Сферическое движение. Углы Эйлера. Угловая скорость и угловое ускорение при сферическом движении твёрдого тела.

Сферическое движение (движение твёрдого тела вокруг неподвижной точки) — движение абсолютно твёрдого тела, при котором оно имеет одну неподвижную точку. При движении вокруг неподвижной точки О каждая из точек твёрдого тела описывает в пространстве сферическую поверхность, центром которой является точка О.

При описании законов сферического движения принято пользоваться координатами, получившими название углов Эйлера:

— угол собственного вращения;

— угол прецессии;

— угол нутации.

 

Угловая скорость — векторная физическая величина, характеризующая скорость вращения тела. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота тела в единицу времени:

Угловое ускорение — псевдовекторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твёрдого тела. При вращении тела вокруг неподвижной оси, угловое ускорение по модулю равно

 

 

Определение скоростей и ускорений точек твёрдого тела, совершающего сферическое движение.

Скорости точек твёрдого тела в сферическом движении определяют по формуле Эйлера: -вектор угловой скорости, -радиус-вектор данной точки относительно неподвижной оси.

Модуль скорости равен: , h- кратчайшее расстояние точки до мгновенной оси вращения.

Ускорение точки в сферическом движении равно геометрической сумме вращательного и осестремительного ускорения.

 

 

Общий случай движения свободного твёрдого тела, Уравнения движения. Скорость и ускорение точки.

Скорость любой точки твёрдого тела равна геометрической сумме скорости полюса и скорости это точки во вращательном движении тела вокруг полюса.

- скорость точки

- скорость полюса

- скорость точки во вращательном движении вокруг полюса

Ускорение точки свободного твёрдого тела равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки в её движении вокруг полюса.

- ускорение точки

-ускорение начала подвижной системы координат

-скорость точки

- угловое ускорение тела в подвижной системе координат

Уравнения, определяющие положение движущейся точки в зависимости от времени, называются уравнениями движения. Наиболее удобный способ задания движения точки — естественный способ.

Сложное движение твёрдого тела. Сложение вращений тела вокруг пересекающихся осей. Кинематические уравнения Эйлера.

Движение твёрдого тела называют сложным, если тело одновременно участвует как минимум в двух движениях. Относительным движением твёрдого тела называют его движение относительно подвижной системы координат. Переносным движением твёрдого тела называют его движение вместе с подвижной системой координат относительно неподвижной.

При сложении вращений вокруг пересекающихся осей получаем вращательное движение, происходящее вокруг мгновенной оси вращения, с абсолютной угловой скоростью, равной геометрической сумме угловых скоростей составляющих вращение.

Сложение вращений тела вокруг параллельных осей. Пара мгновенных вращений.

Сложение вращений тела вокруг параллельных осей:

· Вращения имеют одинаковые направления. Сложение двух одинаково направленных вращений вокруг параллельных осей приводит к одному вращению вокруг параллельной мгновенной оси вращения с угловой скоростью, равной сумме угловых скоростей составляющих вращений.

· Вращения имеют противоположные направления с неравными угловыми скоростями. Сложение двух противоположно направленных вращений с неравными угловыми скоростями приводит к одному вращению вокруг параллельной мгновенной оси вращения с угловой скоростью, равной разности угловых скоростей составляющих вращений.

 

Пара вращений. Парой вращений называют совокупность двух вращений твёрдого тела вокруг параллельных осей с равными и противоположно направленными угловыми скоростями.

Метод Виллиса.

Метод Виллиса применяют для определения угловых скоростей зубчатых механизмов, в которых имеются зубчатые колёса, вращающиеся относительно подвижных осей.

Метод Виллиса основан на теории сложения вращений вокруг параллельных осей. Зубчатые колёса учасвуют в двух движениях:

1) В относительном вращении зубчатых колёс по отношению к водилу.

2) В переносном вращении вместе с водилом вокруг его оси.

При расчёте определяют зависимость между относительными угловыми скоростями, которые равны разности абсолютных и переносных угловых скоростей. В этом случае отношение между относительными угловыми скоростями обратно пропорциональны радиусам колём или числу зубьев, взятые со знаком минус, если зацепление внешнее, и со знаком плюс, если зацепление внутреннее.