття таких рішень.

Метою теорії ігор є вироблення рекомендацій щодо розумної поведінки учасників конфлікту [2; с.175].

Теорія ігор як математична дисципліна в її сучасному стані займається нормативним вивченням ігор.

 

 

 

 

Рис. 1.1. Основні задачі теорії ігор

Джерело: [11; с.273].

 

Нехай необхідно прийняти рішення про випуск на ринок певного товару.

Обсяг попиту на цей товар може бути точно відомим, або може бути відомий лише статистичний розподіл можливих значень попиту, або можуть бути відомими лише межі значень, яких може набувати величина попиту, але ніяких ймовірнісних суджень про його майбутні значення немає.

Останній випадок – ситуація невизначеності. Така невизначеність може виникнути, коли попит залежить від метеорологічних умов або в умовах ринку, від діяльності конкурента тощо.

Наведені приклади можуть бути зведені до гри.

У теорії ігор розроблена система власних понять [20; с.82-83]:

Ø математична модель конфліктної ситуації називається грою;

Ø сторони у конфлікті називаються гравцями (можуть бути як окремі особи, так і колективи людей, які мають спільні цілі: конкуруючі підприємства, спортивні команди);

Ø результат гри називається виграшем або нічиєю;

Ø правилами гри називається перелік прав і обов’язків гравців;

Ø розрізняють поняття „ гра ” і „ партія гри ”. В даному випадку під грою розуміють сукупність правил, яка визначає поведінку гравців, а під партією гри – реалізацію гри певним конкретним чином від початку до кінця (наприклад, партія гри в шахи);

Ø ходом називається вибір гравцем однієї з передбачених правилами гри дій. Ходи бувають особисті і випадкові. Особистий хід – це свідомий вибір гравця. Випадковий хід – вибір дії, що не залежить від його волі.

Залежно від кількості можливих ходів у грі, ігри поділяються на:

а) скінченні – ті, які передбачають скінчене число ходів;

б) нескінченні – ті, які передбачають нескінчене число ходів.

Ø стратегією гравця називається сукупність правил, що визначають вибір варіанта дій у кожному особистому ході;

Ø оптимальною стратегією гравця називається така стратегія, що забезпечує йому максимальний виграш;

Ø завдання теорії ігор полягає у виявленні оптимальної стратегії;

Ø ігри, що складаються тільки з випадкових ходів, називаються азартними, ними теорія ігор не займається. Її мета – оптимізація поведінки гравця у грі, де поряд з випадковими є особисті ходи. Такі ігри називаються стратегічними;

Ø гра називається грою з нульовою сумою, якщо сума виграшів всіх гравців дорівнює нулю, тобто кожен виграє за рахунок іншого;

Ø гра називається парною, якщо в неї грають два гравці. Парна гра з нульовою сумою називається антагоністичною. Теорія таких ігор найбільш розвинена. Крім того, такі ігри моделюють великий клас реальних конфліктів. В подальшому розглядатимемо саме антагоністичні ігри.

Основне припущення, на підставі якого знаходять оптимальні рішення в теорії ігор, полягає в тому, що супротивник такий же розумний, як і сам гравець [21; с.12].

 

 

Класифікація ігор

Різні види ігор можна класифікувати, ґрунтуючись на тому або іншому принципі: за кількістю стратегій, властивостями функцій виграшу, за можливістю попередніх переговорів і взаємодії між гравцями у процесі гри.

Класифікація ігор реалізується за певною множиною класифікаційних ознак, а саме: кількість гравців, кількість стратегій, характер взаємин між гравцями, характер виграшів, вигляд функції виграшів, момент вибору ходу, кількість ходів, стан інформації (рис.1.2).

 

 

Рис. 1.2. Класифікація ігор

Джерело: [11; с. 275-276].

Кількість гравців. Залежно від кількості гравців розрізняють ігри: одного гравця, двох гравців, п гравців. Ігри одного гравця (наприклад пасьянс) не представляють інтересу і не розглядаються в теорії ігор. Ігри двох гравців – найбільш поширені, їх дослідженню присвячено багато робіт, і досягнуті найбільші успіхи як в теорії, так і в практичній діяльності. Ігри трьох і більше гравців менш досліджені через те, що виникають принципові труднощі при одержанні рішень. Труднощі рішення ігор підвищуються зі збільшенням кількості гравців [18; с. 10].

Кількість стратегій: скінчені та нескінчені. Якщо в грі кожен з гравців має скінчену множину можливих стратегій, то гра є скінченою, якщо ж хоча б один з гравців має безмежну множину стратегій, то гра є нескінченою. Зі зростанням кількості стратегій зростає складність розв'язання ігор.

Характер взаємин. За цією ознакою ігри поділяються на безкоаліційні, коаліційні та кооперативні. Безкоаліційними є ігри, в яких заборонені угоди між гравцями та утворення коаліцій (наприклад, чемпіонат світу з футболу). Коаліційними називаються ігри, в яких гравці можуть утворювати коаліції (військові ігри, економічні ситуації, пов'язані з оволодінням певними ринками збуту). Кооперативними є ігри, в яких коаліції відомі наперед та залишаються незмінними протягом гри.

Характер виграшів. За цією ознакою ігри поділяються на ігри з нульовою сумою та ігри з ненульовою сумою. В грі з нульовою сумою сума виграшів всіх гравців в кожній партії рівна нулю, тобто в цій грі загальний капітал всіх гравців не змінюється, а перерозподіляється між гравцями в залежності від результатів гри.

Гра двох гравців з нульовою сумою називається антагоністичною, оскільки цілі гравців в ній прямо протилежні: виграні одного гравця досягається за рахунок програшу іншого.

Прикладом гри з ненульовою сумою є торговельні взаємовідносини між країнами – в результаті застосування своїх стратегій всі країни можуть бути в виграші. Будь-яка гра, в якій необхідно виплачувати вступний внесок за право участі в ній, є грою з ненульовою сумою; у виграші завжди особа, що отримала внесок. В лотереї організатор завжди має виграш, а учасники гри отримують сумарний виграш менший, ніж внесли.

Вигляд функції виграшів. За цією ознакою ігри поділяються на матричні, біматричні, неперервні, опуклі, сепарабельні, типу дуелей та ін. Матрична гра – це скінчена гра двох осіб, в якій виграш першого гравця задається елементами матриці і дорівнює програшу другого гравця. Матричні ігри розв'язуються за допомогою методів лінійного програмування. В біматричних іграх виграш кожного з гравців задається окремою матрицею, і ці ігри є складнішими для розв'язування. Якщо функція виграшу в грі може бути представлена у вигляді суми функцій одного аргумента, то така гра є сепарабельною (може бути розділеною).

Дуель – це гра, що характеризується моментом вибору ходу та ймовірностями отримання виграшу в залежності від часу, що пройшов від моменту початку гри до моменту вибору. Наприклад: кожна фірма вкладає капітал в певний момент часу, чим раніше буде здійснене вкладення, тим менша вірогідність оволодіти ринком, однак і при занадто пізньому вкладенні ринок збуту буде втрачено [11; с. 276].

Кількість ходів. За цією ознакою ігри поділяються на однокрокові та багатокрокові. Однокрокові ігри завершуються після того, як кожен з гравців зробить по одному крокові. Матрична гра є однокроковою. Багатокрокові ігри своєю чергою поділяються на позиційні, стохастичні та диференційні. Позиційні ігри полягають у тому, що кожен їїгравців робить декілька ходів послідовно в часі, і виграші визначаються в залежності від результату гри. Якщо ж у грі робляться ходи, що приводять до вибору певних позицій, причому існує певна вірогідність повертання на попередню позицію, то така гра називається стохастичною. Якщо ходи робляться неперервно і умови їх проведення описуються диференційними рівняннями (гра типу «хижак-жертва»), то така гра називається диференційною [18; с. 11].

Стан інформації. За цією ознакою розглядаються ігри з повною та неповною інформацією. Якщо на кожному ході гри кожному з гравців відомо, які вибори були зроблені гравцями раніше, то гра є з повною інформацією (шахи, шашки). Якщо ж у грі не все відомо про попередні вибори, то гра буде з неповною інформацією [11; с. 277].

 

Матричні ігри двох осіб

Найчастіше розглядається гра з двома гравцями, в якій виграш однієї сторони дорівнює програшу іншої, а сума виграшів обох сторін дорівнює нулю, що в теорії ігор називають грою двох осіб з нульовою сумою [4; с. 213]. Подібна ситуація є типовою у практичній діяльності менеджерів, маркетологів, спеціалістів рекламних служб, які щоденно приймають рішення за умов гострої конкуренції, неповноти інформації тощо. Основною метою розв’язування задач цього класу є розроблення рекомендацій щодо вибору оптимальних стратегій конфліктуючих сторін на основі застосування методичних підходів теорії ігор.

Отже, маємо два гравці А і В (гра двох осіб з нульовою сумою). Кожний гравець вибирає одну із можливих стратегій: позначимо стратегії гравця А – стратегії гравця В – .

Результати (плата) за всіма можливими варіантами гри задаються спеціальними функціями, які залежать від стратегій гравців, як правило, у вигляді платіжної матриці.

Нехай, – виграш гравця А;

– виграш гравця В.

Оскільки гра з нульовою сумою, то

Тоді в разі, якщо то

Отже, мета гравця А – максимізувати величину , а гравця В – мінімізувати її. Нехай тобто маємо матрицю А:

де рядки відповідають стратегіям А_і, а стовпці – стратегіям B_j.

Матриця А називається платіжною, а також матрицею гри. Елемент цієї матриці a_ij – це виграш гравця А, якщо він вибрав стратегію A_i, а гравець В – стратегію B_j [16; с. 425].

Із багатьох критеріїв, які пропонуються теорією ігор для вибирання раціональних варіантів рішень, найпоширенішим є песимістичний критерій мінімаксу та максиміну. Суть цього критерію у наступному.

Нехай гравець А вибрав стратегію A_i, тоді у найгіршому разі він отримає виграш, що дорівнює min a_ij, тобто навіть тоді, якщо гравець В і знав би стратегію гравця А. Передбачаючи таку можливість, гравець А має вибрати таку стратегію, щоб максимізувати свій мінімальний виграш, тобто [20; с. 83]

 

(1.1)

 

Така стратегія гравця А позначається і має назву максимінної, а величина гарантованого виграшу цього гравця називається нижньою ціною гри.

Гравець В, який програє суми у розмірі елементів платіжної матриці, навпаки має вибрати стратегію, що мінімізує його максимально можливий програш за всіма варіантами дій гравця А. Стратегія гравця В позначається через і називається мінімакс­ною, а величина його програшу – верхньою ціною гри, тобто [20; с. 84]

 

(1.2)

Оптимальний розв’язок цієї задачі досягається тоді, коли жод­ній стороні невигідно змінювати вибрану стратегію, оскільки її супротивник може у відповідь вибрати іншу стратегію, яка забезпечить йому кращий результат.

Якщо

 

, (1.3)

 

тобто, якщо то гра називається цілком визначеною [20; с. 84]. В такому разі виграш гравця А (програш гравця В) називається ціною гри і дорівнює елементу матриці . Цілком визначені ігри називаються іграми з сідловою точкою, а елемент платіжної матриці, значення якого дорівнює виграшу гравця А (програшу гравця В) і є сідловою точкою. В цій ситуації оптимальним рішенням гри для обох сторін є вибір лише однієї з можливих, так званих чистих стратегій – максимінної для гравця А та мінімаксної для гравця В, тобто якщо один із гравців притримується оптимальної стратегії, то для другого відхилення від його оптимальної стратегії не може бути вигідним.

Приклад 1.1. Фірма виготовляє устаткування для хімічної промисловості. Експертами виробничого відділу фірми розглядаються три конструкторські варіанти устаткування: А -1, А -2, А -3. Для спрощення припустимо, що за технічними характеристиками ці три типи майже ідентичні, однак залежно від зовнішнього вигляду та зручності використання кожен тип може мати три модифікації: М -1, М -2, М -3 залежно від закупленої технології виробництва. Собівартість виготовлення устаткування наведена в табл. 1.1 [16; с. 426-427]:

:

Таблиця 1.1