Критерії при прийнятті рішень в умовах невизначеності

Розглянемо випадок, коли Z тобто немає випадкових факторів, і m = 1

 

f: X Y R (2.4)

Тоді найбільш поширеними є наступні способи оцінки ефективності стратегій.

Принцип найкращого гарантованого результату (критерій Вальда). Передбачається, що для кожної стратегії х X ОПР буде реалізовуватися найгірший для ОПР невизначений фактор у Y. Так, якщо мета ОПР максимізувати «виграш» f (x, y), то будь-яка стратегія х X оцінюється величиною [20; с. 88-89]

 

(2.5)

Оцінку W₁(х) (2.5) називають ще оцінкою крайнього песимізму. Таким чином, у розглянутому випадку величина W₁(x) оцінює «виграш» ОПР знизу, тобто, вибравши стратегію х X, ОПР отримає «виграш» f (x, y) не менший, ніж W₁(x), яке б у Y не реалізувалося. Іншими словами, при застосуванні стратегії х ОПР гарантовано отримає виграш не менший величини W₁(х). Оптимальною за цим критерієм буде стратегія x₀, що представляє максимум функції W₁(х) на множині X.

. (2.6)

 

Застосування принципу найкращого гарантованого результату обґрунтовано, коли вибір невизначеного фактора у Y здійснює розумний противник, що ставить собі за мету зменшення «виграшу» ОПР.

У випадку, коли ОПР прагне мінімізувати величину f(x, y), замість оцінки W₁(x) (2.5) застосовується аналогічна оцінка

 

(2.7)

 

Відповідно

. (2.8)

 

Якщо ОПР не протистоїть розумний противник, застосування принципу найкращого гарантованого результату може здатися дуже «песимістичним». У цих випадках говорять про «ігри з природою». Неконтрольовані фактори вибирає «природа», ґрунтуючись на своїх, невідомих ОПР, цілях. Найбільш відомими в даній ситуації є критерії Лапласа, Севіджа і Гурвіца [20; с. 90].

Критерій Лапласа. Цей критерій ґрунтується на принципі недостатнього обґрунтування. Оскільки розподіл ймовірностей на невизначених факторах невідомо, то приймаємо, що цей розподіл є розподілом рівномірного закону.

Критерій Лапласа оцінює стратегію х X величиною математичного очікування виграшу ОПР при рівномірному законі розподілу ймовірностей неконтрольованих факторів. Оптимальною за цим критерієм вважається стратегія, що дає максимум (якщо потрібно максимізувати цільову функцію) математичного сподівання цільової функції [23; с. 75-76]

 

, (2.9)

 

 

де – функція щільності розподілу ймовірностей рівномірного закону;

p_i – імовірність того, що неконтрольований фактор прийме значення y _i. При цьому

p_i=1/i.

 

Перша формула застосовується у випадку безперервної випадкової величини y. Друга формула для скінченної множини Y ={ y ₁ ,…,y_m }.

Приклад 2.1. Підприємство має визначити рівень пропозиції послуг так, щоб задовольнити потребу клієнтів протягом майбутніх свят. Точне число клієнтів невідомо, але воно може приймати одне з чотирьох значень: y₁ = 200, y₂ = 250, y₃ = 300, y₄ = 350. Для кожного з цих можливих значень існує найкращий рівень пропозиції (x₁,..., x₄) з точки зору мінімізації витрат. Відхилення від цих рівнів призводять до додаткових витрат або через перевищення пропозиції над попитом, або із-за неповного задоволення попиту (додаткові витрати через необхідність термінових закупівель, втрачений прибуток) [23; с. 77].

Значення витрат в залежності від рівня послуг і можливого числа клієнтів задані у вигляді таблиці. За критерієм Лапласа події y₁, y₂, y₃, y₄ рівноймовірні. Отже, для будь-якого iÎ ймовірність того, що відбудеться подія y_i дорівнює 0.25.

	y 1	y 2	y 3	y 4
x 1
x 2
x 3
x 4

 

У цьому випадку очікувані витрати при різних рівнях пропозиції послуг складає відповідно:

M{x₁} = 0.25×5+0.25×10+0.25×18+0.25×25=14.5;

M{x₂} = 11.5;

M{x₃} = 18.0;

M{x₄} = 21.5.

Найкращим рівнем пропозиції послуг відповідно до критерію Лапласа буде x₂.

Критерій Севіджа. Розглянемо наступний приклад. Нехай множини X ={ x ₁, x₂ } та Y ={ y ₁, y ₂} складаються тільки з двох елементів. Цільова функція є функцією витрат ОС, яка задана таблицею [2; с. 200].

 

	y1	y2	max
x1	1010	9	1010
x2	1000	1000	1000

 

 

Застосування критерію найкращого гарантованого результату дає як рішення стратегію x₂. Проте, якщо ОПР застосує стратегію x₁, то при гіршому для нього варіанті y = y₁ витрати зростуть в порівнянні з гарантованим результатом на 1%, а при сприятливому варіанті витрати складуть тільки 0,9% від гарантованих витрат, тобто зменшаться на 99.1%.

Врахувати подібні ситуації і реалізувати вибір стратегії, який дає можливо невеликий програш, але й можливо істотний виграш у порівнянні зі стратегією гарантованого результату, дозволяє критерій Севіджа. Нехай цільова функція f (x, y) є функція виграшу ОПР. Отже, ОПР прагне максимізувати цільову функцію. Складемо функцію жалю [22; с. 150-151]:

 

(2.10)

 

Величина висловлює «співчуття» ОПР в тому, що вона для цього невизначеного фактора y вибрала стратегію x, а не кращу стратегію

 

. (2.11)

 

Функцію називають також функцією ризику. Потім для функції застосовується критерій найкращого гарантованого результату, тобто оптимальне х₀ шукається наступним чином. Для кожного контрольованого чинника х X

. (2.12)

 

У випадку, коли в моделі операції задана функція втрат (програшу), функція жалю буде мати вигляд

 

(2.13)

 

яка знову висловлює «співчуття» ОПР про те, що вона для цього невизначеного фактора y Y застосувала стратегію x, a не кращу стратегію :

 

. (2.14)

 

Далі, оптимальна за даним критерієм стратегія х₀ шукається з критерію найкращого гарантованого результату для ₂(х, у):

 

.

 

Функція жалю і у випадку функції виграшу f (формула (2.11)) і у випадку функції втрат f (формула (2.14)) виражає величину втрат ОПР від незастосування кращої стратегії. Тому критерій найкращого гарантованого результату в обох випадках є мінімаксний:

(2.15)

Складемо матрицю жалю для наведеного на початку пункту прикладу. Так як функція f (i, j) в даному прикладі є функція втрат, то

Функцію ₂(i, j) запишемо у вигляді матриці S жалю:

S=

 

Тепер з критерію найкращого гарантованого результату для матриці S отримуємо, що оптимальною буде стратегія х₁.

Розглянемо приклад 2.1. Так як в цьому прикладі задана функція втрат, то функція жалю (i, j) обчислюється за формулою (2.14).

=5-5=0, , ₂(1,3)=21-5=16 і т. д. Результати обчислень запишемо у вигляді матриці S:

 

S =

 

 

Для знаходження оптимальної за критерієм Севіджа стратегії ОПР знайдемо по матриці жалю S стратегію х₀, що задовольняє принцип найкращого гарантованого результату. Для цього потрібно знайти максимальний елемент у кожному рядку матриці S. Позначимо його b₁, b₂, b₃, b₄, відповідно. Потім необхідно знайти найменше з чисел b_{i .} Тоді номер i^*: b _i*= min{ b _j} – визначить оптимальну стратегію. У прикладі 2.1 b₁ = 10, b₂ = 8, b₃ = 16, b₄ = 25. Відповідно, i₀ = 2, тому що b ₂=min{ b ₁; b ₂; b ₃; b ₄}. Отже, стратегія х₂ є оптимальною за критерієм Севіджа в даному прикладі. Ця відповідь збігається з відповіддю, отриманими за критерієм Лапласа.

Таким чином, для наведеної в прикладі 2.1 функції втрат оптимальною і за критерієм Лапласа, і за критерієм Севіджа є стратегія х₂. Однак з наведеного прикладу не варто робити висновок, що такий збіг буде завжди виконуватися. Можна навести приклад, коли ці два критерії будуть вважати оптимальними різні стратегії.

Критерій Гурвіца. Для визначення наступного критерію нам знадобиться поняття опуклої комбінації [23; с. 78].

Означення 10. Число с називається опуклою комбінацією чисел a і b, якщо існує число [0;1] таке, що

 

C = a +(1 – ) b. (2.16)

 

Зазначимо, що множина таких чисел утворює відрізок [a; b]. Критерій Гурвіца є опуклою комбінацією критеріїв крайнього песимізму W₁ (x, у) і крайнього оптимізму:

 

. (2.17)

Тут ми вважаємо, що задана функція виграшу f (x, y). Критерій крайнього оптимізму припускає, що невизначений фактор y Y – максимально сприяє ОПР в її прагненні збільшити свій виграш. Отже, у випадку, коли задана функція виграшу f (x, y) ОПР критерій Гурвіца має вигляд:

 

= (2.18)

 

Оптимальною в цьому випадку вважається стратегія х ₀ X, що дає максимум функції W₅ (x), тобто

 

W ₅(х ₀)= W ₅(x).

 

 

Для функції втрат (х, у) критерій Гурвіца задається рівністю:

 

W ₆ (x)= . (2.19)

 

Оптимальною при цьому вважається стратегія х ₀ X, на якій досягається мінімум функції W₆ (х), тобто

W ₆ (x ₀)= W ₆ (x).

Параметр α називається показником оптимізму: при α = 1 критерій Гурвіца перетворюється на критерій крайнього оптимізму, при α = 0 – в критерій крайнього песимізму. Вибір параметра здійснюється ОС, виходячи з його поглядів на дану операцію, тобто є суб'єктивним.

Знайдемо рішення задачі з прикладу 2.1 за критерієм Гурвіца у разі α = 0.2. Відповідно маємо:

W ₆(x ₁) = [0.2min{5; 10; 18; 25} + mах0.8{5; 10; 18; 25}] = 0.2´5 + 0.8´25 = 21,

W ₆(x ₂) = [0.2´7 + 0.8´23] =19.8, W ₆(x ₃) = [0.2´12 + 0.8´21] = 19.2,

W ₆ (х ₄) = [0.2´15 + 0.8´30] = 27.

Аналізуючи залежність вибору оптимальної стратегії від значення α, отримаємо [23; с. 79-80]:

 

Ø (0.5; 1] – оптимальна стратегія х ₁;

Ø =0.5 – оптимальні стратегії х ₁ та х ₂;

Ø (2/7; 0.5) – оптимальна стратегія x ₂;

Ø = 2/7 – оптимальні стратегії x₂ та х ₃;

Ø [0; 2/7) – оптимальна стратегія х ₃.

 

Таким чином, залежно від обраної величини оптимізму ОС може отримати різні відповіді про оптимальність стратегії.