Движение точки можно изучать используя любую систему координат. Рассмотрим случай декартовой прямоугольной системы координат.

КИНЕМАТИКА

1)Предмет Механики….

ТМ изучает простейшую форму движения материи – мех-ое движ. Мех-ое движ – изменение с течение времени положения материальных тел или частиц одного и того же тела друг относительно друга. ТМ состоит из 3 разделов: статика – изучает усл-ия равновесия мат-ых тел; кинематика – изучает движение мат-ых тел без учёта действующих тел;; динамика – изучает движение мат-ых тел с учётом действующих тел.

Кинематика и ее осн. задачи

Кинематикой называется раздел теоретической механики, в котором механическое движение изучается только с его геометрической стороны, без учета взаимодействий, определяющих это движение.

Механическое движение – это изменение положения тела в пространстве в функции времени. Положение тела обычно определяется по отношению к некоторой системе отсчета, неизменно связанной с др. телом, например, землей.

Движение материальных объектов всегда происходит в пространстве относительно определенной системы отсчета и во времени. Пространство считается трехмерным эвклидовым пространством, свойства которого не зависят от движущихся в нем материальных объектов.

В кинематике рассматриваются две основные задачи:

 

установление математических способов задания движения точки (тела) относительно выбранной системы отсчета, или установление закона движения точки (или тела);

 

определение по заданному закону движения тела всех кинематических характеристик этого движения (траекторий, скорости и ускорения точки или линейных скоростей и ускорений точек тела, угловых скоростей и угловых ускорений тела).

 

Время, как и пространство, существует объективно, независимо от нашего сознания. Время непрерывно и бесконечно; в классической механике оно принимается универсальным, т.е. одинаковым для всех систем отсчета.

 

Отсчет времени ведется от некоторого начального момента (t0 = 0), о выборе которого в каждом случае уславливаются. Всякий данный момент времени выражает собой число секунд, прошедших от начального момента времени до данного. Число секунд между двумя последовательными моментами времени называется промежутками времени

 

Время в классической механике не связано с пространством и движением материальных объектов. Во всех системах отсчета движущихся друг относительно друга оно протекает одинаково.

Кинематика делится на две части: кинематика точки и кинематика твердого тела.

3.Вект. способ задан. Движ точки…..

Векторный способ.

Будем рассматривать случай декартовой прямоугольной системы координат. Движение точки относительно рассматриваемой системы отсчета задано, если известен радиус-вектор этой точки как функция времени, т.е.

(1-1)

Векторный способ обычно применяется для теоретического изложения кинематики точки.

 

Траектория точки – непрерывная кривая, которую описывает точка при своем движении.

Векторный сп. положение точки определяется ее радиус-вектором , проведенным из какого-либо центра. Кривая, которая вычерчивается концом какого-либо вектора, назыв. годографом этого вектора. Т.е. траектория – годограф радиус-вектора.

 

Скорость точки при векторном способе задания движения

Положение движущейся точки М относительно системы отсчета в момент времени определяется радиус-вектором . В другой момент времени точка займет положение М ₁ с радиус-вектором . За время радиус-вектор движущейся точки изменится на .

Средней скоростью называется отношение изменения радиус-вектора к изменению времени .

 

Рис. 1.4 (1-4)

Скорость точки равна первой производной по времени от ее радиус-вектора.

(1-5)

 

4. Координ. Способ задан. Движ точки….

Координатный способ.

Координатный сп. положение точки в пространстве определяется тремя координатами, изменения которых определяют закон движения точки: x=f₁(t), y=f₂(t), z=f₃(t).

Если движение в плоскости, то два уравнения движения. Уравнения движения описывают уравнение траектории в параметрической форме. Исключив из уравнений параметр t, получаем уравнение траектории в обычном виде: f(x,y)=0 (для плоск-ти).

 

Пост. движ. Тверд тела.

Существует пять видов движения твердого тела:

1. поступательное движение;

2. вращение вокруг неподвижной оси;

3. плоское движение;

4. вращение вокруг неподвижной точки;

5. свободное движение.

Первые два называются простейшими движениями твердого тела:

Вращ. движ тверд тела

Равномерное вращение

Вращение называется равномерным, если его угловая скорость постоянна, т.е. .

Так как , то . Начальные условия: , то после интегрирования получим

или

Равнопеременное вращение

Вращение называется равноускоренным, если его угловое ускорение постоянно и больше нуля, т.е. .

Вращение называется равнозамедленным, если его угловое ускорение постоянно и меньше нуля, т.е. .

Так как , то . Начальные условия: , то после интегрирования получим

или

далее , и после интегрирования,

или

11.Ск-ть и уск тверд тела…

Сложное движение точки

Основные понятия

Во многих задачах движение точки приходится рассматривать относительно двух (и более) систем отсчета, движущихся друг относительно друга.

В простейшем случае сложное движение точки состоит из относительного и переносного движений. Определим эти движения.

Рассмотрим две системы отсчета движущиеся друг относительно друга. Одну систему отсчета O ₁ x ₁ y ₁ z ₁ примем за основную и неподвижную. Вторая система отсчета Oxyz будет двигаться относительно первой.

Движение точки относительно подвижной системы отсчета Oxyz называется относительным. Характеристики этого движения, такие как, траектория, скорость и ускорение, называются относительными. Их обозначают индексом r.

Движение точки относительно основной неподвижной системы отсчета O ₁ x ₁ y ₁ z ₁называется абсолютным (или сложным). Траектория, скорость и ускорение этого движения называются абсолютными. Их обозначают без индекса.

Переносным движением точки называется движение, которое она совершает вместе с подвижной системой отсчета, как точка, жестко скрепленная с этой системой в рассматриваемый момент времени. Вследствие относительного движения движущаяся точка в различные моменты времени совпадает с различными точками тела S, с которым скреплена подвижная система отсчета. Переносной скоростью и переносным ускорением являются скорость и ускорение той точки тела S, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка. Переносные скорость и ускорение обозначают индексом e.

Если траектории всех точек тела S, скрепленного с подвижной системой отсчета, изобразить на рисунке, то получим семейство линий – семейство траекторий переносного движения точки М. Вследствие относительного движения точки М в каждый момент времени она находится на одной из траекторий переносного движения.

Одно и то же абсолютное движение, выбирая различные подвижные системы отсчета, можно считать состоящим из разных переносных и соответственно относительных движений.

Сложение скоростей

Определим скорость абсолютного движения точки М, если известны скорости абсолютного и переносного движений этой точки.

За малый промежуток времени вдоль траектории точка М совершит относительное перемещение, определяемое вектором . Сама кривая , двигаясь вместе с подвижными осями, перейдет за тот же промежуток времени в новое положение Одновременно та точка кривой , с которой совпадала точка М, совершит переносное перемещение . В результате точка совершит перемещение .

Деля обе части равенства на и переходя к пределу, получим

Формулы Пуассона

Производные по времени от единичных векторов определим по формулам Пуассона

Вектор - это угловая скорость вращательной части движения вокруг точки О подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

Ускорение Кориолиса

– ускорение Кориолиса (кориолисово ускорение) – в случае непоступательного переносного движения абсолютное ускорение = геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений. Кориолисово ускорение характеризует: 1) изменение модуля и направления переносной скорости точки из-за ее относительного движения; 2) изменение направления относительной скорости точки из-за вращательного переносного движения. Модуль ускорения Кориолиса: а_с= 2×|w_e×v_r|×sin(w_e^{^}v_r), направление вектора определяется по правилу векторного произведения, или по правилу Жуковского: проекцию относительной скорости на плоскость, перпендикулярную переносной угловой скорости, надо повернуть на 90^о в направлении вращения.

Кориолисово уск. = 0 в трех случаях: 1) w_e=0, т.е. в случае поступательного переносного движения или в момент обращения угл. скорости в 0; 2) v_r=0; 3) sin(w_e^{^}v_r)=0, т.е. Ð(w_e^{^}v_r)=0, когда относительная скорость v_r параллельна оси переносного вращения. В случае движения в одной плоскости – угол между v_r и вектором w_e = 90^о, sin90^o=1, а_с=2×w_e×v_r.

Ускорение Кориолиса

Теорема (Правило Жуковского). Модуль ускорения Кориолиса равен удвоенному произведению угловой скорости переносного вращения на модуль проекции относительной скорости на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения; чтобы получить направление ускорения Кориолиса, необходимо вектор проекции относительной скорости повернуть на вокруг оси, параллельной оси переносного вращения в направлении этого вращения.

 

 

17. Плоск движ тверд тела и движ плоск фигуры…..

И вращательное движения.

 

Теорема. Любое движение твердого тела, в том числе и движение плоской фигуры в ее плоскости, бесчисленным множеством способов можно разложить на два движения, одно из которых переносное, а другое – относительное.

В частности, движение плоской фигуры в ее плоскости относительно системы , расположенной в той же плоскости, можно разложить на переносное и относительное движения следующим образом. Примем за переносное движение фигуры ее движение вместе с поступательно движущейся системой координат , начало которой скреплено с точкой О фигуры, принятой за полюс. Тогда относительное движение фигуры будет по отношению к подвижной системе координат вращением вокруг подвижной оси, перпендикулярной плоской фигуре и проходящей через выбранный полюс.

Для доказательства этого достаточно показать, что плоскую фигуру в ее плоскости из одного положения в любое другое можно перевести двумя перемещениями – поступательным перемещением в плоскости фигуры вместе с каким –либо полюсом и поворотом в той же плоскости вокруг этого полюса.

Рис. 6-4

Рассмотрим два любых положения плоской фигуры 1 и 2. Выделим отрезок АB в рассматриваемой фигуре. Перевод фигуры из положения 1 в положение 2 можно рассматривать как суперпозицию двух движений: поступательного из 1 в 1' и вращательного из 1' в 2 вокруг точки A', называемой обычно полюсом (рис. 6-4а). Существенно, что в качестве полюса можно выбрать любую точку, принадлежащую фигуре или даже лежащую в плоскости вне фигуры. На рис. 6-4б, к примеру, в качестве полюса выбрана точка В. Обратите внимание: длина пути при поступательном перемещении изменилась (в данном случае увеличилась), но угол поворота остался прежним!

 

Метод Виллиса.

Метод Виллиса применяют для определения угловых скоростей зубчатых механизмов, в которых имеются зубчатые колёса, вращающиеся относительно подвижных осей.

Метод Виллиса основан на теории сложения вращений вокруг параллельных осей. Зубчатые колёса учасвуют в двух движениях:

1) В относительном вращении зубчатых колёс по отношению к водилу.

2) В переносном вращении вместе с водилом вокруг его оси.

При расчёте определяют зависимость между относительными угловыми скоростями, которые равны разности абсолютных и переносных угловых скоростей. В этом случае отношение между относительными угловыми скоростями обратно пропорциональны радиусам колём или числу зубьев, взятые со знаком минус, если зацепление внешнее, и со знаком плюс, если зацепление внутреннее.

КИНЕМАТИКА

1)Предмет Механики….

ТМ изучает простейшую форму движения материи – мех-ое движ. Мех-ое движ – изменение с течение времени положения материальных тел или частиц одного и того же тела друг относительно друга. ТМ состоит из 3 разделов: статика – изучает усл-ия равновесия мат-ых тел; кинематика – изучает движение мат-ых тел без учёта действующих тел;; динамика – изучает движение мат-ых тел с учётом действующих тел.

Кинематика и ее осн. задачи

Кинематикой называется раздел теоретической механики, в котором механическое движение изучается только с его геометрической стороны, без учета взаимодействий, определяющих это движение.

Механическое движение – это изменение положения тела в пространстве в функции времени. Положение тела обычно определяется по отношению к некоторой системе отсчета, неизменно связанной с др. телом, например, землей.

Движение материальных объектов всегда происходит в пространстве относительно определенной системы отсчета и во времени. Пространство считается трехмерным эвклидовым пространством, свойства которого не зависят от движущихся в нем материальных объектов.

В кинематике рассматриваются две основные задачи:

 

установление математических способов задания движения точки (тела) относительно выбранной системы отсчета, или установление закона движения точки (или тела);

 

определение по заданному закону движения тела всех кинематических характеристик этого движения (траекторий, скорости и ускорения точки или линейных скоростей и ускорений точек тела, угловых скоростей и угловых ускорений тела).

 

Время, как и пространство, существует объективно, независимо от нашего сознания. Время непрерывно и бесконечно; в классической механике оно принимается универсальным, т.е. одинаковым для всех систем отсчета.

 

Отсчет времени ведется от некоторого начального момента (t0 = 0), о выборе которого в каждом случае уславливаются. Всякий данный момент времени выражает собой число секунд, прошедших от начального момента времени до данного. Число секунд между двумя последовательными моментами времени называется промежутками времени

 

Время в классической механике не связано с пространством и движением материальных объектов. Во всех системах отсчета движущихся друг относительно друга оно протекает одинаково.

Кинематика делится на две части: кинематика точки и кинематика твердого тела.

3.Вект. способ задан. Движ точки…..

Векторный способ.

Будем рассматривать случай декартовой прямоугольной системы координат. Движение точки относительно рассматриваемой системы отсчета задано, если известен радиус-вектор этой точки как функция времени, т.е.

(1-1)

Векторный способ обычно применяется для теоретического изложения кинематики точки.

 

Траектория точки – непрерывная кривая, которую описывает точка при своем движении.

Векторный сп. положение точки определяется ее радиус-вектором , проведенным из какого-либо центра. Кривая, которая вычерчивается концом какого-либо вектора, назыв. годографом этого вектора. Т.е. траектория – годограф радиус-вектора.

 

Скорость точки при векторном способе задания движения

Положение движущейся точки М относительно системы отсчета в момент времени определяется радиус-вектором . В другой момент времени точка займет положение М ₁ с радиус-вектором . За время радиус-вектор движущейся точки изменится на .

Средней скоростью называется отношение изменения радиус-вектора к изменению времени .

 

Рис. 1.4 (1-4)

Скорость точки равна первой производной по времени от ее радиус-вектора.

(1-5)

 

4. Координ. Способ задан. Движ точки….

Координатный способ.

Координатный сп. положение точки в пространстве определяется тремя координатами, изменения которых определяют закон движения точки: x=f₁(t), y=f₂(t), z=f₃(t).

Если движение в плоскости, то два уравнения движения. Уравнения движения описывают уравнение траектории в параметрической форме. Исключив из уравнений параметр t, получаем уравнение траектории в обычном виде: f(x,y)=0 (для плоск-ти).

 

Движение точки можно изучать используя любую систему координат. Рассмотрим случай декартовой прямоугольной системы координат.