Нехай маємо скінченну матричну гру з платіжною матрицею

Оптимальні змішані стратегії гравців А і В за теоремою визначають вектори і , що дають змогу отримати виграш:

.

Використання оптимальної змішаної стратегії гравцем А має забезпечувати виграш на рівні, не меншому, ніж ціна гри за умови вибору гравцем В будь-яких стратегій. Математично ця умова записується так [4; с. 218]:

(1.4)

З другого боку, використання оптимальної змішаної стратегії гравцем В має забезпечувати за будь-яких стратегій гравця А програш, що не перевищує ціну гри u, тобто [4; с. 218]:

 

(1.5)

Ці співвідношення використовуються для знаходження розв’язку гри.

1.5. Геометрична інтерпретація гри 2´2

 

Найпростішим випадком скінченної гри є парна гра, коли у кожного учасника є дві стратегії [13; с. 42].

 

 

Вj Ai	B 1	B 2
A 1	a 11	a 12
A 2	a 21	a 22

 

Розглянемо випадок, коли гра не має сідлової точки. Отже, . Необхідно знайти змішані стратегії та ціну гри. Позначимо шукані значення ймовірноcтей застосування «чистих» стратегій гравця А через , а для гравця В – через [13; с. 42].

Згідно з основною теоремою теорії ігор, якщо гравець А дотримується своєї оптимальної стратегії, то виграш буде дорівнювати ціні гри. Отже, якщо гравець А притримуватиметься своєї оптимальної стратегії , то [16; с. 432]:

(1.6)

Оскільки , то . Підставивши цей вираз у систему рівнянь (1.6), отримаємо:

.

Розв’язавши дане рівняння відносно невідомого , маємо:

, (1.7)

тоді: = . (1.8)

Провівши аналогічні міркування стосовно гравця В, маємо:

(1.9)

Оскільки , то .

.

Розв’язавши це рівняння відносно невідомого , маємо:

, (1.10)

тоді: . (1.11)

Ціну гри u знаходять, підставляючи значення (або ) в будь-яке з рівнянь (1.6) або (1.9):

. (1.12)

Розв’язку гри 2 ´ 2 можна дати наочну геометричну інтерпретацію.

Розглянемо гру з платіжною матрицею виду [16; с. 434]:

 

Вj Ai	B 1	B 2
A 1	a 11	a 12
A 2	a 21	a 22

 

Відмітимо на осі абсцис відрізок довжиною, що дорівнює одиниці (рис. 1.3). Лівий кінець відрізка (точка з абсцисою х = 0) буде відповідати стратегії А ₁, а правий кінець (х = 1) – стратегії А ₂, всі проміжні точки цього відрізка відповідатимуть змішаним стратегіям гравця А, причому імовірність х ₁ стратегії А ₁ буде дорівнювати відстані від точки Р до правого кінця відрізка, а ймовірність х ₂ стратегії А ₂ – відстані до лівого кінця відрізка. Проведемо через точки А ₁ та А ₂ два перпендикуляри до осі абсцис: вісь І і вісь ІІ. На першій з них відмітимо виграш за вибору стратегії А ₁, а на другій – за стратегії А _2.

Нехай противник вибрав стратегію В ₁, їй відповідають на осях І та ІІ дві точки В ₁, причому довжина відрізка А ₁ В ₁ дорівнює а ₁₁, а довжина відрізка А ₂ В ₁ дорівнює а ₁₂.

Аналогічно будуємо пряму В ₂ В ₂, яка відповідає стратегії В ₂.

Необхідно знайти оптимальну стратегію Х ^*, таку, за якої мінімальний виграш гравця А буде максимальним. Для цього виділимо жирною лінією на малюнку нижню межу виграшу за умови вибору стратегій В ₁ та В ₂, тобто ламану лінію В ₁ МВ ₂. На цій межі знаходяться значення мінімального виграшу гравця А за будь-якої його змішаної стратегії. Очевидно, що найкраще з можливих мінімальних значень у нашому прикладі знаходиться в точці М, а в загальному випадку відповідає тій точці, де крива, що позначає мінімальний виграш гравця А, набуває максимального значення. Ордината цієї точки є ціною гри u. Відстань до лівого кінця відрізка х ₂ та відстань до правого кінця відрізка — х ₁ дорівнюють відповідно ймовірностям стратегій А ₂ та А ₁.

 

Рис. 1.3. Графічна інтерпретація гри 2´2

Джерело: [16; с. 435].

 

Геометрична інтерпретація дає також змогу наочно зобразити нижню та верхню ціну гри (рис. 1.4). Для нашого прикладу нижньою ціною гри є величина відрізка А ₂ В ₂, а верхньою ціною гри – А ₂ В ₁.

Рис. 1.4. Геометричне зображення нижньої та верхньої ціни гри

Джерело: [16; с. 435].

 

На цьому ж рисунку можна розглянути і геометричну інтерпретацію оптимальних стратегій противника В. Дійсно, частка стратегії В₁ в оптимальній змішаній стратегії дорівнює відношенню довжини відрізка КВ₂ до суми довжин відрізків КВ ₂ та КВ ₁ на осі І: .

З наведених міркувань легко зробити висновок, що гру 2´2 можна розв’язати елементарними прийомами. Аналогічно може бути розв’я­зана гра 2´ n, тобто коли гравець А має лише дві стратегії, а гравець В – n. У такому разі на рисунку слід зобразити перетин n прямих, що відповідатимуть n стратегіям гравця В. Мінімальні виграші гравця А являтимуть собою також ламану лінію, максимальне значення якої і визначатиме оптимальну стратегію для гравця А (рис. 1.5).

 

Рис. 1.5. Оптимальна стратегія для гравця А

Джерело: [16; с. 436].

 

Можна також розв’язати і гру m ´2, з тією різницею, що необхідно визначати не нижню величину виграшу, а верхню і знаходити не максимальне з можливих значення, а мінімальне.