Энергетические уровни в атоме водорода

Задавая различные целочисленные значения, для атома водорода получим возможные уровни энергии. Схематически они представлены на рис. 4.1.4. Энергия атома водорода с увеличением возрастает, оставаясь отрицательной, и энергетические уровни сближаются при стремлении к бесконечности. ( при и при ). Если , электрон удален на бесконечность, т. е. оторван от атома: атом ионизован.

 

 

Рис. 4.1.4

В соответствии со вторым постулатом Бора, переходя из стационарного состояния с большей энергией в стационарное состояние с меньшей энергией, атом испускает квант . Для частоты излучения имеем: . Сопоставляя последнее выражение с обобщенной формулой Бальмера, получаем выражение для постоянной Ридберга: . Эта формула дает значение , хорошо совпадающее с опытом, что подтверждает верность постулатов Бора для водородоподобных систем.

Полагая в формуле для частоты спектральных линий и получаем группу линий, образующих серию Лаймана. Совершенно аналогично можно получить и линии остальных серий спектра атома водорода.

Теория Бора позволяет объяснить и спектр поглощения атома водорода. Так как свободные атомы водорода обычно находятся в основном состоянии (), то при сообщении атому извне некоторой энергии могут наблюдаться лишь переходы атомов из основного состояния в возбужденное, т. е. спектр поглощения атома водорода содержит только серию Лаймана.

Подводя итог, можно заключить, что теория Бора с полной отчетливостью показала неприменимость классической физики к внутриатомным явлениям и главенствующее значение квантовых законов в микромире.

Однако после первых успехов теории яснее проявились ее недочеты. Неудачной была попытка построения теории атома гелия – одного из простейших атомов после атома водорода.

Самой слабой стороной теории Бора, вызвавшей последующие неудачи, была ее внутренняя противоречивость: она не была ни последовательно классической, ни последовательно квантовой теорией. В настоящее время ясно, что она могла быть только переходным этапом на пути создания последовательной теории атомных явлений.

Пример 5. Определить частоту света, излучаемого водородоподобным ионом при переходе электрона на уровень с главным квантовым числом , если радиус орбиты изменился в раз.

Решение. Частота излучаемого света по обобщенной формуле Бальмера равна: . Радиус n -й орбиты . Отсюда отношение радиусов n -й и m -й орбит равно: . По условию задачи это отношение равно . Используя это, для частоты излучаемого света имеем: .

Пример 6. Во сколько раз увеличится радиус орбиты электрона у атома водорода, находящегося в основном состоянии, при возбуждении его фотоном энергией ?

Решение. Энергия атома водорода , находящегося в основном состоянии равна: . При сообщении такому атому энергии он перейдет в состояние с энергией:

.

 

Отсюда получаем: . Производя вычисления, находим: .

Пример 7. Атом водорода освещается ультрафиолетовым излучением с длиной волны . Определить, какие спектральные линии появятся в спектре водорода.

Решение. На атом водорода падают фотоны с энергией . Здесь и – частота и длина волны падающего фотона, – постоянная Планка. Атом переходит в возбужденное состояние с энергией . Здесь – энергия атома в основном состоянии. Знак «» взят с учетом того, что энергия может восприниматься атомом только определенными порциями. В нашем случае . Выражая отсюда и производя вычисления, получим . При переходе атома водорода из возбужденного состояния с главным квантовым числом в основное состояние в спектре атома могут появиться линии: – при переходе с третьей орбиты на первую; – при переходе с третьей орбиты на вторую; – при переходе со второй орбиты на первую. По обобщенной формуле Бальмера имеем: . Вычисляя длину волны для указанных переходов, получим: ; ; .

 

Основы квантовой механики

Гипотеза де Бройля

 

Невозможность объяснить с помощью теории Бора строение атомов различных элементов сделала необходимым критический пересмотр основ квантовой теории и представлений о природе элементарных частиц (электронов, протонов и т. п.). Возник вопрос о том, насколько полным является представление электрона в виде малой механической частицы, характеризуемой определенными координатами и импульсом (скоростью).

В результате развития науки о природе света выяснилось, что в оптических явлениях обнаруживается своеобразный дуализм (двойственность). Наряду с такими свойствами света, которые самым непосредственным образом свидетельствуют о его волновой природе (явления интерференции, дифракции), имеются и другие свойства, столь же непосредственно обнаруживающие его корпускулярную природу (тепловое излучение, фотоэффект, эффект Комптона).

В 1924 г. французский ученый Луи де Бройль выдвинул смелую гипотезу о том, что дуализм присущ не только оптическим явлениям, но и имеет универсальное значение. Допуская, что частицы вещества наряду с корпускулярными свойствами имеют и волновые, де Бройль связал с каждым микрообъектом, с одной стороны, корпускулярные характеристики: энергию и импульс , а с другой – волновые характеристики: частоту и длину волны . Соотношения между ними де Бройль принял такие же, что и для света: и .

Гипотеза де Бройля вскоре была блестяще подтверждена экспериментально. Сначала американские физики Девиссон и Джермер (1927 г.) обнаружили, что пучок электронов, рассеивающийся от кристаллической пластинки, дает дифракционную картину. Затем Томсон и Тартаковский независимо друг от друга получили дифракционную картину при прохождении электронного пучка через металлическую фольгу. В этом случае опыт осуществлялся следующим образом. Пучок электронов, ускоренный разностью потенциалов порядка нескольких десятков киловольт, проходил через тонкую металлическую фольгу и попадал на фотопластинку. Электрон при ударе о фотопластинку оказывал на нее такое же действие, как и фотон. Полученная дифракционная картина поразительно точно совпадала с дифракционной картиной, полученной при прохождении рентгеновских лучей через металлическую фольгу.

Советский физик Фабрикант (1948 г.), пропуская очень разреженный пучок электронов через фольгу (промежуток времени между двумя электронами в 10⁴ раз был больше времени прохождения электроном прибора), после длительной экспозиции получил дифракционную картину, не отличающуюся от дифракционных картин, получаемых для потоков электронов при короткой экспозиции. Этим было доказано, что волновые свойства частиц не являются свойством их совокупности, а присущи каждой частице в отдельности.

Таким образом, любой частице, обладающей импульсом, можно сопоставить волновой процесс с длиной волны, определяемой по формуле де Бройля: .

Впоследствии были обнаружены дифракционные явления у нейтронных, атомных и молекулярных пучков, причем длины волн соответствовали соотношению де Бройля. Но если волновые свойства присущи микрочастицам, то они должны быть присущи и макроскопическим телам. Почему же они не обнаруживаются экспериментально? Потому что длина волны, соответствующая макроскопическому телу, очень мала и не может быть измерена. В самом деле, пусть тело массой 1 кг движется со скоростью 100 м/с. Его импульс

 

 

Значит . Такую длину волны измерить невозможно, поэтому считается, что макротела проявляют только корпускулярные свойства.

Пример 1. Вычислить длину волны де Бройля для молекулы серебра, движущейся со скоростью, совпадающей со средней квадратичной скоростью молекул при температуре 27°С. Будет ли испытывать эта молекула дифракцию при прохождении щели в ?

Решение. Средняя квадратичная скорость молекул Здесь – универсальная газовая постоянная, – температура, – молярная масса (для серебра ). Длина волны де Бройля . Здесь – импульс молекулы, – масса молекулы, – число Авогадро. Подставляя числовые значения, получаем: . Длина волны сравнима с шириной щели. Значит, дифракция будет иметь место.

Пример 2. Параллельный пучок электронов, прошедший ускоряющую разность потенциалов , падает на щель шириной (рис. 4.2.1). Определить ширину изображения щели на люминесцентном экране, находящимся на расстоянии от щели. Интенсивностью дифракционных максимумов первого и более высоких порядков можно пренебречь.

 

 

Рис. 4.2.1

 

Решение. Ширина дифракционной картины . Условие минимума первого порядка . Из рис. 4.2.1 видно: . Длина волны де Бройля для электрона . Здесь – масса электрона, – его скорость. Ускоряемый разностью потенциалов электрон приобретает кинетическую энергию , откуда находим: . Используя это, находим: . Отсюда

.